Elliptische Integrale

Ein elliptisches Integral ist ein Integral vom Typ

wobei eine rationale Funktion in zwei Variablen und ein Polynom dritten oder vierten Grades ohne mehrfache Nullstelle ist. Das Integral heißt elliptisch, weil Integrale dieser Form bei der Berechnung des Umfangs von Ellipsen und der Oberfläche von Ellipsoiden auftreten. Auch in der Physik gibt es weitreichende Anwendungen.

Elliptische Integrale lassen sich im Allgemeinen nicht durch elementare Funktionen darstellen. Ist dies doch möglich, spricht man von einem pseudoelliptischen Integral. „Echte“ elliptische Integrale lassen sich durch Umformungen auf die folgenden drei Grundtypen zurückführen, die man als elliptische Integrale erster, zweiter und dritter Art (oder Gattung) bezeichnet.

I. Art: II. Art: III. Art:

Der Parameter mit ist der elliptische Modul. Zum Teil wird in der Literatur auch der Parameter statt verwendet und der Definitionsbereich auf erweitert.

Die elliptischen Integrale stehen in engem Zusammenhang mit den elliptischen Funktionen. Vereinfacht ausgedrückt, ist die Umkehrfunktion eines elliptischen Integrals erster Art eine elliptische Funktion.

Bezeichnungen

Die oben angegebene Darstellung der elliptischen Integrale nennt man die Jacobi-Form. Durch die Substitution lässt sie sich in die Legendre-Grundform überführen. Bei allen drei Grundtypen unterscheidet man vollständige und unvollständige Integrale. Vollständige elliptische Integrale sind bestimmte Integrale mit der unteren Integrationsgrenze 0 und der oberen Integrationsgrenze 1 (Jacobi-Form) bzw. (Legendre-Grundform). Unvollständige elliptische Integrale haben ebenfalls die untere Integrationsgrenze 0, aber eine variable obere Integrationsgrenze, z. B. im Falle der Jacobi-Form bzw. im Falle der Legendre-Grundform. Sie werden weiter unten behandelt. Vollständige elliptische Integrale lassen sich als Spezialfälle der unvollständigen elliptischen Integrale auffassen.

Für das vollständige elliptische Integral I. Art ist die Bezeichnung üblich, für das vollständige Integral II. Art und für das vollständige Integral III. Art . Für die entsprechenden unvollständigen elliptischen Integrale I. bis III. Art sind oder , oder und oder die Standardbezeichnungen – je nachdem, ob die Jacobi-Form oder die Legendre-Grundform gemeint ist.

Manche Autoren ersetzen den Parameter durch den Parameter . Im Rest dieses Artikels wird meistens die Konvention mit dem Parameter verwendet.

Vollständige elliptische Integrale mini|300px|Graph der vollständigen elliptischen Integrale und

Definition der vollständigen elliptischen Integrale Die vollständigen elliptischen Integrale I. und II. Art stehen im direkten Bezug zur Gauß’schen hypergeometrischen Funktion , das vollständige elliptische Integral III. Art zur Appell’schen hypergeometrischen Funktion

In der nachfolgenden Tabelle sind die vollständigen elliptischen Integrale in der Integraldarstellung mit dem Parameter dargestellt. In den Funktions-Bibliotheken von Matlab, Wolfram-Alpha, Mathematica, Python (SciPy) und GNU Octave ist der Parameter in Verwendung. +Definition der vollständigen elliptischen Integrale mit Parameter I. Art: Jacobi-FormI. Art: Legendre-NormalformII. Art: Jacobi-FormII. Art: Legendre-NormalformIII. Art: Jacobi-FormIII. Art: Legendre-Normalform

Definition der komplementären Integrale und des Nomens Die komplementären vollständigen elliptischen Integrale und sind mit der komplementären Variable folgendermaßen definiert:

Damit lässt sich das elliptische Nomen (auch Jacobische Entwicklungsgröße) definieren, das in der Theorie der elliptischen Integrale eine wichtige Rolle spielt.

Mithilfe des elliptischen Nomens lässt sich ein Zusammenhang mit den Jacobischen Thetafunktionen (genauer: Theta-Nullwerten) formulieren:

Darstellungsformen Darstellung per MacLaurinscher Reihe

Die MacLaurin-Reihen von und sind gegeben durch:

Gleichwertige Schreibweisen sind:

Das hier verwendete Kürzel CBC steht für den englischen Begriff Central Binomial Coefficient. Es bezeichnet den mittleren Binomialkoeffizienten und ist definiert durch .

