Die Methode der harmonischen Balance – angewandt in der Regelungstechnik – besteht darin, die Dauerschwingungen eines nichtlinearen zurückgekoppelten dynamischen Systems durch eine harmonische Schwingung anzunähern. Dabei wird das nichtlineare Teilsystem durch eine Beschreibungsfunktion dargestellt. Mit der Methode werden die Parameter des Schwingungszustandes und die Stabilitätsgrenze berechenbar. N.M. Krylow und N.N. Bogoljubow verwendeten bereits 1937 den Begriff Harmonische Balance für dieses von ihnen entwickelte Verfahren.

Ein nichtlineares dynamisches System kann nach dem Hammerstein-Modell in ein statisches nichtlineares System und ein dynamisches lineares System zerlegt werden. Wird der Ausgang des linearen Systems negativ auf den Systemeingang des nichtlinearen Systems zurückgeführt und damit zu einem Regelkreis geschaltet, kann das Gesamtsystem schwingen.

Mit dem Verfahren der Harmonischen Linearisierung wird von einem schwingenden nichtlinearen Regelkreis ausgegangen, dessen Ausgangssignal durch das Tiefpass-Verhalten der Regelstrecke eine angenäherte harmonische Schwingung ausführt, die in den Systemeingang negativ zurückgeführt wird. Nur unter diesen Bedingungen darf das nichtlineare statische System als lineares Übertragungsglied mit der Beschreibungsfunktion definiert werden, welche nur von der sinusförmigen harmonischen Eingangsschwingung mit der Amplitude und nicht von der komplexen Frequenz abhängt.

Mit der Gleichung der Harmonischen Balance werden die Beziehungen der Beschreibungsfunktion des statischen nichtlinearen Systems und des dynamischen linearen Systems in ein Verhältnis gesetzt. Daraus lassen sich die zwei kritischen Systemgrößen des harmonisch schwingenden Regelkreises – die Eingangsamplitude und die kritische Frequenz an der Stabilitätsgrenze – errechnen oder grafisch nach dem Zwei-Ortskurven-Verfahren bestimmen.

Die Anwendung der Harmonischen Balance zur Prüfung von nichtlinearen Regelkreisen mit dem anschaulichen Zwei-Ortskurven-Verfahren darauf, wann Dauerschwingungen auftreten und wie diese sich vermeiden lassen, erfordert keine besonderen mathematischen Kenntnisse. Die benötigte Beschreibungsfunktion des nichtlinearen statischen Systems zur Konstruktion der Ortskurve ist in vielen Varianten in der Fachliteratur der Regelungstechnik dargestellt. Dies gilt insbesondere für die verschiedenen Formen der Kennlinienregler.

Grundlagen des linearen und nichtlinearen schwingenden Systems Streng genommen sind fast alle Regelkreise nichtlineare Systeme. Die häufigste statische Nichtlinearität ist die Sättigungseigenschaft der Stellgröße des Reglers. So ist bei einem P-Regler trotz erhöhter Regelabweichung keine Signalerhöhung der Stellgröße möglich, weil eine Signalbegrenzung vorliegt. Für diesen einfachen Fall der Signalbegrenzung wird die Regelgröße bei einem Führungsgrößensprung oder einer plötzlich auftretenden Störgröße der Sollwert der Regelgröße nicht so schnell erreicht wie ohne Stellgrößen-Begrenzung.

Wird die P-Verstärkung eines stabilen Regelkreises weiter erhöht, dann wird – vorausgesetzt, die Regelstrecke ist ein lineares System höherer als 2. Ordnung – der Regelkreis an der Stabilitätsgrenze f (P-Verstärkung) instabil. Die Regelgröße wird dann mit konstanter oder zunehmender Amplitude schwingen. Dabei ist es nicht gleichgültig, ob eine Stellgrößen-Begrenzung vorliegt oder nicht.

„Dauerschwingungen“ (auch Grenzschwingungen und Grenzzyklen) sind periodische, sinusförmige Zeitvorgänge im eingeschwungenen Zustand mit konstanter Amplitude. Sie unterscheiden sich von auf- und abklingenden Schwingungen.

Ruhelagen und Stabilität miniatur|Modell der System-Ruhelagen: Zustand 1 ist gegenüber kleinen Störungen stabil und geht bei großen Störungen in Zustand 3 über. Zustand 2 ist labil.

