Drehimpuls

Der Drehimpuls oder Drall, veraltet: Impulsmoment, ist eine grundlegende physikalische Größe, die den rotatorischen Bewegungszustand eines physikalischen Objekts um einen Bezugspunkt herum beschreibt. Damit steht der Drehimpuls für das, was in der Umgangssprache unter „Drall“ oder „Schwung“ verstanden wird. Sein Formelzeichen ist . In der Technischen Mechanik wird er bei Bezugspunkt meist mit bezeichnet. Die Einheit im Internationalen Einheitensystem SI ist kg·m2·s−1 = N·m·s.

mini|Die vom Fahrstrahl des Teilchens m auf seinem Weg von A nach B pro Zeiteinheit überstrichene Fläche (blaue Dreiecke) ist proportional zu seinem Drehimpuls um C. Der Drehimpuls hat mit dem Flächensatz eine anschauliche Interpretation: Er ist das Produkt aus der Masse des (punktförmig gedachten) Teilchens und der vektoriellen Flächengeschwindigkeit seines Fahrstrahls um den Bezugspunkt, multipliziert mit zwei (siehe nebenstehende Abbildung). Die radiale Geschwindigkeitskomponente – in Richtung zum Bezugspunkt oder von ihm weg – trägt nicht zum Drehimpuls bei, siehe auch den Abschnitt Ebene Bahn, Flächensatz..

Der Drehimpuls ist eine additive vektorielle Größe, wobei zu beachten ist, dass physikalisch sinnvoll nur Drehimpulse bezüglich desselben Bezugspunkts addiert werden können. Der Gesamtdrehimpuls eines Objekts mit mehreren Bestandteilen ist die Vektorsumme der Drehimpulse seiner Teile. Sein Betrag ist das Produkt aus Masse, Abstand vom Bezugspunkt und zirkularer Geschwindigkeit um diesen herum, aufsummiert über alle Teilchen des Körpers. Die Richtung des Drehimpulsvektors ist die gemittelte spezifische vektorielle Flächengeschwindigkeit seiner Teilchen um den Bezugspunkt. Der Drehimpuls ist daher meist nicht parallel zur Winkelgeschwindigkeit des Körpers. Er lässt sich in zwei Komponenten zerlegen: den Bahndrehimpuls und den Eigendrehimpuls, siehe Abschnitt Bahn- und Eigendrehimpuls. Anders als der Impuls ist der Drehimpuls ein Pseudovektor, das heißt, er ändert seine Richtung bei einer Raumspiegelung nicht, kehrt sich jedoch bei bloßer Umkehrung der Bewegungsrichtung ebenfalls um, siehe Abschnitt Verschiebung, Drehung, Spiegelung..

Für jeden fest gewählten Bezugspunkt gilt die Drehimpulserhaltung, das heißt: Ein Objekt, auf das von außen keine Drehmomente um den Bezugspunkt wirken, behält seinen Gesamtdrehimpuls um nach Betrag und Richtung bei, siehe Abschnitt Drallsatz. Die Drehimpulserhaltung gilt auch für den Bahn- und Eigendrehimpuls. Üben zwei ungebundene Objekte wechselseitige Momente aufeinander aus, z. B. bei einem exzentrischen Stoßvorgang, ändern sich ihre beiden Drehimpulse in entgegengesetzter Weise so, dass ihre Summe erhalten bleibt und das bezüglich jedes Bezugspunkts.

Definition Für einen Massenpunkt, der sich am Ort mit dem Impuls bewegt, wird der Drehimpuls um den Punkt durch das Kreuzprodukt

definiert. Üblicherweise wählt man das Koordinatensystem so, dass der Bezugspunkt am Koordinatenursprung liegt: . Dann schreibt man vereinfacht:

Den Gesamtdrehimpuls eines Systems aus mehreren Massenpunkten erhält man, indem man die Drehimpulse aller seiner Teilchen zu diesem Bezugspunkt bildet und addiert:

Hier müssen die Einzelmassen so klein sein, dass die Summe ihrer Eigendrehimpulse gegenüber dem Gesamtdrehimpuls vernachlässigbar ist. Genauer ist jedenfalls das Volumenintegral:

Eigenschaften Einflussgrößen mini|Mit der Rechte-Hand-Regel kann die Richtung des Drehimpulsvektors als Daumenrichtung bestimmt werden. Zur Veranschaulichung geeignet ist der Fall, dass der Massenpunkt eine ebene Kreisbewegung um den Ursprung ausführt. Dann liegt der Drehimpulsvektor senkrecht zur Kreisebene, also in Richtung der Achse der Kreisbewegung, und hat den Betrag . Der Drehimpuls wächst mit

höherer Winkelgeschwindigkeit proportional, größerer Masse ebenfalls proportional, größerem Abstand dieser Masse zur Drehachse jedoch in quadratischem Verhältnis (bei fester Winkelgeschwindigkeit).

