mini|hochkant=1.5|Blick von oben auf die Bahnebene des Satelliten:Simulation eines flüssigen Satelliten, der nur durch seine eigene Gravitation zusammengehalten wird. Weit entfernt von der Roche-Grenze bildet die Masse des Satelliten (rot/blau) annähernd eine Kugel.mini|hochkant=1.5|Näher an der Roche-Grenze deformiert sich der Satellit durch die Gezeitenkräfte zu einem Ellipsoid.mini|hochkant=1.5|Innerhalb der Roche-Grenze kann der Körper den Gezeitenkräften nicht mehr widerstehen und löst sich auf.mini|hochkant=1.5|Teilchen, die dem Hauptkörper näher sind, bewegen sich schneller als solche, die dem Hauptkörper ferner sind (siehe die unterschiedlich langen roten Pfeile). mini|hochkant=1.5|Nach einiger Zeit entsteht durch diese differentielle Rotation ein Ring. Die Roche-Grenze [] beschreibt diejenige Umlaufbahn zweier idealisierter, theoretischer Körper, bei der sich ein perfektes Gleichgewicht von nach innen gerichteten Gravitationskräften und den nach außen wirkenden Gravitationskräften („Gezeitenkräfte“) einstellt. Innerhalb dieser Zone wird angenommen, dass die nach außen wirkenden Kräfte die Oberhand haben und es somit für Materie schwer ist, eine kohäsive Form einzunehmen bzw. zu halten. Die Roche-Grenze ist nach Édouard Albert Roche benannt, der sie 1850 im Zusammenhang mit seinen Überlegungen zur Erklärung der Bildung planetarer Ringsysteme formulierte.
Die mathematisch konstruierbare Umlaufbahn stellt den frühestmöglichen Abstand dar, ab dem sich größere Materie-Ansammlungen bilden können, die zu eigenständigen Körpern, den Trabanten oder Monden, werden können. Dies ist nicht gleichbedeutend mit dem umgekehrten Fall, dass sich jedwede annähernde Materie beim Übertreten der Roche-Grenze auflöst. Nur wenn ein realer Körper innerhalb dieser Zone eine stabile Umlaufbahn einnehmen und halten kann, ist es theoretisch denkbar, dass die Zeit in kosmischen Maßstäben ausreichend ist, damit größere Materie-Klumpen zu kleineren zerfallen können, bis schließlich nur noch kleinste Partikel vorhanden sind. Partikel innerhalb der Roche-Grenze würden sich in ringförmigen Bahnen um den Zentralkörper ausbilden, etwa so wie es bei den Ringen des Saturn zu sehen ist.
In der Realität spielen jedoch sehr viele weitere Faktoren eine Rolle, die bestimmen, ob oder ab wann ein Körper beginnen könnte zu zerfallen. Diese werden unter dem Begriff „innere Stabilität“ zusammengefasst. Sie beinhaltet alle Kräfte, die den Körper über die bloßen Gravitationskräfte hinaus zusammenhalten, bei der Betrachtung bzw. Berechnung der Roche-Grenze aber nicht berücksichtigt werden. Es ist daher wahrscheinlicher, dass sich ein Himmelskörper (der in jedem Fall ein Maß an innerer Stabilität aufweist, das von Null verschieden ist) auf Grund der Anziehungskräfte des Zentralkörpers auf einer Abwärtsspiralbahn und Kollisionskurs befindet. Die Roche-Grenze beschreibt dann den niedrigsten Orbit einer vollständigen Umrundung, bevor der Einschlag (nicht die vollständige Auflösung des Körpers) auf den Zentralkörper stattfindet. Ein solcher Fall konnte 1994 beobachtet werden, als der Komet Shoemaker-Levy 9 nach etwa 40 Jahren der Umrundung des Jupiters in mehrere große Stücke zerbrach, die mit Jupiter kollidierten. Das Auseinanderbrechen geschah (weit) innerhalb der theoretisch ermittelbaren Roche-Grenze, jedoch nicht exakt an der Roche-Grenze selbst.
Anwendung Das im Allgemeinen betrachtete System aus Zentralkörper und ihn umkreisenden Körper, lässt sich auf viele Szenarien übertragen. Der naheliegendste Fall ist ein Planet-Mond-System. Es lassen sich aber auch Sonne-Planet, Mond-Asteroid, Partikel-Partikel, Planet-Planet, Sonne-Materiewolke, Sonne-Sonne etc. betrachten.
