Der Begriff Gütefaktor, auch Q-Faktor oder Güte, hat je nach Anwendungsgebiet eine andere Bedeutung. In Bezug auf schwingungsfähige Systeme wird er auch Kreisgüte, Filtergüte, Schwingkreisgüte, Oszillatorgüte oder Resonanzschärfe genannt.
Der Gütefaktor ist in der Physik und Technik ein Parameter (eine Kennzahl): In einem frei schwingenden harmonischen Oszillator (Resonator) ist er proportional zum Verhältnis der gespeicherten Energie zum (thermischen) Energieverlust während einer Schwingungsperiode (der Proportionalitätsfaktor ist ). Bei Energiespeichern, wie beispielsweise elektrischen Bauelementen wie Spulen und Kondensatoren ist der Gütefaktor eine Kennzahl für den Energieverlust. Eine hohe Güte eines Systems besagt, dass das System die gespeicherte Energie in nur geringem Umfang in thermische Energie umsetzt und die Schwingung nur in geringem Umfang abnimmt. Der Kehrwert des Gütefaktors wird (in beiden obigen Bereichen) als Verlustfaktor bezeichnet. Bei einer erzwungenen Schwingung beschreibt der Gütefaktor das Verhältnis der Resonanzfrequenz zu seiner Bandbreite.
Der Gütefaktor ist je nach Systemauslegung sehr unterschiedlich. Systeme, bei denen die Dämpfung wichtig ist (beispielsweise Stoßdämpfer), haben einen Gütefaktor um , was dem aperiodischen Grenzfall entspricht. Systeme, die eine hohe Frequenzstabilität benötigen, haben hohe Gütefaktoren, beispielsweise eine Stimmgabel um und der Quarzoszillator in einer Quarzuhr um .
Die Etablierung des Begriffs Q-Faktor und insbesondere im Englischen des Begriffs geht auf Kenneth S. Johnson zurück, der den Gütefaktor zur Bewertung von elektrischen Netzwerken im Jahr 1923 erstmals verwendete. Die Definition des Gütefaktors wurde neben der ursprünglichen Anwendung im Rahmen der elektrischen Netzwerktheorie verallgemeinert und findet Anwendung unter anderem bei Hohlraumresonatoren, bei mechanischen und akustischen Systemen wie beispielsweise Lautsprechern, bis hin zur Bewertung von Spektrallinien und Teilchenresonanzen im Rahmen der Quantenmechanik.
Definitionen Der dimensionslose Gütefaktor wird in zwei gebräuchlichen und nicht deckungsgleichen Definitionen verwendet, die bei größerem Q-Faktor in Näherung gleiche Ergebnisse liefern.
Definition über die Energie Bei dieser Definition ist der Gütefaktor gegeben durch
mit der im System gespeicherten Schwingungsenergie , der Verlustleistung und der Kreisfrequenz . Damit ist
der Anteil der Schwingungsenergie, der bei schwacher Dämpfung (also etwa konstant bleibender Verlustleistung) in der nächsten Periode dissipiert wird. Die Verlustleistung entsteht bei mechanischen Schwingungen bspw. durch Reibung, bei elektrischen Schwingkreisen z. B. durch Stromwärmeverluste.
Bei freien Schwingungen setzt man die gedämpfte Eigenfrequenz ein, bei erzwungenen Schwingungen im eingeschwungenen Zustand die Resonanzfrequenz . Hierbei ist darauf zu achten, die Einsetzung ggf. auch bei , bzw. vorzunehmen, denn häufig hängen sie von der Frequenz ab (vgl. Parallelschwingkreis).
Für schwach gedämpfte, freie Schwingungen mit einer im Vergleich zur Energierelaxationszeit kleinen Schwingungsperiode , d. h. , gilt ferner und somit . In dem Fall gibt die Oszillatorgüte (bis auf den Faktor ) die Anzahl der Schwingungen in der Relaxationszeit der Energie an, d. h. die Anzahl der Schwingungen bis die Energie auf den Bruchteil gefallen ist.
Definition über die Bandbreite Bei dieser Definition wird von der Resonanzfrequenz in Relation zur Resonanzbreite ausgegangen. Die Resonanzbreite stellt eine Bandbreite dar, bei der das Leistungsdichtespektrum auf die Hälfte abgenommen hat, dies entspricht der Halbwertsbreite und wird im technischen Bezug auch als 3-dB-Bandbreite bezeichnet:
Nach dieser Definition entspricht die relative Bandbreite dem Kehrwert des Gütefaktors:
Elektrische Schaltungstechnik Im folgenden Abschnitt sind einige Beispiele zum Gütefaktor mit Bezug zu elektrischen Netzwerken beschrieben.
Schwingkreise Reihenschwingkreis mini|Reihenschwingkreis Ein Reihenschwingkreis besteht aus in Reihe liegendem Widerstand , Induktivität und einer Kapazität , welche von einem Wechselstrom durchflossen werden. Der Gütefaktor wird im Resonanzfall bestimmt, wobei dann die Beträge der Reaktanzen gleich sind, d. h. . Der Gütefaktor des Reihenschwingkreises kann dann als Quotient von Blindleistung der Spule (oder Kondensator) und Wirkleistung ausgedrückt werden:
mit Resonanzfrequenz und Reaktanzen bzw. .