Der Konvergenzradius der beiden Reihen ist jeweils 1.

Die angegebenen Potenzreihen können zur numerischen Auswertung verwendet werden. Es ist jedoch darauf zu achten, dass die Konvergenz vom Argument abhängig ist. Die Verwendung von Potenzreihen ist bezüglich der Rechenzeit nicht die effizienteste Methode zur numerischen Auswertung. Denn die Potenzreihen für die Funktionen und konvergieren mit der Konvergenzgeschwindigkeit der Maclaurinschen Reihen für die Funktionen Arkussinus und Areatangens hyperbolicus und können mit Hilfe ihrer genannten Integraldarstellungen hergeleitet werden. Ist in einer physikalischen Anwendung klar, dass das Argument in einem bezüglich der Genauigkeit geeigneten Bereich liegt, so bietet die Potenzreihen-Darstellung im Sinne der Linearisierung eine nützliche Methode zur Angabe von Näherungslösungen oder Faustformeln.

Darstellung per unendlichem Produkt In der folgenden Tabelle sind Produktdarstellungen des vollständigen elliptischen Integrals 1. Art und des komplementären elliptischen Integrals 1. Art angegeben. Oftmals wird auch die komplementäre Variable zur kompakteren Darstellung verwendet. Auffällig ist die Vertauschung von und bezüglich der beiden Produktformeln beim Vergleich zum Komplementär. + Produktdarstellung des vollständigen elliptischen Integrals I. ArtVollständiges elliptisches Integral I. ArtKomplementäres elliptisches Integral I. ArtAnfangswertRekursionsgleichungProduktformeln

Darstellung per AGM-Algorithmus Neben den Potenzreihen existiert eine Darstellung als Grenzwert des iterierten arithmetisch-geometrischen Mittelwertes (AGM-Algorithmus). Im Folgenden stellt den arithmetischen Mittelwert, den geometrischen Mittelwert und eine Hilfsvariable dar. Die Anfangswerte sind wie angegeben durch das Argument definiert. Zu beachten ist, dass für das vollständige elliptische Integral I. Art ins Unendliche läuft. Deshalb kann nicht berechnet werden. Dies stellt jedoch kein Problem dar, da dieser Wert exakt zu bekannt ist. Bei einer Implementierung bedarf es also einer Fallunterscheidung. Die Parameter-Konvention lässt sich ebenfalls mit dem AGM-Algorithmus berechnen. Es bedarf ausschließlich der Substitution . In der Praxis zeigt sich, dass bei Verwendung von double-precision ( dezimalen Nachkommastellen) eine Wahl von Rekursionsschritten die besten Ergebnisse liefert. Bei sinkt die Genauigkeit aufgrund von Rundungsfehlern. Diese geringe Anzahl an Rekursionsschritten zeigt die Effizienz des AGM-Algorithmus. +AGM-Algorithmus zur Berechnung elliptischer IntegraleAnfangswerteRekursionsgleichungenElliptische Integrale

Durch Substitution gemäß findet sich weiterhin der sogenannte Quartic-AGM-Algorithmus, dessen Iterationsvorschrift in der nachfolgenden Tabelle dargestellt ist. Die Bezeichnung „Quartic“ bezieht sich auf die Konvergenz des Algorithmus. Die Konvergenzordnung des Algorithmus in der oberen Tabelle ist quadratisch. +Quartic-AGM-Algorithmus zur Berechnung elliptischer IntegraleAnfangswerteRekursionsgleichungenElliptische Integrale

Singuläre elliptische Integralwerte

Als singuläre elliptische Integralwerte bezeichnet man diejenigen Werte des vollständigen elliptischen Integrals erster Art, deren Modul ein singulärer Modul ist. Dieser ist dadurch charakterisiert, dass

wobei den komplementären Modul bezeichnet. Für zahlreiche singuläre Werte lassen sich geschlossene Darstellungen durch Werte der Gammafunktion beziehungsweise der Eulerschen Betafunktion angeben.J. M. Borwein, P. B. Borwein: Pi and the AGM, Kapitel 5.Eric W. Weisstein: Elliptic Integral Singular Value, MathWorld.

Zu den bekanntesten singulären Werten gehören

sowie

und

.

Dabei bezeichnet die Elliptische Lambda-Stern-Funktion.

Singuläre elliptische Integralwerte spielen insbesondere bei Theta-Funktionen und Ramanujans Reihenentwicklungen für eine wichtige Rolle.

