Ein Laurent-Polynom (nach Pierre Alphonse Laurent) ist in der Mathematik eine Verallgemeinerung des Begriffs Polynom. Beim Laurent-Polynom sind auch negative Exponenten zugelassen.
Definition Ein Laurent-Polynom über einem kommutativen Ring ist ein Ausdruck der Form
,
bei dem nur endlich viele Ringelemente von 0 verschieden sind. Ein Laurent-Polynom kann also als eine Laurent-Reihe mit nur endlich vielen von 0 verschiedenen Koeffizienten angesehen werden.
Der Ring der Laurent-Polynome Mit Laurent-Polynomen rechnet man formal wie folgt:
Addition: ,
Multiplikation: .
Diese Operationen machen die Menge zu einem Ring, dem sogenannten Laurent-Ring über . Es handelt sich sogar um einen R-Modul, wenn man die Multiplikation mit Elementen in naheliegender Weise wie folgt definiert:
Skalare Multiplikation: .
In vielen Anwendungen ist ein Körper, ist dann eine -Algebra.
Eigenschaften Man erhält aus dem Polynomring , indem man die Unbestimmte invertiert. Der Laurent-Ring über ist damit die Lokalisierung von nach der von den positiven Potenzen von erzeugten Halbgruppe. Die Einheiten von sind von der Form , wobei eine Einheit und ist. Der Laurent-Ring über ist isomorph zum Gruppenring von über .
Derivationen des Laurent-Rings Es sei ein Körper. Dann ist die Menge der Derivationen auf eine Lie-Algebra. Die formale Ableitung
ist eine solche Derivation. Daher ist auch für jedes durch die Definition eine Derivation gegeben. Dies ist die allgemeinste Derivation auf . Ist nämlich eine solche Derivation, so ist und man kann zeigen.Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman: Vertex Operator Algebras and the Monster, Academic Press, New York (1988) ISBN 0-12-267065-5, Satz 1.9.1
Die Derivationen , bilden daher eine Basis. Durch eine kurze Rechnung bestätigt man die Kommutatorrelationen
für alle .
(siehe Witt-Algebra). Weiter gilt
für alle .
Daher nennt man auch die Grad-Derivation.
Einzelnachweise
Kategorie:Kommutative Algebra Kategorie:Theorie der Lie-Gruppen Kategorie:Polynom