Die z-Transformation ist ein mathematisches Verfahren der Systemtheorie zur Behandlung und Berechnung von kontinuierlich (zyklisch) abgetasteten Signalen und linearen zeitinvarianten zeitdiskreten dynamischen Systemen. Sie ist aus der Laplace-Transformation entstanden und hat auch ähnliche Eigenschaften und Berechnungsregeln. Die z-Transformation gilt für Signale im diskreten Zeitbereich (Wertefolgen), während die Laplace-Transformation für entsprechende Berechnungen im kontinuierlichen Zeitbereich dient. (Bezüglich des Zusammenhangs zwischen z-Transformation und Laplace-Transformation siehe auch: Matched-z-Transformation.)
Ein Vorteil der Anwendung der z-Transformation ergibt sich, wenn eine Wertefolge und eine systembeschreibende Differenzengleichung in eine algebraisch zusammengefasste z-Übertragungsfunktion überführt wird. Die z-Übertragungsfunktion dient der Systemanalyse, d. h. der Analyse des Systemverhalten bei verschiedenen Anregungen und insbesondere auch der Stabilitätsanalyse. Der Verlauf der Systemausgangsgröße kann bei gegebener Eingangsgröße durch verschiedene Methoden der inversen z-Transformation in den zeitdiskreten Bereich und dann im Zeitbereich dargestellt werden.
Die z-Transformation wird größtenteils für die digitale Steuer- und Regelungstechnik und zur Berechnung digitaler Filter angewendet. Man kann sie aber auch zur Gewinnung von expliziten Formeln für rekursiv definierte Zahlenfolgen einsetzen.
Einführung in die z-Transformation Geschichtliche Entwicklung Die grundsätzlichen Ideen zur z-Transformation gehen auf Pierre-Simon Laplace zurück und wurden 1947 von Witold Hurewicz zur Lösung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten verwendet.
Ursprünglich wurde sie als „Laplace-Transformation von Abtastfunktionen“ eingeführt, im Jahr 1952 erfolgte die heute übliche Begriffsfestlegung z-Transformation durch John R. Ragazzini und Lotfi A. Zadeh bei Arbeiten mit zeitdiskreten Daten im Rahmen der Regelungstechnik an der Columbia University.
Die Modifizierte z-Transformation geht auf Arbeiten von Eliahu Ibrahim Jury aus dem Jahr 1958 zurück.
Bedeutung der z-Transformation und Anwendung Der z-Bereich ist eine abstrakte mathematische Welt, die eine Reihe von Eigenschaften hat, die bei Untersuchungen von Systemeigenschaften sehr hilfreich ist (Zitat: Vorlesungsskript Uni Wien).
Abgetastete Signale werden benötigt, wenn Computer zeitinvariante dynamische Systeme und Signale zeitdiskret in Form von Differenzengleichungen berechnen sollen. Dabei geht es meist um die Anwendung für die digitale Regelung und Regelstrecken.
Abgetastete Signale im Abstand können mit Hilfe der z-Transformation mathematisch definiert werden. Die zeitkontinuierliche Beschreibung des abgetasteten Signals als modulierte Impulsfolgen mit stellt nur eine mathematische Modellvorstellung dar. Die unendlich hohen und schmalen Dirac-Impulse existieren in Wirklichkeit nicht. In der Realität müssen die zeitlichen Abtastfolgen sehr klein im Verhältnis der Systemzeitkonstanten liegen, anderenfalls wird das Rechenergebnis ungenau. Die rekursiven Differenzengleichungen bilden nur Annäherungen an eine gewünschte Originalfunktion.
Die z-Transformation hat für diskrete Systeme dieselbe Bedeutung, wie die Laplace-Transformation für kontinuierliche Systeme. Das Verständnis der Anwendung der z-Transformation im Gegensatz zur Laplace-Transformation ist ungleich schwieriger, weil die Abtastung bei Einsatz von Mikrocomputern eine Ein-Ausgangshardware mit Zeitverhalten darstellt. Für die Beschreibung dynamischer Systeme z. B. bei Reglern zur Parametrisierung müssen Regelstrecken identifiziert und Differenzengleichungen gebildet werden.
Die Anwendung der z-Transformation erleichtert die Prozedur der Berechnung der zeitdiskreten Signalfolgen mit Differenzengleichungen zu z-Übertragungsfunktionen. Diese werden mit inverser z-Transformation zurück vom z-Bereich in den k-Bereich der abgetasteten Signale transformiert und liefern damit als Ausgangsgröße Signalfolgen im diskreten Zeitbereich.
