Mit einem Extremwertregler wird ein Konzept aus der Regelungstechnik verwirklicht, wonach dieser Regler eine Zielgröße maximieren oder minimieren soll, d. h. ein Optimum soll erreicht werden. Die zugehörigen Regelparameter werden hierfür abhängig vom Einfluss der Störgrößen laufend angepasst.
Englischer Begriff Im deutschsprachigen Raum hat sich der Begriff Extremwertregelung seit vielen Jahren etabliert. Im englischsprachigen Raum scheint es hingegen keine feste Begriffsdefinition zu geben. DurchAriyur, Kartik B.; Krsti, Miroslav: Real-Time Optimization by Extremum-Seeking Control. 1. Auflage. Wiley, 2003, ISBN 978-0-471-46859-2. dürfte aber der Begriff extremum-seeking control der sein, der dieses Regelungsprinzip heute am häufigsten benennt.
Einordnung in die Regelungstechnik Auf Grund des Optimumcharakters des Kennlinienfeldes der Strecke stellt der Extremwertregler immer ein Regler für nichtlineare Systeme dar. Er unterscheidet sich von allgemein gebräuchlichen Reglern dadurch, dass er keine Führungsgröße kennt und nur ein einziger Abtastpunktes auf der Messsignalseite keine Aussage liefert, in welche Richtung die Stellwerte verändert werden müssen, um in Richtung des Optimums zu gelangen, und wie groß die Entfernung zum Optimum ist. Um zumindest zur Richtungsinformation zu gelangen, sind immer zwei oder mehr Abtastungen auf dem Kennlinienfeld notwendig. Der Extremwertregler benötigt deshalb in seiner Struktur immer eine „suchende Komponente“.
Zu beachten ist der funktionale Unterschied zur Adaptiven Regelung und zur Optimalen Regelung. Bei der Extremwertregelung werden nicht die Parameter oder die Struktur eines Reglers optimiert, um das System nach bestimmten Merkmalen optimal zu führen, sondern das System wird durch den Extremwertregeler so geführt, dass es selbst in einen Optimalpunkt seines Kennlinienfeldes fährt.Diese Tatsache ist durch die begriffliche Situation im englischen Sprachraum sehr verwirrend. Dort taucht der Begriff 'Adaptive extremum-seeking control' auf, aus dem allein nicht klar hervorgeht, ob es sich um einen reinen Extremwertregler oder einen Extremwertregler dessen Eigenschaften (Parameter) durch adaptive Verfahren beeinflusst werden handelt oder ob innerhalb eines Adaptiven Reglers ein Extremwertregler im Sinne eines Suchverfahrens zur Parameterschätzung für das Prozessmodell verwendet wird (bei Model Identification Adaptive Controllers) bzw. direkt den Parametern des Reglerblocks im Adaptiven Regler verändert (bei Model Reference Adaptive Controllers).
miniatur|240px|Abb. 1: Allgemeinste Darstellung eines Extremwertregelkreises als Blockdiagramm
Abbildung 1 zeigt als Blockschaltbild die allgemeine Wirkungsweise eines Extremwertregelkreises. Darin bedeuten:
R – Extremwertregler P – Prozess (umfasst Stelleinrichtung und zu regelndes System) M – Messeinrichtung (umfasst Sensorik, Signalwandlung und Signalbewertung) – Stellwert – Prozessgröße – Rückführungsgröße
Die Größen und können dabei allgemein auch als Vektoren und auftreten.
miniatur|280px|Abb. 2: Allgemeine Darstellung eines Regelkreises als Blockdiagramm
Dieses Blockschaltbild lässt sich zu der allgemeinen Darstellung eines Regelkreises (Abbildung 2) umformen, wenn die Führungsgröße auf Null gesetzt wird. Das Summationsglied und die daraus resultierende Regelabweichung wird bei einem Extremwertregler durch eine notwendige Struktur ersetzt, die die Lage des Extremwertes der Rückführgröße r mehr oder weniger genau abschätzt. Die Regelabweichung entspricht dabei sinngemäß der Entfernung und der Richtung vom momentanen Arbeitspunkt zum Extremwert. Im Vergleich ist bei dem allgemeinen Regelkreis eine Beschränkung auf einen skalaren Wert der Rückführgröße nicht zwingend notwendig.