Der Zentralkörper ist dabei der größere bzw. massereichere Körper und übt daher starke Gezeitenkräfte aus. Der kleinere Körper wird als der umkreisende und durch diese Kräfte verformende Körper angenommen.
Ursache der Gezeitenkräfte ist der Umstand, dass die Anziehungskraft durch den Zentralkörper auf der ihm zugewandten Seite des Himmelskörpers größer ist als auf der abgewandten. Daher kommt es zu inneren Spannungen oder Verformungen, die bis zur Auflösung des Himmelskörpers führen können.
Roche-Grenze als Grenze für die Umlaufbahn Die Roche-Grenze eines Himmelskörpers, der einen Hauptkörper umkreist, ist die Entfernung, in der der Körper aufgrund der Gezeitenkräfte, die auf ihn wirken, zerrissen wird.
Es wird dabei angenommen, dass der Körper nur von den eigenen Gravitationskräften zusammengehalten wird und seine mechanische Festigkeit vernachlässigbar ist. Für reale Festkörper ist diese Annahme umso besser erfüllt, je größer der Körper ist. Daher können künstliche Satelliten problemlos auch innerhalb der Roche-Grenze kreisen, während große Objekte wie Monde und Planeten dort nicht existieren können.
Befindet sich Material, das sich noch nicht zu einem Einzelkörper zusammengeballt hat, auf einer Umlaufbahn um den Hauptkörper, so wird sich dieses Material innerhalb der Roche-Grenze ringförmig auf dem Orbit verteilen, während es außerhalb der Grenze einen Klumpen bildet.
Tatsächlich befinden sich fast alle bekannten Planetenringe innerhalb der Roche-Grenze ihrer Planeten. Sie könnten sich daher entweder aus der protoplanetaren Akkretionsscheibe direkt geformt haben, da die Gezeitenkräfte verhindert haben, dass sich Monde aus diesem Material formen, oder Bruchstücke zerstörter Monde sein, die sich von außen über die Roche-Grenze bewegt haben. Alle größeren Monde des Sonnensystems befinden sich dagegen weit außerhalb der Roche-Grenze, kleinere Monde sind jedoch in der Lage, sich auch innerhalb der Roche-Grenze aufzuhalten. So befinden sich die Bahnen von Jupiters Mond Metis und Saturns Mond Pan innerhalb der Roche-Grenze für so genannte flüssige Körper. Die mechanische Festigkeit dieser Körper wirkt dabei zum einen direkt gegen die Gezeitenkräfte, die auf den Körper einwirken, und zum anderen bewirkt die Festigkeit auch, dass diese Körper starr bleiben, d. h. ihre Form nicht verändern – ein Effekt, der weiter unten beschrieben wird und die Gezeitenkräfte zusätzlich verstärkt. Dieser Effekt wird besonders anschaulich durch die Tatsache beschrieben, dass ein Objekt, das auf die Oberfläche eines solchen Mondes „gelegt“ würde, sich nicht auf dem Mond halten würde, sondern durch die Gezeitenkräfte von der Oberfläche fortgezogen würde. Ein Körper mit geringerer mechanischer Festigkeit, beispielsweise ein Komet, würde in diesen Regionen zerstört werden, wie am Beispiel des Kometen Shoemaker-Levy 9 zu sehen war, dessen Orbit im Juli 1992 Jupiters Roche-Grenze durchstieß, woraufhin der Kern des Kometen in zahlreiche Fragmente zerfiel. Bei der nächsten Annäherung an den Planeten im Jahre 1994 kollidierten diese Fragmente dann mit dem Planeten.
Herleitung zur Bestimmung der Roche-Grenze Die Roche-Grenze hängt von der Verformbarkeit des Satelliten ab, der sich dem Hauptkörper nähert. Zur Berechnung dieser Grenze werden daher zwei extreme Fälle betrachtet. Im ersten Fall nimmt man an, dass der Körper absolut starr bleibt, bis der Körper von den Gezeitenkräften zerrissen wird. Der gegenteilige Fall ist ein so genannter „flüssiger Körper“, d. h. ein Satellit, der sich der Verformung überhaupt nicht widersetzt und daher bei der Annäherung an die Roche-Grenze zunächst länglich verformt wird und dann zerreißt. Der zweite Fall liefert erwartungsgemäß den größeren Abstand zum Planeten als Roche-Grenze.
