Bei den Lychrel-Zahlen handelt es sich um bestimmte natürliche Zahlen, die sich der Palindrombildung durch einen bestimmten Algorithmus, dem 196-Algorithmus, widersetzen.
Der Name Lychrel stammt von Wade Van Landingham und hat keine besondere Bedeutung, außer dass vor der Benennung dieser Zahlen Google kein Suchergebnis für Lychrel lieferte und das Wort in keinem Wörterbuch verzeichnet war; außerdem ist es ein ungefähres Anagramm zu dem Namen der Freundin von Van Landingham („Cheryl“).
Eigenschaften der Lychrel-Zahlen Jede natürliche Zahl , die nicht durch eine endliche Anzahl von Inversionen und Additionen zu einem Zahlen-Palindrom führt, wird als Lychrel-Zahl bezeichnet. Als Inversion versteht man hier das Bilden der spiegelverkehrten Zahl . Führt die Addition dabei zu einem Zahlenpalindrom, ist der Algorithmus beendet. Falls nicht, wird durch erneute Inversion und Addition dieser Vorgang so lange ausgeführt, bis das Ergebnis ein Palindrom ist.
Beispiele Man nimmt die Zahl 5273. Die spiegelverkehrte Zahl dazu lautet 3725 (Inversion). Durch Addition erhält man das Zahlenpalindrom 8998.
Bei anderen Zahlen kann dieser Algorithmus länger dauern: 4753 + 3574 = 8327 8327 + 7238 = 15565 15565 + 56551 = 72116 72116 + 61127 = 133243 133243 + 342331 = 475574 (ein Palindrom)
Die Lychrel-Zahlen widersetzen sich der Palindrombildung. Die kleinste Lychrel-Zahl ist vermutlich die Zahl 196. Ein mathematischer Beweis dafür, dass ausgehend von 196 die Inversion definitiv nie ein Palindrom ergeben wird, existiert bisher aber nicht. Auch die sehr große Anzahl von gerechneten Iterationen (knapp 725 Millionen) lässt keine Aussage über die Gültigkeit dieser Vermutung zu. Siehe unten.
Rekorde Nach der Anzahl der Iterationen, bei möglichst kleiner Anfangszahl (Anfangszahl kleiner als 100.000, Kandidaten für Lychrel-Zahlen ausgenommen) Zahl Iter-ationen Palindrom Stellen Zahl 1 1 1 2 5 2 2 11 59 3 4 1.111 69 4 4 4.884 79 6 5 44.044 89 24 13 8.813.200.023.188 10.548 30 17 17.858.768.886.785.871 10.677 53 28 4.668.731.596.684.224.866.951.378.664 10.833 54 28 4.668.731.596.684.224.866.951.378.664 10.911 55 28 4.668.731.596.684.224.866.951.378.664 Der Rekord liegt momentan bei 261 Iterationsschritten, dies benötigt die Zahl 1.186.060.307.891.929.990 (19 Stellen), um auf ein 119-stelliges Palindrom zu kommen.www.jasondoucette.com „Weltrekorde“, Abschnitt Most Delayed Palindromic Number Records
Berechnung Mit Stand von April 2009 wurde der Algorithmus bei allen bis 18-stelligen Zahlen ausgeführt, bis Januar 2010 wurde er außerdem bei 55 Prozent aller 19-stelligen Zahlen angewandt (Kandidaten für Lychrel-Zahlen ausgenommen).
Lychrel-Zahlen Die Lychrel-Zahlen widersetzten sich diesem Algorithmus, das heißt, dass – auch nach beliebig vielen Iterationsschritten – kein Palindrom entsteht.
Momentan existiert kein mathematisches Verfahren, um sicher festzustellen, ob eine Zahl eine Lychrel-Zahl ist, so dass bis heute nicht einmal sicher ist, ob sie überhaupt existieren.