Eine Ruhelage eines dynamischen Systems im schwingungsfreien Zustand ist asymptotisch stabil, wenn nach einer Signalstörung die Ausgangsgröße wieder in die Ruhelage zurückkehrt. Ein stabiles System neigt dazu, seinen momentanen Zustand beizubehalten, auch wenn Störungen von außen einwirken. Zu jedem Stabilitätsbereich gehört eine Ruhelage und ein Einzugsbereich der Ruhelage. Hat ein nichtlinearer Regelkreis nur eine Ruhelage, so kann man annehmen, dass seine Ausgangsgröße global asymptotisch stabil ist, sofern keine Dauerschwingungen auftreten.

Nichtlineare dynamische Systeme sind im Gegensatz zu linearen Systemen von Anfangsbedingungen und des Eingangssignals der statischen Nichtlinearität abhängig. Je nach Funktion der statischen Nichtlinearität kann stabiles und instabiles Verhalten auftreten. Nichtlineare Systeme können bei Einsatz von sogenannten Kennlinien-Reglern im Regelkreis gewollte Schwingungen hervorrufen. Solche stationären Dauerschwingungen werden auch als Grenzschwingungen bezeichnet. Grenzschwingungen können stabil, instabil und semistabil sein.

Nichtlineare Regelsysteme können im Gegensatz zu linearen Systemen mehrere Ruhelagen haben. Ein Pendel wird mit seinen Massen der potentiellen und kinetischen Energien durch eine Differenzialgleichung 2. Ordnung beschrieben, in der der Winkel  als 2. Ableitung und nichtlinear auftritt. Bewertet man den Winkel des Befestigungspunktes mit 90°, dann hat das Pendel eine Ruhelage bei 270° und einen Einzugsbereich der Ruhelage > 90° und < 90° und eine instabile Ruhelage von 90° im Koordinatensystem.

Ein nichtlineares dynamisches System mit der Ausgangsgröße hat folgendes Verhalten bei Auslenkung aus einer instabilen Ruhelage: geht in eine andere Ruhelage über, strebt in Richtung , macht eine Dauerschwingung.

Mit der Harmonischen Balance lässt sich klären, ob Grenzschwingungen auftreten können und ob sie stabil oder instabil sind und welche Frequenz und (Eingangs-)Amplitude sie haben.

Stabilitätsgrenze des linearen dynamischen Systems Ein dynamisches System verhält sich linear, wenn die Wirkungen zweier linear überlagerter Eingangssignale sich am Ausgang des Systems in gleicher Weise linear überlagern. Das System verhält sich linear, wenn es das Superpositionsprinzip (Siehe auch: Superpositionsprinzip der Physik) und das Verstärkungsprinzip erfüllt.

Ein Übertragungssystem ist intern stabil, wenn alle (Teil-)Übertragungsfunktionen nur Pole in der linken s-Halbebene haben. Ein Übertragungssystem gilt als extern stabil, wenn jedes beliebige beschränkte Eingangssignal an dem System auch ein beschränktes Ausgangssignal hervorruft. (Siehe BIBO-Stabilität) miniatur|500px|Blockschaltbild eines einfachen Standardregelkreises Die Stabilitätsgrenze eines linearen Regelkreises ist nach dem vereinfachten Stabilitätskriterium von Nyquist erreicht, wenn die Ortskurve des Frequenzgangs (Siehe auch PT2-Glied) des offenen Regelkreises genau den kritischen Punkt −1 der Abszisse des Realteils schneidet. Für Werte des Schnittpunktes entstehen aufklingende Schwingungen des geschlossenen Regelkreises.

Damit gilt für die Stabilität der Grenzschwingung der kritischen Frequenz des offenen Regelkreises:

.

Zur Ermittlung der Ortskurve wird der komplexe Frequenzgang in Real- und Imaginärteil zerlegt und für verschiedene Werte der Frequenz in der Gaußschen Zahlenebene eingetragen. Aus einer gegebenen Übertragungsfunktion oder einem Frequenzgang in Produktdarstellung wird der Nenner des Frequenzgangs als Polynom ausmultipliziert und in Realteil und Imaginärteil geordnet. Damit der imaginäre Anteil im Nenner des Frequenzgangs verschwindet, muss der Real- und Imaginärteil des Nenners mit sich selbst aber mit umgekehrten Vorzeichen mit der Frequenzganggleichung multipliziert werden. Beispiel: [ Anmerkung: ] Der Zähler wird mit dem Real- und Imaginärteil des Nenners multipliziert, damit die Gleichung mit der ursprünglichen Aussage unverändert ist. Der Zähler wird nach Realteil und Imaginärteil geordnet. miniatur|Ortskurve des Frequenzgangs

Konstruktion einer Ortskurve des Frequenzgangs Gegeben: Übertragungsfunktion 3. Ordnung mit globalem I-Verhalten und der Verstärkung .

