Die Konstante von Glaisher-Kinkelin, oft auch nur glaishersche Konstante, ist eine mathematische Konstante, die in einigen Summen und Integralen auftritt, vor allem im Zusammenhang mit der Gammafunktion und der riemannschen Zetafunktion. Sie ist nach J. W. L. Glaisher und Hermann Kinkelin benannt.
Näherungswert
Die Konstante von Glaisher-Kinkelin wird üblicherweise mit bezeichnet. Ein Näherungswert ist – die ersten 20.000 Nachkommastellen beim Projekt mpmath (englisch)
Die einzelnen Nachkommastellen bilden die .
Definitionen der Glaisher-Kinkelin-Konstante
Definition über die Hyperfakultät Eine mögliche DefinitionJulian Havil: Gamma: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-48495-0, S. 103 von lautet wie folgt:
Dabei ist die Hyperfakultät so definiert: {| class="wikitable"
Alle vier soeben gezeigten Definitionsformeln für die Hyperfakultät sind zueinander identisch.
Für die Fakultätsfunktion beziehungsweise die Gaußsche Pifunktion gilt mit dem Weierstraß-Produkt diese Definition:
Diese Induktionsgleichungen sind für die Hyperfakultät gültig:
Die Hyperfakultät ist mit der K-Funktion des Nachfolgers identisch.
Mit dieser Definition eng verwandt ist diese über die Gammafunktion erfolgende Definition:
Definition über die Superfakultät Eine weitere Definition unter Verwendung der Kreiszahl lautet wie folgt:
Dabei steht der Buchstabe G für die Barnessche G-Funktion
Deswegen kann alternativ zu diesem Ausdruck auch eine Grenzwertdefinition mit der Superfakultät aufgestellt werden:
Dabei ist die Superfakultät mit diesen zueinander identischen Formeln definiert: {| class="wikitable"
Definition über die Riemannsche Zetafunktion Eine andere Definition lautet so:
die einen Zusammenhang zur Ableitung der Riemannschen Zetafunktion darstellt.
Hurch Hinzufügung der Abel-Plana-Definition von der Riemannschen Zeta-Ableitung erhält man diese Formel:
Durch Einsetzen der Abel-Plana-Definitionen von Dirichletscher Lambdafunktion und Etafunktion können auch diese Definitionen aufgestellt werden:
Summenreihen und Produktreihen Eine Reihendarstellung lautet (Guillera, Sondow 2008)Jesús Guillera, Jonathan Sondow: Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch’s transcendent. In: The Ramanujan Journal, 16, 2008, S. 247–270 ()
Sie basiert auf der Riemannschen Zetafunktion.
Der Mathematiker Helmut Hasse hat sie auf Basis des genannten Werkes von Sondow und Guillera weitererforscht.
Folgende Produktreihen ergeben folgende Werte:
Das obere dieser beiden Produkte weist eine enge Verwandtschaft zu den Kummerschen Reihen auf.
Ableitungswerte der Riemannschen und Dirichletschen Funktionen
Definition der Funktionen und Ableitungen Im Folgenden werden die Abel-Plana-Definitionen für die Riemannsche Zetafunktion, die Dirichletsche Lambdafunktion und die Dirichletsche Etafunktion aufgestellt: Name der FunktionAbel-Plana-IntegralausdruckRiemannsche ZetafunktionDirichletsche LambdafunktionDirichletsche Etafunktion Durch Bildung des Differentialquotienten bezüglich x entstehen folgende Definitionen für die Ableitungen der Riemannschen und Dirichletschen Funktionen: Name der FunktionAbel-Plana-IntegralausdruckRiemannsche ZetaableitungDirichletsche LambdaableitungDirichletsche Etaableitung
Wertetabelle Als Nächstes werden die Ableitungswerte der Riemannschen und Dirichletschen Funktionen ausgedrückt über die Glaisher-Kinkelin-Konstante tabellarisch gegenübergestellt: Abszissenwerte xRiemannsche ZetaableitungDirichletsche LambdaableitungDirichletsche Etaableitung Denn es gelten folgende Umwandlungsformeln:
Literatur
Hermann Kinkelin: Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung. (Juli 1856) In: Journal für die reine und angewandte Mathematik, 57, 1860, S. 122–138 (Göttinger Digitalisierungszentrum) J. W. L. Glaisher: On the Product 1¹.2².3³...nⁿ. In: The Messenger of Mathematics, 7, 1878, S. 43–47 (englisch; „A=1·28242 7130“ auf S. 43);
Weblinks
(Kettenbruchentwicklung von A)
Einzelnachweise
Kategorie:Analysis Kategorie:Besondere Zahl