Starre Körper Beim starren Satelliten wird angenommen, dass die inneren Kräfte die Form des Körpers stabil halten, der Körper aber trotzdem nur durch seine Eigengravitation zusammengehalten wird. Weitere Idealisierungen sind die Vernachlässigung eventueller Verformungen des Hauptkörpers durch Gezeitenkräfte oder dessen Eigenrotation sowie die Eigenrotation des Satelliten. Die Roche-Grenze ist in diesem Fall
wobei der Radius und die Dichte des Hauptkörpers ist, und die Dichte des Satelliten beschreibt.
Man bemerkt an der obigen Formel, dass die Roche-Grenze innerhalb des Hauptkörpers liegt, wenn der Satellit ein starrer Körper ist und seine Dichte mindestens doppelt so hoch ist wie die Dichte des Hauptkörpers. Dieser Fall tritt z. B. bei vielen felsigen Monden der Gasriesen unseres Sonnensystems auf. Solche Satelliten werden also auch bei nächster Annäherung an den Hauptkörper nicht durch dessen Gezeitenkräfte zerrissen.
Herleitung der Formel
mini|hochkant=1.5|Skizze zur Ableitung der Roche-Grenze Um die obige Formel herzuleiten, nehmen wir an, dass eine kleine Masse auf der Oberfläche des Satelliten an dem Punkt liege, der dem Hauptkörper am nächsten ist. Der Satellit selbst wird bei dieser Herangehensweise als sphärisch betrachtet und hat einen Radius r sowie eine Masse m. Auf die kleine Masse m' , die auf der Oberfläche liegt, wirken nun zwei Kräfte: die Gravitationskraft, mit der der Satellit die auf seiner Oberfläche liegende Masse m' anzieht:
die Gezeitenkraft, die auf die Masse m' wirkt, da sie vom Hauptkörper angezogen wird, sich aber nicht im Schwerpunkt des Satelliten befindet, der sich im freien Fall (Orbit) um den Hauptkörper bewegt. Im mit dem Satelliten mitbewegten Bezugssystem kann man diese Gezeitenkraft auch als Differenz der Gravitationskraft, die vom Hauptkörper auf die Masse m' ausgeübt wird, und der Trägheitskraft betrachten. Für sie ergibt sich in 1. Näherung
Die Roche-Grenze wird erreicht, wenn der kleine Testkörper auf der Oberfläche des Satelliten anfängt zu schweben, d. h., wenn die Gravitationskraft und die Gezeitenkraft den gleichen Betrag annehmen. Für diesen Fall erhält man aus den obigen Gleichungen die Beziehung
die die Testmasse m' nicht mehr enthält. Drückt man die Massen der beiden Himmelskörper durch ihre durchschnittlichen Dichten und und ihre Radien und aus, so erhält man die obige von Masse und Radius des Satelliten unabhängige Beziehung.
Flüssige Körper Das Modell eines flüssigen Satelliten, der den Hauptkörper umkreist, bildet den im Vergleich zu einem starren Satelliten entgegengesetzten Grenzfall. Flüssig bedeutet dabei, dass der Satellit sich der Verformung durch Gezeitenkräfte überhaupt nicht entgegensetzt. (Außer durch die von ihm erzeugte Gravitation. Oberflächenspannung und anderes wird vernachlässigt.) Die Gezeitenkräfte führen dann zu einer länglichen Verformung des Satelliten in Richtung der Verbindungslinie von Satellit und Hauptkörper. Tatsächlich ist dies genau der Effekt, den wir auf der Erde als Gezeiten kennen, bei dem sich die flüssigen Ozeane auf der Oberfläche der Erde in Richtung der Verbindungslinie zum Mond verformen und zwei Flutberge bilden. Da die Stärke der Gezeitenkraft mit der Ausdehnung des Körpers in die Richtung der Verbindungslinie wächst, sorgt eine starke Verformung des Satelliten allerdings für eine noch größere Gezeitenkraft. Daher ist die Roche-Grenze für den Bahnradius eines flüssigen Satelliten wesentlich größer, als wir im starren Modell berechnet haben, und zwar:
d. h. ungefähr doppelt so groß wie die des starren Modells. Roche hat diese Grenzdistanz bereits um das Jahr 1850 (siehe Literatur) berechnet, den numerischen Faktor in der Formel mit 2,44 aber etwas zu hoch angesetzt. Die Roche-Grenze realer Satelliten liegt zwischen den beiden Grenzmodellen und hängt von Größe und Starrheit des Satelliten ab.
Herleitung der Formel