Zielgröße Die Zielgröße der Extremwertregelung entspricht der skalaren Rückführgröße in der allgemeinen Darstellung.Theoretisch lässt sich hier auch ein Vektor denken, vergleichbar zu Vektoroptimierungsproblemen. Dies kann jedoch zu Problemen in der Art führen, dass entweder unbemerkt mehrere lokale Extrema entstehen oder die einzelnen Vektorelemente gegenseitig in Konkurrenz stehen. Da aber nicht der Prozess dafür zuständig ist, den optimalen Arbeitspunkt vorzugeben, sondern der Anwender, muss dieser letztlich in der Lage sein, aus den Messgrößen einen entsprechenden Zusammenhang herzustellen, der aus Sicht des Anwenders den optimalen Zustand des zu regelnden Systems widerspiegelt. Die Zielgröße muss durch eine Bewertung aus den Messgrößen so bestimmt werden, dass deren Extremwert mit dem vom Anwender gewünschten optimalen Zustand des zu regelnden Systems übereinstimmt. Durch diese Bewertung ergibt sich dann der Zusammenhang
als Kennlinie bzw. -fläche mit einem Extremwert im optimalen Systemzustand.
Damit der Extremwertregler aus allen Arbeitspunkten im Stellbereich der Stellgrößen den Extremwert finden kann, darf sich in diesem Bereich nur ein lokales Extremum befinden. Im Allgemeinen arbeiten die Extremwertregelungen auch bei Vorhandenseins eines Sattelpunktes, wenn im Maße der Auflösung der Messwerte und der „Suchbreite“ im Arbeitspunkt der Gradient neben dem Sattelpunkt aufgelöst werden kann.Diese hier dargestellte Bedingung gilt im Übrigen für alle Optimierungsverfahren, die mit der Bestimmung des Gradienten der Zielfunktion arbeiten. In der Literatur der Optimierungsverfahren spricht man bei dieser Zielgröße oft auch vom Güte- oder Qualitätswert. Teilweise wird dort in Anlehnung an Optimierungen im wirtschaftlichen Bereich auch der Begriff Kosten verwendet.
Funktionsweise Das Grundprinzip aller Extremwertregler besteht darin, dass im aktuellen Arbeitspunkt das Kennlinienfeld abgetastet wird. Dies kann kontinuierlich, quasikontinuierlich oder zeitdiskret erfolgen. Wird ein Gradient festgestellt, so wird der Arbeitspunkt „in Richtung“ dieses Gradienten verschoben. Da im Optimum der Gradient genau Null ist, verharrt die Regelschleife in diesem Punkt, tastet ihn aber weiterhin ab. Verschiebt sich nun die Lage des optimalen Punktes, detektiert dies der Extremwertregler und folgt dem Optimalpunkt. Es gibt dabei Verfahren, wie der unten genannte Relais-Extremwertregler, die keinen expliziten Unterschied zwischen Gradientenabtastung und Arbeitspunkt machen und/oder auch keinen Zwischenwert bestimmen, der als Gradient interpretiert werden kann. Trotzdem beruhen diese Verfahren auf dem Gradient oder auf dessen Vorzeichen.
Bei der Auslegung eines Extremwertreglers ist zu beachten, dass die zu regelnden Systeme in der Regel dynamische Systeme sind. Weiterhin ist zwischen ein- und mehrdimensionalen Systemen zu unterscheiden. Von eindimensionalen Systemen wird gesprochen, wenn die Stellgröße ein skalarer Wert ist. Bei mehrdimensionalen Systeme hingegen ist die Stellgröße ein Vektor aus einer festen Anzahl von Stellwerten.
Abgrenzung zu Optimierungsverfahren Durch das notwendige Verhalten der Extremwertregler, einen Optimalpunkt eines Systems zu finden und zu halten, haben sie nicht nur Ähnlichkeit mit den allgemein aus der Mathematik und anderen Wissenschaftsgebieten bekannten Optimierungsverfahren (s. Operations Research), sondern stellen selbst eine Teilmenge solcher Optimierungsverfahren dar.
Prinzipiell kann ein Extremwertregler mit vielen bekannten Optimierungsverfahren realisiert werden. (s. z. B.Zhang Chunlei, Raul Ordonez: . Vollständig veröffentlicht in IEEE transactions on automatic control, 2007, vol. 52, no3, S. 454–467, .) Im Allgemeinen stellen jedoch die Ansprüche aus Sicht der Regelungstechnik meist Grenzen, die den Einsatz solcher Verfahren nicht zulassen oder zu Modifikationen führen, die die Effektivität dieser Verfahren stark beeinträchtigen.