Mit Hilfe der z-Transformation können aus systembeschreibenden Differenzengleichungen mit zeitdiskreten Signalen zu z-Übertragungsfunktionen als gebrochen rationale Funktionen berechnet werden, die – ähnlich bei der Laplace-Transformation – durch Pole und Nullstellen das Systemverhalten identifizieren. Damit sind algebraische Operationen mit anderen z-transformierten Systemen und z-transformierten Signalen möglich.
Gleichungen und Eigenschaften der z-Transformation Die häufig verwendeten z-Transformationsbeziehungen zwischen dem k- und z-Bereich werden in Tabellenform dargestellt und erleichtern damit die Berechnungen (siehe #Tabelle der Korrespondenzen des Zeitbereichs f(t), des Laplace- und z-Bereichs (Auszüge)).
Definitionen der verwendeten Variablen und Parameter:
= Signal im Bildbereich; = z-Variable; = Abtastzeit, = Abtastfolge = Nummerierung eines Folgegliedes, = Zahl bestimmter Abtastschritte, z. B. bei Verschiebungen.
Bilaterale z-Transformation
Die bilaterale z-Transformation eines Signals ist die formale Laurent-Reihe :
,
wobei alle ganzen Zahlen durchläuft und im Allgemeinen eine komplexe Zahl der Form:
ist. ist der Betrag von und der Winkel der komplexen Zahl in Polarkoordinaten. Alternativ kann auch in kartesischer Form als Realteil und Imaginärteil beschrieben werden.
Unter gewissen Konvergenzbedingungen ist die z-Transformierte eine holomorphe Funktion auf einem Kreisring in der komplexen Zahlenebene, unter schwächeren Bedingungen immerhin noch eine quadratintegrierbare Funktion auf dem Einheitskreis.
Unilaterale z-Transformation Substituiert man in der Beschreibung einer Abtastfolge im Laplace-Bereich den Ausdruck durch , so erhält man eine Potenzreihe in :
Dabei ist
{| class="wikitable"
Wenn nur nichtnegative Werte hat, kann die unilaterale z-Transformation definiert werden:
{| class="wikitable"
In der Signalverarbeitung wird die unilaterale z-Transformation für kausale Signale verwendet.
Eigenschaften wie Linearität, Verschiebung, Faltung, Differentiation
Linearität. Die z-Transformierte von zwei linear verknüpften Signalen ist die lineare Verknüpfung der beiden z-transformierten Signale.
Verschiebung. Wird das Signal im Zeitbereich um n nach rechts verschoben, so muss die z-Transformierte mit multipliziert werden. Bei der Verschiebung nach links kommen noch weitere Terme hinzu.
Faltung. Die Faltung von zwei Signalen im Zeitbereich entspricht dem Produkt im Frequenzbereich.
Differentiation .
Zusätzliche Eigenschaften der unilateralen z-Transformation Es sei und deren z-Transformierte. Weiter sei folgende Schreibweise für die Transformation der diskreten Zeitfunktion in die Bildebene definiert.
Dann gelten folgende Regeln:
Inverse z-Transformation Die inverse z-Transformation kann mit der Formel
berechnet werden, wobei C eine beliebige geschlossene Kurve um den Ursprung ist, die im Konvergenzbereich von liegt.
Die (unilaterale) z-Transformation ist zeitdiskret und entspricht der Laplace-Transformation für zeitkontinuierliche Signale.
Inverse unilaterale z-Transformation Voraussetzungen: F(z) ist holomorph in einem Gebiet und .
Mit Residuum
, für
Mit Laurent-Reihe
Der Integrand wird in eine Laurent-Reihe entwickelt. Die Zeitfunktion ist dann der Koeffizient −1 der Laurent Reihe, also .
Bei der Entwicklung in eine Reihe sind der binomische Lehrsatz und grundlegende Eigenschaften der Binomialkoeffizienten nützlich.
Beispiel 1 , .
Beispiel 2 , .
Bei wesentlicher Singularität .
Grundlagen der z-Transformation Die z-Transformation ist ein mathematisches Verfahren der Systemtheorie zur Behandlung und Berechnung von kontinuierlich abgetasteten Signalen und linearen zeitinvarianten zeitdiskreten dynamischen Systemen. Ein zeitdiskretes dynamisches System wird durch Differenzengleichungen oder als z-Transformierte beschrieben. Im Gegensatz dazu wird die Laplace-Transformation für kontinuierlichen Signale und Systeme verwendet.