Kleinster gefundener Kandidat für Lychrel-Zahlen Die 196 ist die kleinste Zahl, die durch den Algorithmus bisher noch nicht in ein Palindrom umgewandelt werden konnte. Da dies der kleinste Lychrel-Kandidat ist, ist diese Zahl bisher am besten untersucht. Bis zum 1. Mai 2006 berechnete Wade VanLandingham elektronisch 724.756.966 Iterationen, ausgehend von der 196. Die letzte Ergebniszahl hatte 300.000.000 Stellen und war immer noch kein Palindrom. Die Berechnung begann im August 2001 und dauerte fast fünf Jahre, wobei hier erwähnt werden muss, dass man dabei schon auf eine bereits durchgeführte Berechnung bis zu einem 14.000.000-stelligen Ergebnis (33.824.775 durchgeführte Iterationen) zurückgreifen konnte, dessen erste Ergebnisse schon Anfang der 1990er Jahre ausgerechnet worden waren.
Kandidaten für Lychrel-Zahlen kleiner als 10000 sind zwischen 1 und 999:196, 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879, 887, 978, 986 zwischen 1000 und 1999:1495, 1497, 1585, 1587, 1675, 1677, 1765, 1767, 1855, 1857, 1945, 1947, 1997 zwischen 2000 und 2999:2494, 2496, 2584, 2586, 2674, 2676, 2764, 2766, 2854, 2856, 2944, 2946, 2996 zwischen 3000 und 3999:3493, 3495, 3583, 3585, 3673, 3675, 3763, 3765, 3853, 3855, 3943, 3945, 3995 zwischen 4000 und 4999:4079, 4169, 4259, 4349, 4439, 4492, 4494, 4529, 4582, 4584, 4619, 4672, 4674, 4709, 4762, 4764, 4799, 4852, 4854, 4889, 4942, 4944, 4979, 4994 zwischen 5000 und 5999:5078, 5168, 5258, 5348, 5438, 5491, 5493, 5528, 5581, 5583, 5618, 5671, 5673, 5708, 5761, 5763, 5798, 5851, 5853, 5888, 5941, 5943, 5978, 5993 zwischen 6000 und 6999:6077, 6167, 6257, 6347, 6437, 6490, 6492, 6527, 6580, 6582, 6617, 6670, 6672, 6707, 6760, 6762, 6797, 6850, 6852, 6887, 6940, 6942, 6977, 6992 zwischen 7000 und 7999:7059, 7076, 7149, 7166, 7239, 7256, 7329, 7346, 7419, 7436, 7491, 7509, 7526, 7581, 7599, 7616, 7671, 7689, 7706, 7761, 7779, 7796, 7851, 7869, 7886, 7941, 7959, 7976, 7991 zwischen 8000 und 8999:8058, 8075, 8079, 8089, 8148, 8165, 8169, 8179, 8238, 8255, 8259, 8269, 8328, 8345, 8349, 8359, 8418, 8435, 8439, 8449, 8490, 8508, 8525, 8529, 8539, 8580, 8598, 8615, 8619, 8629, 8670, 8688, 8705, 8709, 8719, 8760, 8778, 8795, 8799, 8809, 8850, 8868, 8885, 8889, 8899, 8940, 8958, 8975, 8979, 8989, 8990 zwischen 9000 und 9999:9057, 9074, 9078, 9088, 9147, 9164, 9168, 9178, 9237, 9254, 9258, 9268, 9327, 9344, 9348, 9358, 9417, 9434, 9438, 9448, 9507, 9524, 9528, 9538, 9597, 9614, 9618, 9628, 9687, 9704, 9708, 9718, 9777, 9794, 9798, 9808, 9867, 9884, 9888, 9898, 9957, 9974, 9978, 9988
(englisch)rosettacode.org
