Semiendliche Von-Neumann-Algebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um Von-Neumann-Algebren ohne Typ III-Anteil.

Definition Jede Von-Neumann-Algebra enthält eine größte Orthogonalprojektion in ihrem Zentrum, so dass eine Von-Neumann-Algebra vom Typ III ist. heißt semiendlich, falls .R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Ende von Abschnitt 6.5.2

Beispiele Endliche Von-Neumann-Algebren sind semiendlich. Abelsche Von-Neumann-Algebren sind semiendlich. Typ I- und Typ II Von-Neumann-Algebren sind semiendlich. Die Von-Neumann-Algebra aller stetigen, linearen Operatoren auf einem Hilbertraum ist semiendlich.

Eigenschaften

Spuren Semiendliche Von-Neumann-Algebren zeichnen sich dadurch aus, dass sie ein semiendliches, normales, treues Spurgewicht besitzen, das heißt, es gibt eine Abbildung auf der Menge der positiven Elemente von mit folgenden Eigenschaften: für alle und mit den üblichen Konventionen für das Rechnen mit unendlich. für alle und alle unitären Elemente . Für jedes ist das Supremum der mit , und (Semiendlichkeit der Spur). Für jedes aufsteigende Netz in mit Supremum gilt (Normalität der Spur). Für jedes folgt aus (Treue der Spur).

Im unten angegebenen Lehrbuch Von Neumann Algebras von Jacques Dixmier ist dies die Definition der semiendlichen Von-Neumann-Algebren.Jacques Dixmier: Von Neumann algebras, North-Holland Publishing, Amsterdam u. a. 1981 (North-Holland Mathematical Library, Band. 27), ISBN 0-444-86308-7, Teil I, Kap. 6, Abs. 7, Definition 5 und Satz 9

Vererbungseigenschaften Die Kommutante einer semiendlichen Von-Neumann-Algebra ist wieder semiendlich.R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Korollar 9.1.4 Eine Von-Neumann-Algebra ist genau dann semiendlich, wenn sie isomorph zu einer Von-Neumann-Algebra ist, deren Kommutante eine endliche Von-Neumann-Algebra ist.Jacques Dixmier: Von Neumann algebras, North-Holland Publishing, Amsterdam u. a. 1981 (North-Holland Mathematical Library, Band. 27), ISBN 0-444-86308-7, Teil III, Kap. 2, Abs. 4, Korollar 3

Tensorprodukte endlich vieler semiendlicher Von-Neumann-Algebren sind wieder semiendlich.Jacques Dixmier: Von Neumann algebras, North-Holland Publishing, Amsterdam u. a. 1981 (North-Holland Mathematical Library, Band. 27), ISBN 0-444-86308-7, Teil I, Kap. 6, Abs. 8, Satz 12 Beliebige direkte Produkte semiendlicher Von-Neumann-Algebren sind wieder semiendlich.Jacques Dixmier: Von Neumann algebras, North-Holland Publishing, Amsterdam u. a. 1981 (North-Holland Mathematical Library, Band. 27), ISBN 0-444-86308-7, Teil I, Kap. 6, Abs. 7, Satz 7

Da die Algebra aller beschränkten, linearen Operatoren auf einem Hilbertraum semiendlich ist, kann es keine Vererbung dieser Eigenschaft auf Unteralgebren geben, denn jede Von-Neumann-Algebra ist ja Unteralgebra einer solchen Algebra .

Hilbert-Algebren

Die seminendlichen Von-Neumann-Algebren sind genau diejenigen von Neumann-Algebren, die isomorph zur links-assoziierten Von-Neumann-Algebra einer Hilbertalgebra sind.

Tomita-Takesaki-Theorie In der Tomita-Takesaki-Theorie zeigt man, dass eine Von-Neumann-Algebra genau dann semiendlich, wenn ihre modulare Gruppe inner ist. Genauer gilt: Ist ein treuer, normaler Zustand auf einer Von-Neumann-Algebra und die zugehörige modulare Gruppe, so ist genau dann semiendlich, wenn es einen im Allgemeinen unbeschränkten, positiven und injektiven Operator gibt mit für alle unitären Operatoren für alle und .R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 9.2.21

Wäre beschränkt, so würde dieser Operator gemäß der ersten Bedingung mit jedem unitären Operator aus der Kommutante kommutieren, und daher mit jedem Operator aus , und er wäre daher nach dem Bikommutantensatz ein Element aus . In diesem Sinne "gehört" also der unbeschränkte Operator zu . Mit dem unbeschränkten Borel-Funktionalkalkül ergibt sich, dass die Operatoren unitäre Operatoren aus sind, das heißt, die sind innere Automorphismen.

Einzelnachweise

Kategorie:Funktionalanalysis Kategorie:Algebra (Struktur) Kategorie:John von Neumann als Namensgeber