Die Killing-Form (auch Cartan-Killing-Form) spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie und in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren. Sie ist nach Wilhelm Killing benannt.
Definition
Sei eine Lie-Algebra über dem Körper und ihre adjungierte Darstellung.
Die Killing-Form ist die durch
für definierte symmetrische Bilinearform , wobei die Spur bezeichnet.
Eigenschaften
ist eine symmetrische Bilinearform. ist assoziativ, das heißt, es gilt für alle . Für alle ist schiefsymmetrisch bzgl. , das heißt für alle gilt . Die Killing-Form ist nicht-ausgeartet genau dann, wenn die Lie-Algebra halb-einfach ist. Falls die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe ist, dann ist -invariant, d. h. für alle gilt . Falls die Lie-Algebra einer halbeinfachen Lie-Gruppe ist, dann ist die Killing-Form negativ definit genau dann, wenn kompakt ist. Insbesondere definiert eine bi-invariante Riemannsche Metrik auf einer kompakten, halbeinfachen Lie-Gruppe . Allgemeiner ist auf der Lie-Algebra einer kompakten (nicht notwendig halbeinfachen) Lie-Gruppe die Killingform stets negativ semidefinit.
Beispiele
Die Killing-Form nilpotenter Lie-Algebren ist identisch Null.
Für viele klassische Lie-Algebren lässt sich die Killing-Form explizit angeben:
g gl(n, R) sl(n, R) su(n) so(n, R) so(n) sp(n, R) sp(n, C)
Riemannsche Metrik auf symmetrischen Räumen von nichtkompaktem Typ
Ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ ist eine Mannigfaltigkeit der Form
mit einer halbeinfachen Lie-Gruppe und einer maximal kompakten Untergruppe .
Zu einem symmetrischen Raum hat man eine Cartan-Zerlegung
und man kann den Tangentialraum im neutralen Element mit identifizieren.
Die Killing-Form ist negativ definit auf und positiv definit auf . Insbesondere definiert sie ein -invariantes Skalarprodukt auf und damit eine links-invariante Riemannsche Metrik auf . Bis auf Multiplikation mit Skalaren ist dies die einzige -invariante Metrik auf .
Die Differentialgeometrie symmetrischer Räume beschäftigt sich mit den Eigenschaften dieser Riemannschen Mannigfaltigkeiten.
Klassifikation halbeinfacher Lie-Algebren
Die Killing-Form spielt eine Schlüsselrolle in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren über algebraisch abgeschlossenen Körpern der Charakteristik .
Literatur Humphreys, James E.: Introduction to Lie algebras and representation theory. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 9. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1972.
Kategorie:Theorie der Lie-Algebren Kategorie:Theorie der Lie-Gruppen Kategorie:Differentialgeometrie