Ein Pareto-Optimum (auch Pareto-effizienter Zustand) ist ein (bestmöglicher) Zustand, in dem es nicht möglich ist, eine (Ziel-)Eigenschaft zu verbessern, ohne zugleich eine andere verschlechtern zu müssen, siehe Zielkonflikt. Das Pareto-Optimum ist nach dem Ökonomen und Soziologen Vilfredo Pareto benannt.

In der Wirtschaftswissenschaft ist der Begriff Effizienz eng verbunden mit dem ökonomischen Prinzip. Ein Pareto-Optimum ist der Zustand in der Volkswirtschaft, in dem es nicht möglich ist, die Güterversorgung eines Wirtschaftssubjekts zu erhöhen, ohne gleichzeitig die Wohlfahrt eines anderen zu verringern.

Die Menge aller Pareto-Optima heißt auch Pareto-Menge (auch Pareto-Front). Das Pareto-Kriterium ist die Beurteilung, ob ein Zustand sich durch die Veränderung eines Zielwerts verbessert (Pareto-Superiorität), ohne auch nur einen anderen Zielwert verschlechtern zu müssen (Pareto-Verbesserung). Vilfredo Pareto bezog sich ursprünglich nicht auf Zielwerte/Eigenschaften/Kriterien (mitunter auch „Merkmale“ genannt), sondern auf Individuen. In Bezug auf Individuen kennzeichnet ein Pareto-optimaler (Pareto-effizienter) Zustand einen Zustand, bei dem es keine Möglichkeit gibt, ein Individuum besser zu stellen, ohne gleichzeitig ein anderes schlechter zu stellen.

Das Lösen des Problems, Pareto-Optima zu finden, heißt Pareto-Optimierung. Pareto-optimale Strategien maximieren in kooperativen Spielen den Allgemeinnutzen.

Pareto-Ordnung Liegen mehrere Teilziele (mit ) vor, welche zu einer vektorwertigen Zielfunktion zusammengefasst werden, so ist es im Allgemeinen nicht mehr möglich genau ein Optimum zu finden. Dies liegt daran, dass für keine totale Ordnungsrelation existiert, welche bei der Mehrzieloptimierung keines der Ziele bevorzugtBeachte die Lexikographische Ordnung wäre zwar eine Totalordnung für Tupel, allerdings würden bestimmte Ziele immer präferiert. Daher können verschiedene Lösungen unvergleichbar sein."The main difficulty is that, in contrast to the single-objective case where there is a total order relation between solutions, Pareto dominance is a partial order, which leads to solutions (and solution sets) being incomparable" Li, M., López-Ibáñez, M., & Yao, X. (Accepted/In press). Multi-Objective Archiving. IEEE Transactions on Evolutionary Computation. PDF: Sprich es gibt keine totale Ordnungsrelation, welche den Vergleich leisten könnte. Lediglich die Pareto-Ordnung kann betrachtet werden: Betrachtet man ein vektorwertiges Minimierungsproblem, dann ist das -Tupel ein Pareto-Optimum (hier: Minimum) einer Menge von -Tupeln, wenn es in kein anderes -Tupel gibt, das in allen Parametern mindestens so gut ist und in einem echt besser. Das heißt es gelte für alle -Tupel in und für alle : und für mindestens ein gilt: .

Anders ausgedrückt: paretodominiert genau dann, wennEmmerich, M.T.M., Deutz, A.H. A tutorial on multiobjective optimization: fundamentals and evolutionary methods. Nat Comput 17, 585–609 (2018). : und Man schreibt dann , wobei die Pareto-Ordnung ist. Dies bedeutet, dass in keinem Ziel schlechter als ist, aber in mindestens einem Ziel besser (da kleiner) ist. Die Pareto-Ordnung ist eine partielle Ordnung.

Sei , dann definiert das eine Präordnung im Suchraum und wir sagen paretodominiert die Alternative und wir schreiben .

mini| dominiert in der Pareto-Ordnung (welche die Ziele und zu minimieren sucht) mini| dominiert nicht in der Pareto-Ordnung und dominiert nicht in der Pareto-Ordnung (welche die Ziele und zu minimieren sucht)

Definition nach der Mengenlehre Gegeben seien beliebige Mengen und die dazugehörige Indexmenge, wobei gelte. Ferner sei nun eine Menge von -Tupeln. Für die einzelnen Elemente zweier beliebiger -Tupel sei eine Totalordnung durch die Relation gegeben. Mit dem Index und den jeweils -ten Tupelelementen und bedeute dies formal, dass eine wahre Aussage sei. Zudem existieren mindestens zwei solcher Tupelelemente in ganz , sodass diese einer strengen Totalordnung durch die Relation unterliegen. Das heißt, sie genügen der obigen Totalordnung, dürfen jedoch nicht gleich sein. Sind all diese Forderungen erfüllt und alle Elemente wie oben beschrieben gewählt, so lässt sich nun mittels der Prädikatenlogik erster Stufe folgende Definition machen:

ist Pareto-Optimum .

