mini|Beispiel einer konvexen Funktion mini|Beispiel einer konkaven Funktion

In der Analysis heißt eine reellwertige Funktion konvex (), wenn ihr Graph unterhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt. Dies ist gleichbedeutend dazu, dass der Epigraph der Funktion, also die Menge der Punkte oberhalb des Graphen, eine konvexe Menge ist.

Eine reellwertige Funktion heißt konkav (lateinisch: concavus = gewölbt), wenn ihr Graph oberhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt. Dies ist gleichbedeutend dazu, dass der Hypograph der Funktion, also die Menge der Punkte unterhalb des Graphen, eine konvexe Menge ist.

Einer der ersten, der sich mit den Eigenschaften konvexer und konkaver Funktionen beschäftigte, war der dänische Mathematiker Johan Ludwig Jensen. Die nach ihm benannte Jensensche Ungleichung ist Grundlage wichtiger Resultate in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Maßtheorie und Analysis.

Die besondere Bedeutung konvexer bzw. konkaver Funktionen liegt darin, dass sie eine weitaus größere Gruppe als die linearen Funktionen bilden, aber ebenfalls viele einfach zu untersuchende Eigenschaften haben, welche Aussagen über nichtlineare Systeme ermöglichen. Da beispielsweise jedes lokale Minimum einer konvexen Funktionen auch ein globales Minimum ist, sind sie bei vielen Optimierungsproblemen von Bedeutung (siehe auch: Konvexe Optimierung). Selbst für konvexe Funktionale, die auf unendlichdimensionalen Räumen definiert sind, lassen sich unter bestimmten Voraussetzungen ähnliche Aussagen treffen. Daher spielt Konvexität auch eine wichtige Rolle in der Variationsrechnung.

Definition mini|Auf einem Intervall definierte strikt konvexe Funktion Es gibt zwei äquivalente Definitionen, einerseits kann man Konvexität anhand einer Ungleichung über die Funktionswerte definieren (analytische Definition), andererseits über die Konvexität von Mengen (geometrische Definition).

Analytische Definition Eine Funktion , wobei eine konvexe Teilmenge des ist, heißt konvex, wenn für alle aus und für alle gilt, dass

Hieraus lässt sich die Bedingung im Kopftext herleiten, dass der Graph der Funktion unterhalb der Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt.

Rechnerische Veranschaulichung der Herleitung  Die nachfolgend beschriebenen geometrischen Objekte bebildern die analytische Aussage und ermöglichen in den Fällen oder eine anschauliche Vorstellung derselben.

A. Vorstellungen zu einer beliebigen Funktion .

Der Punkt sei die Koordinatendarstellung einer Abszisse .

Dazu sei die Koordinatendarstellung eines Punktes des Graphen von mit Ordinate .

lässt sich auch als ordinatenparallele Projektion von in den Abszissenraum auffassen.

In der Schreibweise werden die Koordinaten der Abszisse durch den Punkt , den sie definieren, dargestellt.

B. Von der Funktion der Voraussetzung ausgehende Vorstellungen

Die Gerade durch die Punkte und des Graphen von hat eine Parameterform

hierbei ist der allgemeine Punkt und ein Richtungsvektor von .

durchläuft für wachsende alle Punkte der Gerade von bis , wie die Betrachtung der -fachen von zeigt.

Die ordinatenparallele Projektion des Punktes in den Abszissenraum ist ein nachfolgend als bezeichneter Punkt.

hat die Ordinate .

Die Gerade durch die Punkte und hat als Projektion von in den Abszissenraum eine Parameterform

hierbei ist der allgemeine Punkt und ein Richtungsvektor von .

durchläuft für wachsende alle Punkte der Gerade von bis , wie die Betrachtung der -fachen von zeigt.

Da der Definitionsbereich von als konvex vorausgesetzt ist, enthält er alle mit .

Der Punkt des Graphen von mit der Abszisse hat die Ordinate

durchläuft für wachsende alle sich ordinatenparallel auf projizierenden Punkte des Graphen von von bis , wie die Betrachtung der -fachen von zeigt.

Synopse: Für wachsende durchläuft die Strecke von nach , die Strecke von nach , die sich ordinatenparallel auf projizierende Teilmenge des Graphen von von nach . Die analytische Definition der Konvexität von :

verlangt, dass für die betrachteten die Ordinate von höchstens so groß ist wie die Ordinate von . Insofern verläuft der Graph von unterhalb der Verbindungsstrecke . Dies war zu veranschaulichen.

