Ein topologischer Raum heißt σ-kompakt oder abzählbar im Unendlichen, wenn er sich als abzählbare Vereinigung kompakter Teilräume schreiben lässt. σ-Kompaktheit ist also eine Abschwächung des topologischen Begriffs der Kompaktheit. Der Buchstabe σ in der Bezeichnung rührt daher, dass die Vereinigung von Mengen früher auch als Summe bezeichnet wurde, die Bezeichnung wurde analog zu „σ-finit“ gebildet.
Der Begriff ist wichtig für die abstrakte Integrationstheorie, zusammen mit Lokalkompaktheit und dem Trennungsaxiom T3 garantiert er die Existenz einer kompakten Ausschöpfung.Heine: Topologie und Funktionalanalysis. 2002, S. 336.
Eigenschaften
Ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist abzählbar im Unendlichen genau dann, wenn der bei der Alexandroff-Kompaktifizierung hinzugekommene unendlich ferne Punkt eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt.Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-56860-2, S. 111 (). Hemikompakte Räume sind σ-kompakt.Willard 2004, S. 126 Jeder endlichdimensionale normierte Raum ist σ-kompakt. Lokalkompakte Räume mit abzählbarem Kern verallgemeinern lokalkompakte σ-kompakte Räume.
Beispiele
Beispielsweise ist , ausgestattet mit der Standardtopologie, ein σ-kompakter topologischer Raum, denn es gilt , so dass sich als abzählbare Vereinigung der kompakten topologischen Räume darstellen lässt. Der Raum der finiten -wertigen Folgen (versehen mit der Norm ) ist -kompakt, denn es ist , wobei die kompakte Teilmenge der Folgen mit und für sei. ist aber nicht lokal kompakt, da gilt.
Literatur
Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-15307-1. Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der abstrakten Analysis mit Anwendungen. Oldenbourg, München u. a. 2002, ISBN 3-486-24914-2.
Einzelnachweise
Kategorie:Topologischer Raum Kategorie:Kompaktheit