Dabei ist zu beachten, dass in obiger Definition lediglich die Existenz der natürlichen Zahlen und die Definition von Gleichheit ohne weitere Erläuterungen als gegeben angenommen wurden. Diese Formulierung ist lediglich als Ergänzung zu der obigen Beschreibung in der Einleitung zu betrachten, da sie gegenüber dieser weniger Annahmen als implizit wahr voraussetzt. Die Betonung der Beliebigkeit der Mengen Eingangs verdeutlicht zudem, dass sich dieses Konzept nicht notwendigerweise auf den Gebrauch von Zahlen beschränken muss. Sollen beispielsweise in einem Experiment der Sozialwissenschaften die Empfindungen einzelner Probanden als Faktoren mit berücksichtigt werden, diese lassen sich jedoch quantitativ nicht genau beziffern, so kann es dennoch dazu kommen, dass sich ein Pareto-Optimum finden lässt. Einzige Bedingung wäre hierbei, dass sich diese Empfindungen untereinander vergleichend einordnen lassen.

Pareto-Menge mini|300px|Beispiel einer Pareto-Front, bzw. Pareto-Menge (in rot)

Da keine eindeutig beste Lösung definiert ist, bestimmt man eine Menge von Lösungen des Optimierungsproblems, bei der eine Verbesserung eines Zielfunktionswertes nur noch durch Verschlechterung eines anderen erreicht werden kann, also die Menge optimaler Kompromisse. Diese Lösungsmenge bezeichnet man als Pareto-Menge oder Pareto-Optimum des zugrunde liegenden Paretooptimierungsproblems. Die Elemente der Pareto-Menge sind „pareto-optimal“. Es ist zu beachten, dass die Pareto-Menge im Allgemeinen nicht vollständig durch die Variation von Gewichtungsfaktoren in der skalarisierten Zielfunktion bestimmt werden kann (vergleiche Animation). mini|Nicht-konvexe Pareto-Front und aufgefundene Optima durch lineare Gewichtung der Zielfunktionen. Nicht alle Pareto-effizienten Punkte können durch Änderung der linearen Gewichtung gefunden werden, wenn die Pareto-Menge nicht konvex ist.

Ist die Pareto-Menge des gegebenen Optimierungsproblems erst einmal gefunden, so können subjektive Einschätzungen über die Wichtigkeit der einzelnen Teilziele (verschiedene Gewichtungsfaktoren) angegeben werden. Die Pareto-Menge enthält dann für beliebige relative Teilzielgewichtungen jeweils mindestens eine Lösung, die bei dieser Gewichtung optimal ist. Die subjektive Gewichtung der Teilziele erfolgt in der Wirtschaft beispielsweise durch Indifferenzkurven.

Dimension und Visualisierung Bei einem Optimierungsproblem mit n Zielen wird die Pareto-Menge eine (n − 1)-dimensionale Hyper-Grenzfläche darstellen (bei einem linearen Optimierungsproblem ist diese Grenzfläche ein Ausschnitt einer Hyperebene). Das Pareto-Optimum eines zwei-kriteriellen Problems (z. B. Leistung versus Drehmoment einer Kraftmaschine) ist eine streng monoton fallende, nicht notwendigerweise stetige Grenzlinie in einem Leistungs-Wirkungsgrad-Diagramm.

Ab vier Dimensionen ist keine direkte Visualisierung der Pareto-Menge mehr möglich. Stattdessen kann der Lösungsraum durch Hilfsmittel wie etwa das Sterndiagramm interaktiv erfasst werden.

Beispiele Beispiel 1 mini|y-Achse: Festigkeitx-Achse: „Leichtigkeit“ (=Kehrwert der Masse) Ein Bauteil soll sowohl belastbar als auch leicht werden. Es sei also gekennzeichnet durch die zwei Eigenschaften Festigkeit und Masse. Je höher die Festigkeit und je geringer die Masse, desto besser sei das Bauteil. Trägt man die Wertepaare für viele verschiedene Bauteile in ein Diagramm ein, das Festigkeit und Leichtigkeit (Kehrwert der Masse) gegenüberstellt, so erhält man die blau markierte Menge in nebenstehender Grafik.

Bei gleicher Masse ist dasjenige Bauteil besser, das fester ist. Bei gleicher Festigkeit ist dasjenige Bauteil besser, das leichter ist. Trifft die Verbesserung des einen Wertes auf die Verschlechterung des anderen, so sind die Bauteile nicht Pareto-vergleichbar.