Wird der Realteil des Nenners mit der Hilfsgröße und der Imaginärteil des Nenners mit der Hilfsgröße bezeichnet, kann der Frequenzgang für den Realteil und den Imaginärteil wie folgt berechnet werden:

Zunächst werden die Zahlenwerte der Hilfsgrößen und als Funktion von bis in Stufen von -Werten errechnet und in die unten stehende Gleichung des Frequenzgangs eingesetzt. Die so errechneten realen und imaginären Anteile des Frequenzgangs werden in das Diagramm der Gaußschen Zahlenebene als Ortskurve des Frequenzgangs eingetragen.

Ortskurve des Frequenzgangs

miniatur|350px|Sprungantwort vor und an der Stabilitätsgrenze.

Zahlenbeispiel der Stabilitätsgrenze eines linearen Regelkreises:

Gegeben: Offener Regelkreis mit einem P-Regler: und einer Regelstrecke 3. Ordnung, :

Gesucht: Verhalten der Sprungantwort für die Führungsgröße des geschlossenen Regelkreises.

Nach dem Schließen des Regelkreises mit dieser ungünstigen Regelstrecke mit drei gleichen Zeitkonstanten wird bereits bei der Verstärkung die Stabilitätsgrenze für eine konstante Amplitude der Regelgröße erreicht. Die Ortskurve durchläuft als beginnend bei mit dem Wert den 4., 3. und 2. Quadranten und schneidet die Abszisse des Realteils bei genau .

Die Form der Ortskurve ändert sich nicht, solange die drei Zeitkonstanten einen beliebigen aber untereinander den gleichen Wert haben. Die Größe der Zeitkonstante hat dann eine Bedeutung, wenn das Zeitverhalten des Regelkreises z. B. als Sprungantwort der Führungsgröße dargestellt werden soll. Drei gleiche Zeitkonstanten in einer Regelstrecke mit drei Verzögerungsgliedern stellen regelungstechnisch das ungünstigste Zeitverhalten bezüglich der Stabilität des Regelkreises dar.

Wird die Verstärkung erhöht, dann treten progressiv zunehmend größere Amplituden mit steigender Zeit auf. Die Ortskurve des Frequenzgangs schneidet die Abszisse bei Werten < −1. Wird die Verstärkung reduziert, dann nehmen die Amplituden der Regelgröße einen aperiodischen gedämpften Verlauf und die Regelgröße nimmt nach der Einschwingzeit einen konstanten Wert an. Die Ortskurve schneidet die Abszisse bei Werten > −1.

Besteht die Regelstrecke nur aus einem Verzögerungssystem 2. Ordnung mit einem P-Regler beliebig hoher Verstärkung, kann es theoretisch nicht zu Dauerschwingungen kommen, weil die Ortskurve des Frequenzgangs nur den 4. und 3. Quadranten der gaußschen Zahlenebene durchläuft und den kritischen Punkt nicht treffen kann.

Anmerkung: Für die Berechnung des Schwingungszustandes eines nichtlinearen dynamischen Systems nach dem Zwei-Ortskurven-Verfahren ist die Kenntnis der Konstruktion der Ortskurve des Frequenzgangs des linearen Systems erforderlich!

Verhalten des nichtlinearen dynamischen Systems miniatur|500px|Allgemeine Darstellung des nichtlinearen Regelkreises

Dynamische Systeme werden durch Differenzialgleichungen (DGL) beschrieben. Enthält die DGL oder die gesuchte Funktion oder deren Ableitungen eine Potenz oder Produkte der gesuchten Funktion oder Winkelfunktionen, Logarithmen usw. in den Argumenten, handelt es sich um eine nichtlineare DGL und das System verhält sich nichtlinear. Nichtlineare Differenzialgleichungen sind nur in sehr seltenen Ausnahmefällen analytisch lösbar. Sie können aber mittels der numerischen zeitdiskreten Methoden oder mit kommerziellen Rechenprogrammen (Simulink) relativ einfach berechnet werden.