Geometrische Definition mini|Der Epigraph einer konvexen Funktion ist eine konvexe Menge Eine Funktion () heißt konvex, wenn ihr Epigraph eine konvexe Menge ist. Diese Definition hat gewisse Vorteile für erweiterte reelle Funktionen, welche auch die Werte annehmen können und bei denen mit der analytischen Definition der undefinierte Term auftreten kann. Aus der Konvexität des Epigraphen ergibt sich außerdem, dass die Definitionsmenge eine konvexe Menge ist. Eine konvexe Funktion hat also immer eine konvexe Definitionsmenge, umgekehrt ist eine Funktion nicht konvex, wenn ihre Definitionsmenge nicht konvex ist.

Konkave Funktionen Ist eine konvexe Funktion, so heißt konkav. Für konkave Funktionen drehen sich die Definitionen jeweils um, die analytische Definition einer konkaven Funktion lautet also

die geometrische Definition einer konkaven Funktion fordert, dass der Hypograph eine konvexe Menge ist.

Weitere Klassifizierungen Eine Funktion heißt streng konvex oder strikt konvex, wenn die Ungleichung der analytischen Definition im strengen Sinn gilt; das heißt, für alle Elemente aus und alle gilt, dass

.

Eine Funktion heißt stark konvex mit Parameter bzw. -konvex, wenn für alle und gilt, dass

.

Stark konvexe Funktionen sind auch strikt konvex, die Umkehrung gilt jedoch nicht.

Des Weiteren gibt es den Begriff der gleichmäßig konvexen Funktion, welcher das Konzept der starken Konvexität verallgemeinert. Eine Funktion heißt gleichmäßig konvex mit Módul , wobei wachsend ist und nur bei 0 verschwindet, wenn für alle und gilt

.

Wählt man mit , so erhält man die Ungleichung für starke Konvexität.

Für die Begriffe strikt konvex, stark konvex und gleichmäßig konvex lassen sich die entsprechenden Gegenstücke strikt konkav, stark konkav und gleichmäßig konkav definieren, indem die jeweiligen Ungleichungen umgedreht werden.

Beispiele mini|hochkant|Die Normparabel ist konvex

Lineare Funktionen sind auf ganz konvex und konkav, jedoch nicht streng. Die quadratische Funktion ist streng konvex. Die Funktion ist streng konvex. Die Funktion ist nicht konvex, da die Definitionsmenge keine konvexe Menge ist. Die Funktion ist streng konkav. Die Wurzelfunktion ist im Intervall streng konkav. Die Betragsfunktion ist konvex, jedoch nicht streng konvex. Die Exponentialfunktion ist streng konvex auf ganz . Der natürliche Logarithmus ist streng konkav auf dem Intervall der positiven reellen Zahlen. Die kubische Funktion ist streng konkav auf dem Intervall und streng konvex auf dem Intervall . Die Funktion, welche einen Punkt der euklidischen Ebene auf seinen Abstand vom Ursprung, abbildet, also

ist ein Beispiel für eine konvexe Funktion auf einem mehrdimensionalen reellen Vektorraum.

Geschichte Wesentliche Aussagen zu konvexen und konkaven Funktionen finden sich bereits 1889 bei Otto Hölder, wobei er aber noch nicht die heute üblichen Bezeichnungen verwendete. Die Begriffe konvexe und konkave Funktion wurden 1905 von Johan Ludwig Jensen eingeführt.Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics, 28. Juli 2006: A. Guerraggio and E. Molho write, „The first modern formalization of the concept of convex function appears in J. L. W. V. Jensen Om konvexe funktioner og uligheder mellem midelvaerdier, Nyt Tidsskr. Math. B 16 (1905), S. 49–69. Since then, at first referring to Jensen’s convex functions, then more openly, without needing any explicit reference, the definition of convex function becomes a standard element in calculus handbooks.“ („The Origins of Quasi-concavity: a Development between Mathematics and Economics“, Historia Mathematica, 31, (2004), 62–75.) Jensen verwendete allerdings eine schwächere Definition, die noch gelegentlich, vor allem in älteren Werken,z. B. in I. P. Natanson: Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen, 4. Auflage, Verlag Harri Deutsch, Thun, 1981, ISBN 3-87144-217-8. zu finden ist. In dieser Definition wird nur die Ungleichung

vorausgesetzt. Wie Jensen aber zeigte, folgt daraus für stetige Funktionen die in der heute üblichen Definition verwendete Ungleichung

für alle zwischen 0 und 1.Jensen, J. L. W. V.: Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes. In Acta Math. 30, 175–193, 1906. (siehe auch: Abschnitt Konvexität und Stetigkeit)