Bezogen auf die Grafik sind weiter rechts und weiter oben stehende Werte Pareto-superior gegenüber den links und unten stehenden Werten. Alle Bauteile auf der roten Kurve sind „die besten“. Sie sind Pareto-optimal und damit die Menge aller optimalen Kompromisse. Eine Erhöhung eines Wertes ist dann nur noch möglich, wenn der andere abnimmt. (Auf der roten Linie gilt: „Weiter nach rechts“ zwingt zu „weiter nach unten“; umgekehrt zwingt „weiter nach oben“ dazu, auch „weiter nach links“ gehen zu müssen.)

Eine zusätzliche Bedingung oder Anforderung kann die Pareto-Front auf ein einziges „(aller-)bestes“ Bauteil (bzgl. aller drei Anforderungen) reduzieren. Dies kann auch eine Norm sein, die Festigkeit und Masse in eine Größe überführt, und dadurch die Punkte auf der roten Linie vergleichbar macht, was zu einer eindeutig optimalen Lösung (bzgl. der Norm) führt. Je nachdem ob die Größen vergleichbar sind, ist mitunter keine Norm zu finden.

Beispiel 2 Angenommen, es handelt sich um drei Individuen A, B und C, die an einer Straße wohnen. Zur Versorgung mit Trinkwasser muss ein Brunnen gebohrt werden. Die Leitung vom Brunnen zu seinem Haus muss jeder selbst bezahlen. Deshalb möchte jeder den Brunnen möglichst dicht bei seinem Haus haben.

In der folgenden Skizze ist die Lage der drei Häuser an der Straße als A, B und C markiert. Außerdem sind die fünf möglichen Standorte für den Brunnen als b1, b2, b3, b4 und b5 bezeichnet. Es wird angenommen, die vertikalen/horizontalen Entfernungen zum jeweils nächstliegenden Brunnen oder Nachbarn seien jeweils 50 m.

Skizze der möglichen Orte für den Brunnen:

(b1)

(b2) (b3)

(b4) (b5)

=====|A|=====|B|=====|C|========Straße =====

Menge A = { b1, b2, b3, b4, b5 }

Parameter sind die 3 Tupel-Elemente „Entfernung zu A“, „Entfernung zu B“ und „Entfernung zu C“: b1( 158,1 m, 150,0 m, 158,1 m ) b2( 111,8 m, 100,0 m, 111,8 m ) b3( 141,4 m, 111,8 m, 100,0 m ) b4( 70,7 m, 50,0 m, 70,7 m ) b5( 111,8 m, 70,7 m, 50,0 m )

Für den ersten Tupeleintrag (= „Entfernung zu A“) ist b4 optimal, für das zweite Tupelelement ist ebenfalls b4 optimal, für das dritte Tupelelement ist b5 optimal.

Das Pareto-Optimum ist somit { b4, b5 }.

Der Ort b1 ist nicht Pareto-optimal, denn der Ort b2 ist dem Ort b1 paretomäßig überlegen (englisch: Pareto-superior). Der Ort b2 stellt gegenüber b1 für alle Beteiligten eine Verbesserung dar. Aber auch b2 ist nicht Pareto-optimal, denn b4 ist b2 paretomäßig überlegen. Der Ort b4 stellt gegenüber b2 für alle Beteiligten eine Verbesserung dar. Die Orte b2 und b3 sind nach dem Pareto-Kriterium nicht vergleichbar, da eine Verlegung des Brunnens von b2 nach b3 sowohl einen der Beteiligten besser stellt als auch einen andern Beteiligten schlechter stellt. Entsprechendes gilt für eine Verlegung des Brunnens von b3 nach b2. Eine Abwägung der Vor- und Nachteile verschiedener Personen ist über das Pareto-Kriterium nicht möglich. Der Ort b3 ist ebenfalls kein Pareto-Optimum, denn b5 stellt gegenüber b3 für alle eine Verbesserung dar. Der Ort b4 ist Pareto-optimal, denn zu b4 gibt es keine paretomäßig überlegene Alternative, die (mindestens) einen der Beteiligten besser stellt, ohne zugleich einen anderen schlechter zu stellen Der Ort b5 ist allerdings ebenfalls Pareto-optimal, denn jede Verlegung des Brunnens auf einen der anderen Orte würde Individuum C schlechter stellen. Die Orte b4 und b5 sind nach dem Pareto-Kriterium nicht vergleichbar, da eine Verlegung des Brunnens von b4 nach b5 sowohl einen der Beteiligten besser stellt als auch einen anderen schlechter stellt. Entsprechendes gilt für eine Verlegung von b5 nach b4.

Anwendungen mini|Pareto-effiziente Güterbündel liegen auf der Produktions­möglichkeiten­kurve. Von keinem der beiden Güter kann eine zusätzliche Einheit hergestellt werden, soll die Produktion des anderen Gutes nicht eingeschränkt werden.