Spezielle Identitäten Spezielle Funktionswerte:

Modultransformationen der vollständigen Integrale Reflexive Transformationen Die Transformationen des elliptischen Moduls erfolgen nach den nun folgenden Mustern:

Bezüglich des standardisierten Legendreschen Moduls beziehungsweise bezüglich der numerischen Exzentrizität ist die soeben gezeigte Transformation imaginär beschaffen. Wenn diese Modultransformation auf sich selbst angewandt wird beziehungsweise zweimal hintereinander durchgeführt wird, dann entsteht wieder der anfängliche Modul. Somit hat diese Modultransformation einen reflexiven Charakter.

Landensche Transformationen

Die absteigende Landensche Transformation ordnet einem gegebenen Modul die Zahl zu. Es gilt . Zwischen den vollständigen elliptischen Integralen mit den Modulen und besteht folgender Zusammenhang:

Des Weiteren gilt:

mit (aufsteigende Landensche Transformation).

Aus diesen Gleichungen folgt . Das für die Berechnung des Nomens wichtige Verhältnis verdoppelt sich also beim Übergang vom Modul zum Modul .

Für das Nomen selbst ergibt sich:

Die folgenden drei Beispiele sollen die Landen-Transformation erläutern: +Landensche Modultransformationenkk1Zusammenhang zwischen K(k) und K(k1)PeriodenverhältnisNomenfunktion

Ableitungen der vollständigen Integrale

Die vollständigen elliptischen Integrale erster, zweiter und dritter Art werden so abgeleitet:

Stammfunktionen Stammfunktionen für das vollständige elliptische Integral erster, zweiter und dritter Art nach :

Umkehrfunktionen Umkehrfunktionen oder algebraische Funktionen von Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale heißen elliptische Funktionen. Sie sind mit den trigonometrischen Funktionen verwandt. Die Umkehrfunktionen von den unvollständigen elliptischen Integralen erster Art in Legendre-Form sind die Jacobischen Amplitudenfunktionen Sinus Amplitudinis (sn), Cosinus Amplitudinis (cn) und Delta Amplitudinis (dn).

Wenn man von diesen drei Funktionen die Kehrwertfunktionen mit Kürzeln ausdrücken möchte, dann müssen von den soeben gezeigten Funktionskürzeln die beiden Buchstaben jeweils ausgetauscht werden. Wenn eine der drei gezeigten Funktionen als Dividendfunktion durch eine andere von diesen drei Funktionen als Divisorfunktion geteilt wird, dann trägt das zweibuchstabige Kürzel der jeweiligen neuen Funktion an erster Stelle den Anfangsbuchstaben vom Kürzel der Dividendfunktion und an zweiter Stelle den Anfangsbuchstaben vom Kürzel der Divisorfunktion. Beispielsweise hat der Quotient des Cosinus Amplitudinis dividiert durch das Delta Ampitudinis das Kürzel cd. Denn die Dividendfunktion ist der Cosinus Amplitudinis. Der Anfangsbuchstabe vom Kürzel dieser Funktion ist das c. Und die Divisorfunktion ist das Delta Amplitudinis. Der Anfangsbuchstabe vom Kürzel jener Funktion ist das d.

Die Jacobischen Amplitudenfunktionen haben genauso wie die trigonometrischen Funktionen und Hyperbelfunktionen Additionstheoreme mit algebraischer Struktur, welche aus den Theoremen der unvollständigen elliptischen Integrale erster Art hervorgehen. Deswegen zählen die sn-Werte, cn-Werte und dn-Werte von den Produkten aus einer rationalen Zahl und dem elliptischen K-Integral des betroffenen Moduls komplett immer zu den algebraischen Zahlen.

Bei den Umkehrfunktionen der unvollständigen elliptischen Integrale zweiter Art ist das jedoch nicht der Fall. Diese inversen elliptischen Integrale zweiter Art haben keine Additionstheoreme mit algebraischer Struktur. Diese Funktionen ordnen die Bogenmaße beziehungsweise Kurvenlängen der Ellipsen den jeweiligen Höhen und Breiten der betroffenen Kurvenpunkte zu.

Unvollständige elliptische Integrale

mini|300px|Graph der elliptischen Integrale erster Art in Legendre-Form für verschiedene Parameter mini|300px|Graph der elliptischen Integrale zweiter Art in Legendre-Form für verschiedene Parameter