Reellwertige Funktion, welche der oben genannten schwächeren Ungleichung () genügen, nennt man zu Ehren von Johan Ludwig Jensen Jensen-konvex oder kurz J-konvex.Marek Kuczma: An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities. 2009, S. 130 (Fußnote)

Elementare Eigenschaften mini|hochkant=0.6|x³ ist auf der positiven Halbachse konvex, auf der negativen konkav

Verhältnis konvex und konkav Die Funktion ist genau dann (streng) konvex, wenn die Funktion (streng) konkav ist. Eine nicht-konvexe Funktion muss jedoch nicht notwendigerweise konkav sein. Konvexität und Konkavität sind somit keine komplementären Eigenschaften.

Lineare Funktionen sind die einzigen Funktionen, die sowohl konkav als auch konvex sind.

Beispiel Die kubische Funktion ist auf ganz betrachtet weder konvex noch konkav. Im Intervall aller positiven reellen Zahlen ist streng konvex. Die zu ihr additiv inverse Funktion ist dort somit streng konkav.

Da eine ungerade Funktion ist, also gilt, folgt daraus, dass sie im Bereich aller negativen Zahlen streng konkav ist.

Niveaumengen Bei einer konvexen Funktion sind alle Subniveaumengen, also Mengen der Form

konvex. Bei einer konkaven Funktion sind alle Superniveaumengen konvex.

Jensensche Ungleichung Die Jensensche Ungleichung ist eine Verallgemeinerung der analytischen Definition auf eine endliche Anzahl von Stützstellen. Sie besagt, dass der Funktionswert einer konvexen Funktion an einer endlichen Konvexkombination von Stützstellen kleiner oder gleich der Konvexkombination von den Funktionswerten an den Stützstellen ist. Für eine konvexe Funktion und für nichtnegative mit gilt also:

Für konkave Funktionen gilt die Ungleichung in umgekehrter Richtung.

Reduktion auf Konvexität reeller Funktionen Der Urbildraum einer konvexen Funktion kann ein beliebiger reeller Vektorraum sein, wie zum Beispiel der Vektorraum der reellen Matrizen oder der stetigen Funktionen. Die Konvexität einer Funktion ist aber äquivalent zur Konvexität der Funktion definiert durch für alle , wobei ist und eine beliebige Richtung aus ist. Es ist dann . Dies macht es möglich, die Dimension des Vektorraumes zu verringern, was die Überprüfung der Konvexität erleichtert.

Ungleichungen für θ < 0 und θ > 1 Für oder drehen sich die Ungleichungen aus den Definitionen von (strikter) Konvexität bzw. Konkavität um. Sei beispielsweise eine auf konvexe Funktion. Für Punkte und aus gilt dann

sofern auch der Punkt im Definitionsbereich liegt. Wenn eine reelle konvexe Funktion ist, bedeutet die Ungleichung anschaulich, dass die Funktionswerte von außerhalb des Intervalls stets oberhalb der Verbindungsgeraden durch die Funktionswerte liegen.

Rechenregeln Positivkombinationen Die Summe zweier (gegebenenfalls erweiterter) konvexer Funktionen ist wieder eine konvexe Funktion. Außerdem bleibt Konvexität beim Multiplizieren mit einer positiven reellen Zahl erhalten. Zusammenfassend gilt also, dass jede Positivkombination von konvexen Funktionen wiederum konvex ist. Sie ist sogar streng konvex, falls einer der auftretenden Summanden streng konvex ist. Analog dazu ist auch jede Positivkombination von konkaven Funktionen konkav. Somit bilden die konvexen Funktionen einen konvexen Kegel. Das Produkt konvexer Funktionen ist jedoch nicht notwendigerweise konvex.

Beispiel Die Funktionen

sind konvex auf ganz , die Normparabel ist sogar strikt konvex. Daraus folgt, dass auch alle Funktionen der Form