Die Reihenfolge der Faktoren in ist eine Konvention. Somit zeigt der Drehimpulsvektor in die Richtung, in der sich bei gleichem Drehsinn eine Rechtsschraube voranbewegen würde. Es gilt die Korkenzieherregel oder Rechte-Faust-Regel: Wenn die gekrümmten Finger der rechten Hand die Richtung der Drehbewegung angeben, so zeigt der Daumen in Richtung des Drehimpulses (siehe Bild).

Verschiebung, Drehung, Spiegelung mini|hochkant=1.7|Während Ortsvektor und Impuls bei einer Punktspiegelung um den Koordinatenursprung ihre Richtung umkehren, bleibt die des Drehimpulses bezüglich der Scheibenmitte unverändert.

Betrag und Richtung des Drehimpulses einer Punktmasse hängen davon ab, welchen Punkt man als Bezugspunkt wählt. Bei Verschiebung des Bezugspunkts um ändert sich der Vektor jedes Ortes in und der Drehimpuls in

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren steht stets senkrecht auf der von ihnen aufgespannten Ebene, eine Drehung des betrachteten Systems aber dreht sowohl die Ortsvektoren als auch die Bahngeschwindigkeiten um denselben Betrag, wodurch auch der Drehimpuls in gleicher Weise mitgedreht wird.

Bei einer Punktspiegelung am Bezugspunkt geht der Ort in den gegenüber liegenden Ort über. Auch das Vorzeichen der Geschwindigkeit in Bezug auf diesen Punkt kehrt sich um. Bei der Bildung des Kreuzprodukts kompensieren sich diese beiden Vorzeichenwechsel, sodass sich bei einer Punktspiegelung der Drehimpuls nicht ändert. Damit unterscheidet er sich vom Verhalten der Geschwindigkeit oder des Ortsvektors: Der Drehimpuls gehört zur Klasse der Pseudovektoren.

Bahn- und Eigendrehimpuls

Der Satz, dass das Drehmoment gleich der zeitlichen Änderung des Drehimpulses ist, ist in zwei allgemeinen Fällen gültig: Bei einem festen Bezugspunkt im Inertialsystem Beim sich beliebig bewegenden Massenmittelpunkt, selbst wenn das Objekt beschleunigt wird

Daher ist es sinnvoll, den Drehimpuls entsprechend zu zerlegen: Bahndrehimpuls Das ist der Anteil des Drehimpulses, der aus der zirkularen Bewegung des Massenmittelpunkts um den Bezugspunkt entsteht. Beispielsweise dominiert bei einem Satelliten, der die Erde umkreist oder einem Asteroiden, der an der Erde vorbeifliegt, der Bahndrehimpuls bezüglich des Erdmittelpunkts. Eigendrehimpuls Das ist der Anteil des Drehimpulses, der aus der Rotation des Körpers um seinen Massenmittelpunkt entsteht. Er ist beachtlich bei Kreisel­bewegungen wie bei der Pirouette eines Menschen.

Formal schreibt sich beim starren Körper der Drehimpuls um den Ursprung so:

Darin ist die Gesamtmasse, der Massenmittelpunkt und seine Geschwindigkeit, der Trägheitstensor um den Massenmittelpunkt, die Winkelgeschwindigkeit, der Bahndrehimpuls, der Eigendrehimpuls,

siehe Abschnitt Der Drehimpuls eines starren Körpers.

Die Aufteilung in Bahn- und Eigendrehimpuls gestattet auch die kinetische Energie des Körpers in die translatorische Energie des Massenmittelpunkts und seine Rotationsenergie um diesen herum aufzuteilen.

Im Allgemeinen zeigen Winkelgeschwindigkeit und Eigendrehimpuls nicht in die gleiche Richtung – ein rotierender Körper „eiert“, wenn er sich frei bewegen kann, oder zeigt Unwucht, wenn die Richtung der Achse festgehalten wird. Der Dschanibekow-Effekt zeigt eine erstaunliche Konsequenz davon, und genauere Analysen sind unter Euler-Kreisel und Poinsotsche Konstruktion zu finden. Letztere benutzt das Energieellipsoid, an dem gezeigt werden kann, dass Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit immer einen spitzen Winkel einschließen.

Nur bei Rotation um eine der Hauptträgheitsachsen des Körpers sind Winkelgeschwindigkeit und Eigendrehimpuls parallel, sodass die Erhaltung des Drehimpulses auch gleichbleibende Richtung der Drehachse und damit die Konstanz des Trägheitsmoments bewirkt.

Die Hauptträgheitsachsen sind die Eigenvektoren des Trägheitstensors, der symmetrisch ist. Deshalb sind die Hauptträgheitsachsen paarweise orthogonal. Mit dem Trägheitstensor kann der Drehimpuls und seine Änderung, die Rotationsenergie und das Trägheitsmoment zu jeder beliebigen Drehachse berechnet werden.