Definition der Formelzeichen und Systemgrößen nachfolgender Systemdarstellungen Liste der wichtigsten Formelzeichen und Systemgrößen, die im Folgenden verwendet werden: +FormelzeichenErklärungBemerkungEingangssignalWerden in der Regelungstechnik Regler und Regelstrecke gleichzeitig betrachtet, wird die Eingangsgröße des Reglers als (Regelabweichung) bezeichnet. Die Ausgangsgröße des Reglers ist dann gleichzeitig die Eingangsgröße der Regelstrecke.Ausgangssignalmeist Systemantwort, bei Regelkreisen die Regelgröße.KleinbuchstabenZeitbereichz. B.: f, u, yGroßbuchstabenBildbereichz. B.: F, U, Y, GAbtastzeitZeitlicher Abstand der Abtastungen eines zeitdiskreten Signals. Mit der Frequenz wird ein kontinuierliches Signal abgetastet.Zeitintervall ist ein Parameter der diskreten Zeit, keine reale Zeit. In Verbindung mit Abtastung kann sein. wird z. B. bei der Berechnung der Differenzengleichungen verwendet.Abtastfolge in einer unendlichen oder einer endlichen Folge. wird auch für die Nummerierung der Werte in einer Folge verwendet.Abtastschritte. (n ist auch eine Bezeichnung für die Potenz der s-Variablen eines Nennerpolynoms)WertefolgeEine Folge der Werte: Signal im ZeitbereichZeitsignal (allgemein)Zeitdiskretes SignalWert des Signals zum Zeitpunkt . Vereinfachte Schreibweise ist z. B. oder .Laplace VariableeEulersche Zahle = Eulersche Zahl ≈ 2,71828.Laplace-TransformiertLaplace-Transformiertes Signal für kontinuierliche Systeme: Polynomfunktion mit Zählergrad: und Nennergrad: Laplace-TransformiertLaplace-Übertragungsfunktion für kontinuierliche Systeme: Polynomfunktion mit Zählergrad: und Nennergrad: z-Variable, z-transformiertz-transformiertes Signal bzw. z-Übertragungsfunktion für diskrete Systeme: Polynomfunktion mit Zählergrad: und Nennergrad: ZeitkonstanteZeitkonstante eines dynamischen Systems. Bei mehreren Zeitkonstanten des dynamischen Systems werden die Zeitkonstanten indiziert:
Vergleich der diskreten und der kontinuierlichen Übertragungssysteme Vergleichdiskretes Systemkontinuierliches SystemEigenschaften der betrachteten Systeme Linear, zeitinvariant, dynamisch Mindestens ein Eingangssignal und ein Ausgangssignal Ein-/Ausgangssignalreelle Folge, Zeitreihe mit fortlaufendem konstanten Zeitintervalls kontinuierliches reelles SignalSystembeschreibung im ZeitbereichDifferenzengleichunggewöhnliche DifferentialgleichungenTransformation in den Bildbereichmit z-Transformationmit Laplace-TransformationOperator-Schreibweise der TransformationInverse TransformationSystembeschreibung im Bildbereichz-Übertragungsfunktions-ÜbertragungsfunktionAllgemeine Eigenschaften im Bildbereich: Beziehung der Stabilität in der z-Ebene. Stabilität: Pole im Inneren des z-Einheitskreises. Grenzstabilität: Pole auf der z-Kreislinie.Polstellenanalyse für Übertragungsfunktionen G(s), G(z). Die Übertragungsfunktion wird im Bildbereich als Bruch mit Zähler- und Nennerpolynom dargestellt. Übertragungsfunktion = Ausgangssignal / Eingangssignal = Zählerpolynom / Nennerpolynom Die Auswertung des Nennerpolynoms führt zu Aussagen über die Stabilität des Systems. Stabilitätsgebiet „linke s-Halbebene“ wird in das Innere eines Einheitskreises der z-Ebene transformiert. Einheitskreis mit Radius 1, Ordinate = Imaginärteil von z, Abszisse = Realteil von z. Ablesung: Stabilität, Grenzstabilität, bei Instabilität liegen die Pole außerhalb des Einheitskreises.
Grundlagen Differenzengleichungen für lineare zeitinvariante Systeme
Für die numerische Berechnung des Systemverhaltens eines zeitdiskreten dynamischen Systems können Differenzengleichungen verwendet werden. Mit ihrer Hilfe lässt sich das Systemverhalten (der Verlauf der Systemausgangsgröße ) für ein gegebenes Eingangssignal im zeitdiskreten Bereich berechnen.