Diese regelungstechnischen Ansprüche sind vor allem:
kontinuierliches Verhalten Stabilität im Arbeitspunkt begrenzter Stellbereich dynamisches Verhalten des zu regelnden Systems Einfluss von Störsignalen auf der Zielgröße.
Solche Optimierungsverfahren, die mit der Ableitung der Zielfunktion arbeiten, sind grundsätzlich nicht verwendbar, da im Falle der Extremwertregelung nur eine näherungsweise Bestimmung des Gradienten in einem Arbeitspunkt möglich ist, aber nicht die gesamte Funktion des Kennlinienfeldes als Gleichung oder Gleichungssystem bekannt ist.
Gute Optimierungsverfahren sind dadurch gekennzeichnet, dass sie möglichst schnell bzw. mit möglichst geringem Rechenaufwand den Optimalpunkt finden. Aus diesem Grund arbeiten die meisten Verfahren mit einer Anpassung der Schrittweite, mit der das Kennlinienfeld abgetastet wird. Zu Beginn der Suche wird das Kennlinienfeld mit groben Schritten abgetastet und bei Annäherung an den Optimalpunkt diese Schrittweite sukzessiv verringert. In der Regel wird als Abbruchkriterium für „Optimalpunkt gefunden“ eine Unterschreitung der Schrittweite durch diese Schrittweitensteuerung verwendet.
Diese Verhaltensweise steht im Widerspruch zu den oben genannten Ansprüchen 1 bis 4. Die Abtastwerte werden diskontinuierlich über einen großen Bereich des Kennlinienfeldes an den Stellen gewonnen, die das jeweilige Verfahren als sinnvollen Abtastpunkt für die schnelle Auffindung des Optimums vorausberechnet. Damit erfolgt die Abtastung nicht kontinuierlich, nicht im Bereich eines Arbeitspunktes, berücksichtigt nicht ohne spezielle Maßnahmen die Begrenzungen des Stellbereichs und kann das System, wenn es dynamisch ist, was in der Regel in technischen Systemen der Fall ist, so anregen, dass es in kritische Betriebszustände (Schwingungen, Begrenzungen) gelangt. Diesem kann zwar durch massive Begrenzung der Schrittweite entgegengewirkt werden, jedoch verlieren dadurch diese Verfahren genau die Vorzüge, die sie zu einem schnellen Auffinden des Optimalpunktes bringen.
Viele mathematischen Verfahren sind außerdem für „glatte“ Funktionsverläufe vorgesehen. Bei technischen Systemen hat man es jedoch immer mit einem Störpegel im Messsignal zu tun (Punkt 5). Vor allem im Bereich des Optimums, wo der Gradient des Kennlinienfeldes gegen Null geht, machen sich bei kleinen Abtastschritten diese Störungen erheblich bemerkbar, da sie dem Algorithmus „vorgaukeln“, er befände sich nicht im Optimum. Eine Filterung der Messdaten bringt hier Abhilfe, was aber die Suchgeschwindigkeit gegenüber der theoretisch mit dem jeweiligen Verfahren möglichen Suchgeschwindigkeit weiter verringert. Allerdings stellt dies kein Unterschied zu den üblicherweise verwendeten Extremwertregelungsverfahren dar, da auch diese eine Glättung, meist durch Integration, durchführen.
Eine prinzipielle Unterscheidung in der Anwendung von Extremwertregelern gegenüber üblichen Optimierungsverfahren ist letztlich, dass es nicht nur darum geht, den Optimalpunkt zu finden (im Idealfall nur beim Einschalten des Regelkreises), sondern diesen über lange Zeit stabil zu halten.
Stabilität Auch bei der Extremwertregelungen muss die Stabilität, wie in allen anderen Regelungssystemen auch, gewährleistet werden. Die Bedingungen sind mit Nichtlinearen Regelungen vergleichbar. Besondere Beachtung ist darauf zu richten, dass es hier aus dem Arbeitspunkt heraus nicht nur zu dem typischen „Aufschwingen“ durch eine wirksame Schleifenverstärkung > 1 kommen kann, sondern dass sich der Arbeitspunkt selbst nicht stabil in den Extrempunkt bewegt bzw. dort verbleibt. Solches Verhalten kann bei falscher Auslegung auch ohne das typische Schwingungsverhalten von Regelungssystemen auftreten. Grund hierfür können Phasenverschiebungen zwischen dem Signal des Stellvektors und dem der Rückführung sein, wenn deren Verhalten zueinander zur Richtungsbestimmung (Gradientenabschätzung) im Extremwertregler verwendet wird.
Bekannte Extremwertregelungsverfahren