Notation
Buchstaben am Anfang des Alphabets stehen für beliebige Zahlen. Buchstaben in der Mitte des Alphabets stehen für natürliche Zahlen. Buchstaben am Ende des Alphabets stehen für Variablen. Es gilt die Operatorrangfolge (Punktrechnung vor Strichrechnung): Rechenoperationen der zweiten Stufe (Multiplikation und Division) binden stärker als die der ersten Stufe (Addition und Subtraktion) und Rechenoperationen der dritten Stufe (Wurzelziehen und Potenzieren) stärker als die der zweiten Stufe. Es gilt die Klammerregel: Stehen Operationen in Klammern, so werden diese zuerst ausgeführt. Stehen Operationen der gleichen Stufe ohne Klammern hintereinander, so werden die Operationen von links nach rechts ausgeführt.
Grundrechenarten
Rechenoperationen Addition
(Summand + Summand = Summe)
Subtraktion
(Minuend − Subtrahend = Differenz)
Multiplikation
(Faktor · Faktor = Produkt)
Division
(Dividend : Divisor = Quotient)
Die Division durch null ist dabei nicht definiert.
Klammerregeln
Rechengesetze
Assoziativgesetze
Kommutativgesetze
Distributivgesetze
Neutralität von und
Binomische Formeln
Bruchrechnung
Bezeichnungen
Definition
(Zähler : Nenner)
Zähler und Nenner sind ganze Zahlen, wobei der Nenner nicht null sein darf.
Spezialfälle Stammbruch: Echter Bruch: Unechter Bruch: Scheinbruch: mit einer ganzen Zahl Kehrbruch: und werden vertauscht
Rechenregeln
Vorzeichen
Erweitern und Kürzen
für
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
Prozentrechnung
Definitionen
(Prozentsatz = Prozentwert : Grundwert)
(Promillesatz = Promillewert : Grundwert)
Prozentsätze häufig benutzter Anteile
Anteil am Grundwert Prozentsatz 1 % 2 % 2,5 % 4 % 5 % 6,25 % ≈6,67 % ≈8,33 % ≈9,09 % 10 % Anteil am Grundwert Prozentsatz ≈11,11 % 12,5 % ≈14,29 % ≈16,67 % 20 % 25 % ≈33,33 % 50 % ≈66,67 % 75 %
Elementare Rechenoperationen
Potenz
Definitionen
Natürlicher Exponent:
(Potenz = Basis hoch Exponent)
Negativer Exponent:
Rationaler Exponent:
Hierbei ist eine nichtnegative rationale Zahl und sind natürliche Zahlen.
Spezialfälle
für , siehe Null hoch null
für
Potenzgesetze
Definition und Rechenregeln können auf reelle Zahlen erweitert werden.
Wurzel
Definition
(n-te Wurzel, a heißt Radikand, n Wurzelexponent)
Hierbei ist eine nichtnegative reelle Zahl und eine natürliche Zahl größer als eins
Spezialfälle
(Quadratwurzel)
(Kubikwurzel)
Wurzelgesetze
Logarithmus
Definition
(Logarithmus der Zahl a zur Basis b)
Hierbei sind positive reelle Zahlen.
Spezialfälle
(binärer Logarithmus)
(natürlicher Logarithmus)
(dekadischer Logarithmus)
Logarithmengesetze
Elementare Funktionen
Betrag
Definition
Eigenschaften
(Dreiecksungleichung)
Vorzeichen
Definition
Eigenschaften
für
Ab- und Aufrundung
Definitionen
(Abrundung)
(Aufrundung)
Eigenschaften
Gleichungen
Äquivalenzumformungen
Lösen von Gleichungen
für
für
für jede injektive Funktion
Lineare Gleichungen
Allgemeine Form
Lösungen
falls
keine Lösung falls
unendlich viele Lösungen falls
Quadratische Gleichungen
Allgemeine Form
mit
Diskriminante
Lösungen
falls
falls
keine reelle Lösung falls
Quadratische Ergänzung
p-q-Form
Diskriminante
Lösungen
falls
falls
keine reelle Lösung falls
Satz von Vieta
Algebraische Gleichungen
Allgemeine Form
Lösungen
als komplexe Lösungen, nicht notwendigerweise verschieden (Fundamentalsatz der Algebra)
Zerlegung in Linearfaktoren
Polynomdivision
wobei
wobei
Ungleichungen
Äquivalenzumformungen
Lösen von Ungleichungen
Die Umformungsregeln gelten analog auch für .
Spezielle Ungleichungen
Dreiecksungleichung
für alle
Bernoullische Ungleichung
für und
Youngsche Ungleichung
für und mit
Ungleichungen bei Mittelwerten
Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel
für und
Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel
für und
Komplexe Zahlen
Algebraische Form
Darstellung
mit Realteil , Imaginärteil und der imaginären Einheit
(Komplexe Konjugation)
Potenzen der imaginären Einheit
Allgemein für :
Arithmetische Operationen
für
Polarform
Darstellung
mit dem Betrag und dem Argument
Betrag
Argument
oder
Exponentialform
Darstellung
mit der eulerschen Zahl
(Eulersche Formel)
Umrechnungsformeln
Arithmetische Operationen
Potenzen
Wurzeln
für (Einheitswurzeln)
für
Summenformeln
Rechenregeln
(Teleskopsumme)
Arithmetische Reihe
(Gaußsche Summenformel)
Geometrische Reihe
Eine Version, die für alle Halbringe geeignet ist:
Potenzsummen
Für weitere Potenzsummen siehe Faulhabersche Formel.
Kombinatorische Summen
Binomischer Lehrsatz
Multinomialtheorem
Ungleichungen bei Summen
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
für alle und
Tschebyscheff-Ungleichungen
für alle und
für alle und
Minkowski-Ungleichung
für alle und sowie
Hölder-Ungleichung
für alle und sowie mit
Jensensche Ungleichung
für jede konvexe Funktion , mit und alle
Literatur
Kategorie:Arithmetik Arithmetik Kategorie:Liste (Mathematik)