240px Regelmäßige Polygone
Ein regelmäßiges Polygon, reguläres Polygon, regelmäßiges Vieleck, reguläres Vieleck oder Isogon (von , gleich und γωνία, Winkel) ist in der Geometrie ein ebenes Polygon, das sowohl gleichseitig als auch gleichwinklig ist. Bei einem regelmäßigen Polygon sind demnach alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß. Die Ecken eines regelmäßigen Polygons liegen alle auf einem gemeinsamen virtuellen oder realen Kreis, wobei benachbarte Ecken unter dem gleichen Mittelpunktswinkel erscheinen.
Regelmäßige Polygone können einfach oder überschlagen sein. Einfache regelmäßige Polygone sind stets konvex. Überschlagene regelmäßige Polygone lassen sich in einem Zug zeichnen und werden als reguläre Sternpolygone bezeichnet. Die Symmetriegruppe eines regelmäßigen -Ecks ist die Diedergruppe , bestehend aus genau Drehungen und Spiegelungen.
Alle Kenngrößen regelmäßiger Polygone, wie die Länge der Diagonalen, der Umfang oder der Flächeninhalt, können mit Hilfe trigonometrischer Funktionen angegeben werden. Nicht alle regelmäßigen Polygone sind jedoch mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Regelmäßige Polygone werden unter anderem bei der Näherung der Kreiszahl , für Parkettierungen, in der Architektur und als Münzform verwendet.
Definition Ein Polygon mit den Seiten und den Innenwinkeln heißt regelmäßig, wenn
und
gilt. In einem regelmäßigen Polygon sind demnach alle Seiten zueinander kongruent und alle Winkel gleich groß.
Klassifikation Man unterscheidet einfache und überschlagene regelmäßige Polygone. Alle einfachen regelmäßigen Polygone mit gleich viel Ecken sind zueinander ähnlich und werden in der kombinatorischen Geometrie mit dem Schläfli-Symbol bezeichnet. Um degenerierte Fälle auszuschließen, wird in der Regel angenommen. Die ersten vier einfachen regelmäßigen Polygone sind:
das gleichseitige Dreieck , das Quadrat , das regelmäßige Fünfeck und das regelmäßige Sechseck .
Reguläre Sternpolygone weisen neben dem geschlossenen Polygonzug, auch eine größere Vielfalt an Formen auf. Sie werden mit dem Schläfli-Symbol bezeichnet, wobei die Umlaufzahl des Polygons um seinen Mittelpunkt angibt. Die Umlaufzahl muss dabei teilerfremd zu sein, ansonsten entartet das Polygon. Die ersten drei regelmäßigen Sternpolygone sind:
der Fünfstern , die Siebensterne und sowie der Achtstern .
Die Anzahl der verschiedenen Typen regelmäßiger Polygone mit Ecken ist demnach , wobei die eulersche Phi-Funktion ist. Sind und nicht teilerfremd, werden mit dem Schläfli-Symbol Sterne bezeichnet, die aus mehreren regelmäßigen Polygonen zusammengesetzt sind. Beispiele sind das Hexagramm und das Oktagramm . mini|links|hochkant=2.5|Bezeichnungen regelmäßiger Polygone und weiterer Sternformen
Kenngrößen Winkel mini|Größen beim regelmäßigen Sechseck
Die Ecken eines regelmäßigen Polygons liegen konzyklisch auf einem gemeinsamen Kreis. Ein regelmäßiges Polygon ist damit ein Sehnenvieleck und besitzt so einen Umkreis mit Umkreisradius . Zudem liegen die Ecken gleichabständig auf dem Kreis, das heißt, nebeneinander liegende Ecken erscheinen unter dem gleichen Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel)
.
Damit ist ein regelmäßiges Polygon auch ein Tangentenvieleck mit einem Inkreis mit Inkreisradius . Der Inkreis berührt die Polygonseiten dabei in den Seitenmittelpunkten. Der Inkreismittelpunkt stimmt mit dem Umkreismittelpunkt überein und wird der Mittelpunkt des Polygons genannt. Nachdem die Winkelsumme in einem einfachen -Eck stets ergibt, messen in einem einfachen regelmäßigen Polygon alle Innenwinkel
.
Da sich an den Ecken eines Polygons Innen- und Außenwinkel zu ergänzen, sind in einem einfachen regelmäßigen Polygon auch alle Außenwinkel gleich groß und messen jeweils
.