Für die genaue Herleitung mithilfe der Energiedefinition siehe Energiebilanz und Kreisgüte im Reihenschwingkreis. Parallelschwingkreis mini|Parallelschwingkreis Ein Parallelschwingkreis umfasst in Parallelschaltung einen Widerstand , eine Induktivität und eine Kapazität , welche parallel an einer Wechselspannung liegen. Auch der Gütefaktor eines Parallelschwingkreises wird im Resonanzfall bestimmt und lässt sich mit den Bezeichnungen von oben wie beim Reihenschwingkreis als Quotient von Blindleistung der Spule (oder Kondensator) und Wirkleistung ausdrücken:
wobei die Formel nur bei schwacher Dämpfung gilt, da nur dann . Für die genauen Voraussetzungen und die Herleitung mithilfe der Energiedefinition siehe Energiebilanz und Kreisgüte im Parallelschwingkreis. Impedanzen Bei einzelnen verlustbehafteten reaktiven Bauteilen ist der Gütefaktor ein Maß dafür, wie gut das Bauteil dem Ideal nahe kommt, also möglichst keine internen Verluste aufweist. Im Gegensatz zur Begriffsverwendung bei Schwingkreisen kommt dabei keine Resonanzfrequenz als ausgezeichneter Betriebsfall vor, die Frequenz wird von außen vorgegeben, womit der Gütefaktor dann frequenzabhängig (!) ist.
Im einfachsten Fall werden bei Spule und Kondensator Verluste durch eine Reihenersatzschaltung von idealem Bauteil und Verlustwiderstand modelliert (ESR oder equivalent series resistance).
Mit der Energiedefinition lässt sich zeigen, dass der Gütefaktor als Quotient von Blind- und Wirkleistung des Bauteils ausdrückbar ist:
Eine hohe Spulengüte ist vor allem dann erforderlich, wenn in einem Schwingkreis eine geringe Bandbreite angestrebt wird. Der Gütefaktor ist bei Netzwerkelementen zugleich der Kotangens des Verlustwinkels.
Bandbreite mini|Resonanzkurve bei einer logarithmischen Auftragung der Amplitude über der Erregerfrequenz, wobei die Resonanzfrequenz mit bezeichnet ist Der Gütefaktor eines Resonanzkreises ist ein Maß für die Schärfe der Resonanz. Diese wird durch die 3-dB-Bandbreite ausgedrückt:Erwin Böhmer, Dietmar Ehrhardt, Wolfgang Oberschelp: Elemente der angewandten Elektronik: Kompendium für Ausbildung und Beruf. 16. Auflage. Vieweg+Teubner, 2010, S. 69
mit dem daraus gebildeten Gütefaktor:
Die obere Grenzfrequenz und die untere Grenzfrequenz sind diejenigen Frequenzen, bei denen die Spannung bzw. der Strom auf den -fachen Wert des Maximalwertes zurückgehen. An dieser Stelle ist die Leistung im Schwingkreis nur noch halb so groß wie bei der Resonanzfrequenz des verlustlosen Schwingkreises. Bei Darstellung des Pegels in Abhängigkeit von der Frequenz ist die Bandbreite gleich dem Frequenzbereich, an dessen Grenzen die Leistungswurzelgröße um 3 dB abnimmt. Die Grenzfrequenzen können berechnet werden aus: und
Sie sind mit der Resonanzfrequenz des idealen Schwingkreises verbunden durch: .
Mechanischer Schwingkreis In der Mechanik geht man bei einem Federpendel (Masse-Feder-System) von folgenden Differentialgleichungen aus:
Dabei bedeutet die Auslenkung aus der Ruhelage und die Masse. Weitere Terme sind die vorzugsweise durch Reibung bestimmte Dämpfungskonstante , die Federkonstante , der Dämpfungskoeffizient und die Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Systems.
Ist die gespeicherte Energie gegeben durch , so klingt diese im Schwingfall gemäß ab. Die Verlustleistung ist daher ; die Energiedefinition ergibt daher für Dieter Meschede (Hrsg.), Christian Gerthsen: Gerthsen Physik. 25. Auflage. Springer, 2015, S. 150fAlan M. Portis, Hugh D. Young: Physik im Experiment. Vieweg, 1978, S. 34
mit der gedämpften Eigenkreisfrequenz des schwach gedämpften Systems und der Energierelaxationszeit .
Beispiele In der folgenden Tabelle sind einige Größenordnungen von Gütefaktoren bei verschiedenen schwingenden Systemen angegeben. System Gütefaktor Q Aperiodischer Grenzfall Elektrodynamischer Lautsprecher typ. Elektrischer Schwingkreis Pendeluhr Schwingquarz 10 MHz Frequenzstabilisierter Laser Supraleitender Hohlraumresonator Cäsium-Atomuhr Mößbauer-Effekt bei Gammastrahlung
Literatur
Weblinks Umrechnung: 'Bandbreite in Oktaven' N in Gütefaktor Q und Gütefaktor Q in 'Bandbreite in Oktaven' N Q-Faktor und Mittenfrequenz - Finde die Grenzfrequenzen (Bandbreite) Gütefaktor Q in „Bandbreite in Oktaven“ N - und zurück – Excel
Einzelnachweise
Kategorie:Schwingungslehre Kategorie:Theoretische Elektrotechnik Kategorie:Messgröße zur elektromagnetischen Verträglichkeit