Verteilung der Kandidaten für Lychrel-Zahlen Anzahl derKandidaten Zahlenraum 13 0 bis 999 13 1000 bis 1999 13 2000 bis 2999 13 3000 bis 3999 24 4000 bis 4999 24 5000 bis 5999 24 6000 bis 6999 29 7000 bis 7999 51 8000 bis 8999 45 9000 bis 9999 249 0 bis 9999
Die ersten Iterationen für kleine Kandidaten
Die Zeilen listen jeweils Kandidaten für Lychrel-Zahlen auf, wobei übereinander stehende Zahlen jeweils Inverse voneinander sind. Hinter dem Punkt folgen die Kandidaten, die auf Null enden. Hinter dem Pfeil steht die gemeinsame Summe der Paare. 196, 295, 394691, 592, 493 • 790 → 887 689, 788 986, 887 → 1675 1495, 1585, 1675, 1765, 1855, 1945, 2494, 2584, 2674, 2764, 2854, 2944, 3493, 3583, 3673 5941, 5851, 5761, 5671, 5581, 5491, 4942, 4852, 4762, 4672, 4582, 4492, 3943, 3853, 3763 • 6490, 6580, 6670, 6760, 6850, 6940 → 7436 4079, 4169, 4259, 4349, 4439, 4529, 4619, 4709, 5078, 5168, 5258, 5348, 5438, 5528, 5618, 5708, 6077, 6167, 6257, 6347, 6437, 6527, 6617, 6707 9704, 9614, 9524, 9434, 9344, 9254, 9164, 9074, 8705, 8615, 8525, 8435, 8345, 8255, 8165, 8075, 7706, 7616, 7526, 7436, 7346, 7256, 7166, 7076 → 13783
4799, 4889, 4979, 5798, 5888, 5978, 6797, 6887, 6977 9974, 9884, 9794, 8975, 8885, 8795, 7976, 7886, 7796 → 14773
7059, 7149, 7239, 7329, 7419, 7509, 8058, 8148, 8238, 9507, 9417, 9327, 9237, 9147, 9057, 8508, 8418, 8328 → 16566
7599, 7689, 7779, 7869, 7959, 8598, 8688 9957, 9867, 9777, 9687, 9597, 8958, 8868 • 8778 → 17556
879 978 → 1857 1497, 1587, 1677, 1767, 1857, 1947, 2496, 2586, 2676, 2766, 2856, 2946, 3495, 3585, 3675, 3765, 3855, 3945, 4494, 4584, 4674 7941, 7851, 7761, 7671, 7581, 7491, 6942, 6852, 6762, 6672, 6582, 6492, 5943, 5853, 5763, 5673, 5583, 5493, 4944, 4854, 4764 • 8490, 8580, 8670, 8760, 8850, 8940 → 9438 8079, 8169, 8259, 8349, 8439, 8529, 8619, 8709 9708, 9618, 9528, 9438, 9348, 9258, 9168, 9078 → 17787
8089, 8179, 8269, 8359, 8449, 8539, 8629, 8719, 8809 9808, 9718, 9628, 9538, 9448, 9358, 9268, 9178, 9088 → 17897
8799, 8889, 8979 9978, 9888, 9798 → 18777
1997, 2996, 3995 7991, 6992, 5993 • 4994 • 8990 → 9988 8899, 8989 9988, 9898 → 18887
Weblinks Website über die Lychrel-Zahlen (englisch) Seite über Rekorde und Entwicklungen im Bereich Lychrel-Zahlen (englisch) Online-Rechenprogramm für den 196-Algorithmus (englisch), Zahl einfach nach dem URL (http://www.jasondoucette.com/pal/) eingeben http://www.p196.org/files.html (englisch) bietet u. a. die Möglichkeit, sich alle bis zu einschließlich 5-stelligen Zahlen und die Anzahl an Iterationsschritten, die sie benötigen, um auf ein Palindrom zu kommen, herunterzuladen (Abschnitt „Palindrome Delays“) Einige mathematische Überlegungen und Diskussionen zu Lychrel-Zahlen (englisch). Abgerufen am 17. Januar 2022
Einzelnachweise
Kategorie:Ganzzahlmenge Kategorie:Zahlentheorie