Für die Winkel in regelmäßigen Polygonen ergeben sich beispielsweise folgende Werte:
Polygon Mittelpunktswinkel Innenwinkel Außenwinkel Gradmaß Bogenmaß Gradmaß Bogenmaß Gradmaß Bogenmaß n-Eck Dreieck Viereck Fünfeck Sechseck Achteck Zehneck Zwölfeck
Längen mini|Bestimmungsdreieck
Die wichtigsten Kenngrößen einfacher regelmäßiger Polygone können mit Hilfe des Bestimmungsdreiecks, das von dem Mittelpunkt und zwei benachbarten Ecken des Polygons gebildet wird, ermittelt werden. Das Bestimmungsdreieck ist gleichschenklig mit dem Spitzenwinkel , den Basiswinkeln , den Schenkeln , der Basis und der Höhe . Wird das Bestimmungsdreieck entlang der Höhe (dem Apothema) in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilt, ergeben sich mit dem oben angegebenen Mittelpunktswinkel und den trigonometrischen Funktionen (Sinus und Kosinus, Tangens und Kotangens sowie Sekans und Kosekans) die folgenden Beziehungen zwischen der Seitenlänge , dem Umkreisradius und dem Inkreisradius :
Für manche Werte von lassen sich explizite Formeln für die Funktionswerte der trigonometrischen Funktionen (siehe Formelsammlung Trigonometrie) und damit für die Längen in einfachen regelmäßigen Polygonen angeben, zum Beispiel:
Polygon Seitenlänge gegeben Umkreisradius gegeben Inkreisradius gegeben Umkreisradius Inkreisradius Seitenlänge Inkreisradius Seitenlänge Umkreisradius n-Eck Dreieck Viereck Fünfeck Sechseck Achteck Zehneck Zwölfeck
Umfang und Flächeninhalt Der Umfang eines einfachen regelmäßigen Polygons ist das -fache der Seitenlänge und damit
.
Der Flächeninhalt eines einfachen regelmäßigen Polygons ist entsprechend das -Fache der Fläche des Bestimmungsdreiecks:
.
Die letzte Gleichung folgt dabei aus der Doppelwinkelformel. Damit ergeben sich beispielsweise die folgenden expliziten Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt einfacher regelmäßiger Polygone:
Polygon Seitenlänge gegeben Umkreisradius gegeben Inkreisradius gegeben Umfang Flächeninhalt Umfang Flächeninhalt Umfang Flächeninhalt Monotonie steigend steigendsteigendsteigendfallendfallend n-Eck Dreieck Viereck Fünfeck Sechseck Achteck Zehneck Zwölfeck
Monotonie und Grenzwert von Flächeninhalt und Umfang mini|hochkant=1.5|Schrittweise Annäherung an einen Kreis durch ein- beziehungsweise umbeschriebene regelmäßige Polygone Es ist nicht immer offensichtlich, dass der Umfang und der Flächeninhalt des regelmäßigen Polygons streng monoton steigt oder streng monoton fällt, wenn größer wird. Da bei der Beschreibung von Flächeninhalt und Umfang die Sinus- und Tangensfunktion eine wichtige Rolle spielen, werden zunächst nützliche Eigenschaften dieser Funktionen bereitgestellt.
Eigenschaften der Tangens- und Sinusfunktionen Aus der Reihendarstellung der Tangensfunktion folgt für : die Ungleichung und ist streng monoton steigend mit .
Ersetzt man durch , so folgt aus der Kettenregel für eine Umkehrung der Monotonie. Für gilt dann: ist streng monoton fallend und .
Für gilt: ist streng monoton fallend und . Die Monotonie ergibt sich mit Hilfe der Ableitung und , der Grenzwert mit der Regel von de L’Hospital. Ersetzt man durch , ergibt sich für : ist streng monoton steigend und .
Bei vorgegebenem Umkreisradius mini|hochkant=1.5|Flächenfunktion
Wenn der Umkreisradius gegeben ist, kann der Flächeninhalt mit der Funktion beschrieben werden (siehe oben).
Aus den Eigenschaften der Sinusfunktion (siehe oben) folgt, dass die Funktion für alle reellen Zahlen streng monoton steigt. Für den Grenzwert erhält man mit
Dies ist der Flächeninhalt des Umkreises.
Analog ergibt sich die strenge Monotonie des Umfangs . Der Grenzwert des Umfangs ist
Dies ist der Umfang des Umkreises.
Bei vorgegebenem Inkreisradius In diesem Fall wird der Flächeninhalt durch die Funktion beschrieben. Wie im vorigen Abschnitt zeigt man: Für alle reellen Zahlen ist streng monoton steigend und es ist . Die strenge Monotonie des Umfangs lässt sich ebenso beweisen.