Beim sich bewegenden Körper gilt: Sowohl Bahn- als auch Eigendrehimpuls sind Erhaltungsgrößen. Der Eigendrehimpuls ist gegen Verschiebungen wie auch translatorische Bewegungen invariant. Der Austausch von Impuls und Schwerpunktsdrehimpuls eines Systems sind nicht unabhängig voneinander. Bei der geradlinig gleichförmigen Bewegung ist der Drehimpuls konstant.

Bestimmende physikalische Gesetze Drallsatz mini|Zusammenhang von Kraft , Drehmoment , Impuls und Drehimpuls bei der Drehschwingung eines Massenpunktes

Die Dynamik eines Körpers lässt sich mit dem Drehimpuls ähnlich der Dynamik des Massenpunkts formulieren:

Trägheitsprinzip Der kräftefreie Körper bewegt sich so, dass sein Drehimpuls nach Betrag und Richtung konstant bleibt (so wie sich ein kräftefreier Massenpunkt gleichförmig bewegt). Drallsatz (Aktionsprinzip) Unter dem Einfluss von Drehmomenten bewegt sich der Körper derart, dass die Änderungsgeschwindigkeit des Drehimpulsvektors nach Richtung und Betrag gleich dem angreifenden Moment ist (so wie die Beschleunigung des Massenpunkts in Richtung einer angreifenden Kraft erfolgt).

Anders als Impuls und Geschwindigkeit müssen Drehimpuls und Drehgeschwindigkeit keineswegs parallel sein; vielmehr schließen sie meist einen Winkel ein, der jedoch immer ein spitzer ist, siehe Poinsotsche Konstruktion der Richtung des Drehimpulses.

Der Drallsatz oder Eulersche Drehimpulssatz drückt sich formal als

aus. Um den Drehimpuls eines Körpers um den Punkt zu ändern, muss ein äußeres Drehmoment an ihm angreifen. Im wichtigen Spezialfall der momentenfreien Bewegung zeigt sich, dass der Drehimpuls erhalten bleibt.

Drehimpulserhaltung mini|Experiment Drehimpulserhaltung (Video, 18 s):Auf das dreh- und schwenkbare Rad wird ein Drehmoment ausgeübt, wodurch das Teilsystem „Rad“ einen horizontalen Drehimpuls erhält. Dann ändert der drehbar sitzende Experimentator den Drehimpulsvektor dieses Teilsystems, indem er die Achse des Rades (und damit dessen Drehimpulsrichtung) aus der Horizontalen in die Senkrechte (roter Pfeil) dreht. Die Drehimpulserhaltung in vertikaler Richtung erzwingt, dass der Experimentator samt Drehstuhl einen gleich großen Drehimpuls in entgegengesetzter Richtung annimmt (gelber Pfeil). Der seit Anfang im Gesamtsystem vorhandene vertikale Drehimpuls mit dem Wert bleibt somit erhalten.

Die Drehimpulserhaltung bedeutet, dass der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße ist. Das Video untermauert die Drehimpulserhaltung, die sich im Alltag auch bei Spielkreiseln, beim Diskuswurf und beim Pirouetteneffekt zeigt. Sie bedeutet insbesondere, dass die inneren Kräfte eines Körpers momentenfrei sind, was das Boltzmann-Axiom ausdrückt.

Genauer bleibt der Gesamt-Drehimpuls in einem isolierten physikalischen System nach Betrag und Richtung unverändert, gleichgültig, welche inneren Kräfte und Wechselwirkungen zwischen den Bestandteilen des Systems bestehen. Nahezu perfekt isolierte Systeme sind z. B. die Atomkerne, die Moleküle in verdünnten Gasen und astronomische Objekte im Weltall. Das zweite Keplersche Gesetz, nach dem sich ein Planet auf seiner exzentrischen Umlaufbahn umso schneller bewegt, je näher er der Sonne ist, ist Ausdruck der Drehimpulserhaltung.

Die Drehimpulserhaltung gilt auch in Anwesenheit äußerer Kräfte, wenn diese Kräfte insgesamt kein Drehmoment auf das System ausüben. In einem homogenen Schwerefeld gilt das z. B. für den Drehimpuls jedes Körpers um seinen eigenen Schwerpunkt. Sind die äußeren Kräfte auf verschiedene Teile eines Systems parallel zueinander, so bleibt jedenfalls die zu den Kräften parallele Komponente des Drehimpulses erhalten.

Leonhard Euler führte 1775 den Drallsatz als ein fundamentales von den Newton’schen Gesetzen unabhängiges Prinzip in der Mechanik ein. Er besagt, dass ein Drehmoment auf das System einwirken muss, um den Drehimpuls zu ändern.