Diagonalen mini|Diagonalen im regelmäßigen Achteck
Von jeder Ecke eines regelmäßigen -Ecks gehen Diagonalen bis aus. Die Länge der Diagonalen kann wiederum mit Hilfe des Bestimmungsdreiecks, das von dem Mittelpunkt des Polygons und den beiden Endpunkten der Diagonale gebildet wird, ermittelt werden. Das Bestimmungsdreieck der -ten Diagonale, , ist wieder gleichschenklig und hat die Schenkel , die Basis und den Spitzenwinkel . Damit ergibt sich für die Länge der -ten Diagonale
.
Für die Längen der Diagonalen in einem einfachen regelmäßigen Polygon gilt die Identität
.
Durch Drehung der Diagonalen um den Winkel mit dem Mittelpunkt als Drehzentrum oder aus dem Kreiswinkelsatz, denn jedes regelmäßige Polygon hat einen Umkreis, folgt, dass die kleinen Dreiecke der Dreieckszerlegung mit den Seitenlängen , und die Innenwinkel , und hat. Daraus ergibt sich mithilfe des Sinussatzes die genannte Formel für die Länge der -ten Diagonale.Anne Fontaine, Susan Hurley, Forum Geometricorum: Proof by Picture: Products and Reciprocals of Diagonal Length Ratios in the Regular Polygon
Eine andere Möglichkeit ist die Verwendung des Kosinussatzes und vollständige Induktion.
Wenn der Umkreis des regelmäßigen Polygons mit dem Durchmesser betrachtet wird, kann alternativ der Satz des Thales oder auch der Sekanten-Tangenten-Satz verwendet werden.
Ist die Eckenzahl des Polygons gerade, sind daher Diagonalen unterschiedlich lang. Ist die Eckenzahl ungerade, gibt es verschieden lange Diagonalen.
Bei gegebener Seitenlänge ergeben sich beispielsweise die folgenden expliziten Formeln für die Längen der Diagonalen einfacher regelmäßiger Polygone:
Polygon Diagonalen Diagonale Diagonale Diagonale Diagonale Diagonale Viereck Fünfeck Sechseck Achteck Zehneck Zwölfeck
Eigenschaften Symmetrien mini|Symmetrieachsen beim regelmäßigen Fünfeck und Sechseck
Die Symmetriegruppe eines regelmäßigen -Ecks ist die Diedergruppe . Die Diedergruppe weist die Ordnung auf und besteht aus
Rotationen der zyklischen Gruppe und Spiegelungen an den Symmetrieachsen durch den Mittelpunkt des Polygons.
Ist gerade, dann verläuft die eine Hälfte der Symmetrieachsen durch zwei gegenüberliegende Ecken und die andere Hälfte durch zwei Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten. Ist ungerade, dann verlaufen alle Symmetrieachsen durch eine Ecke und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite.
Jedes regelmäßige Polygon mit gerader Eckenzahl ist auch punktsymmetrisch bezüglich seines Mittelpunkts.
Zerlegungen mini|Zerlegungen eines regelmäßigen Siebenecks und eines regelmäßigen Achtecks entlang aller Diagonalen
Die Gesamtzahl aller Diagonalen in einem regelmäßigen -Eck ergibt sich zu (), da von jeder der Ecken Diagonalen ausgehen und bei dieser Zählung alle Diagonalen doppelt gezählt werden. Bei einem einfachen regelmäßigen Polygon mit gerader Eckenzahl verlaufen alle Diagonalen durch den Mittelpunkt des Polygons. Bei ungerader Eckenzahl wird durch die Diagonalen im Inneren eine verkleinerte Kopie des Polygons gebildet. Die Anzahl der Schnittpunkte der Diagonalen im Inneren eines einfachen regelmäßigen -Ecks ergibt die Folge Korrigierte Version:
().
Diese Folge ganzer Zahlen ist nicht monoton steigend.
Jeweils 4 beliebige Eckpunkte des regelmäßigen -Ecks bilden ein konvexes Viereck. Die zwei Diagonalen des Vierecks schneiden sich in einem Punkt. Umgekehrt gehört jeder Schnittpunkt zu mindestens zwei Diagonalen des regelmäßigen -Ecks.
Für ungerades schneiden sich immer nur 2 Diagonalen in einem Punkt. Die Anzahl der Schnittpunkte ist daher gleich der Anzahl der Möglichkeiten, 4 der Eckpunkte auszuwählen, wenn die Reihenfolge nicht berücksichtigt wird, also die Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung:
Für gerades größer gleich 6 schneiden sich auch mehr als 2 Diagonalen in einem Punkt. In diesem Fall ist die Anzahl der Schnittpunkte kleiner als .
Die Anzahl der Teilpolygone, die durch eine vollständige Zerlegung eines einfachen regelmäßigen -Ecks entlang der Diagonalen entsteht, ergibt die Folge
().
Für ungerades ist diese Anzahl gleich
und kleiner für gerades . Auch diese Folge ganzer Zahlen ist nicht monoton steigend.