Sternaufbau

mini|450px|Diese Grafik zeigt einen Querschnitt durch einen sonnenähnlichen Hauptreihenstern. NASA image mini|300px|Schnittdiagramm der Sonne: 1. Kern 2. Strahlungszone 3. Konvektionszone 4. Photosphäre 5. Chromosphäre 6. Corona 7. Sonnenfleck 8. Granulation 9. Protuberanz

Die Modellierung des Sternaufbaus ist ein astrophysikalisches Problem. Ein Stern ist eine massereiche Kugel aus glühendem Gas, die sich durch die eigene Schwerkraft zusammenhält. Im dichten Zentrum wird durch Kernfusion Energie frei, deren Leistung als Leuchtkraft des Sterns gegeben ist.

Aus seinem Farbindex ist die Temperatur der Sternoberfläche bekannt und aus dem Linienspektrum deren Metallizität. Die Temperaturabhängigkeit der Kernreaktionen wird seit den 1930er Jahren mit Teilchenbeschleunigern immer genauer bestimmt, sodass auch der Zustand in der Kernzone des Sterns nicht völlig unbestimmt ist. Im Fall der Sonne sind zusätzlich Masse und Durchmesser bekannt.

Bereits 1925 stellte Arthur Stanley Eddington ein einigermaßen zutreffendes Modell der Sonne auf.A. S. Eddington: Sterne und Atome (Vorlesung 1925, aus dem Englischen von O. F. Bollnow), Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1955. Dessen grundlegende Gleichungen sind zwar einfach, insbesondere dominieren für sonnenähnliche Sterne die Gasgesetze, jedoch sind in weiten Teilen eines Sterns die physikalischen Bedingungen so extrem, dass wichtige Materialeigenschaften nicht im Labor ermittelt werden können. Sie müssen mit theoretischen Ansätzen aus dem Gebiet der kondensierten Materie berechnet werden. Das betrifft insbesondere die Opazität, die den Strahlungstransport der Fusionswärme behindert. Sie variiert nicht nur mit der Dichte, sondern hängt über den Ionisationszustand vor allem der schwereren Elemente auch von der Temperatur ab.

Großen numerischen Aufwand erfordert es, die Änderung der chemischen Zusammensetzung des Kerns insbesondere in den Spätstadien der Sternentwicklung und die Magneto-Hydrodynamik in turbulenten Bereichen der Konvektionszone zu berücksichtigen.

Prüfsteine für Sternmodelle sind insbesondere pulsationsveränderliche Sterne und in neuerer Zeit die Helioseismologie.

Grundgleichungen des Sternaufbaus Ziel dieser Gleichungen ist es, die Schichtung der Sternmaterie zu beschreiben, d. h. das Verhalten von Druck, Temperatur, Dichte, Leuchtkraft, Energieerzeugung und chemischer Zusammensetzung mit zunehmender Tiefe. Hierbei werden oft folgende Vereinfachungen getroffen:

Kugelsymmetrie Die einfachste geometrische Konfiguration ist das kugelsymmetrische Modell. Es geht davon aus, dass der Stern nicht rotiert, so dass keine ausgezeichnete Achse vorliegt. Dieses Vorgehen ist nur für langsam rotierende Sterne wie die Sonne zulässig. Junge, massereiche Sterne haben oft hohe Rotationsgeschwindigkeiten. Eine systematische Diskussion der Rotation aller Sterntypen und ihres Einflusses auf deren inneren Aufbau und Entwicklung gibt Tassoul (2000).

Hydrostatisches Gleichgewicht Hierbei nimmt man an, dass sich der Stern in einem eingeschwungenen Zustand befindet und die auf der Gravitation und dem inneren Druck der Sternmaterie beruhenden Kräfte sich exakt ausgleichen. Diese Annahme eines quasistatischen Zustandes ist für die meisten Sterne gerechtfertigt. Ausnahmen sind das Kontraktionsstadium während der Sternentstehung, pulsierende Riesen und Überriesen und ganz besonders der Gravitationskollaps nach dem Versiegen der für die Kernfusion notwendigen leichten Elemente.

Masseerhaltung Oft wird auch angenommen, dass die Masse eines Sterns konstant ist. Dies ist abermals nur für massearme Sterne auf der Hauptreihe wie die Sonne zulässig. Zwar erleiden auch solche Sterne einen Massenverlust (durch die Kernfusion und auch durch die Partikelstrahlung), doch ist dieser im Vergleich zur Gesamtmasse bedeutungslos. Massereiche Hauptreihensterne und (Über)riesen können jedoch schon auf einer Zeitskala von nur einer Million Jahren einen signifikanten Teil ihrer Masse durch andauernden Materieauswurf verlieren. De Jager u. a. (1988) untersuchten dies erstmals systematisch, indem sie Massenverlustraten von zahlreichen Sternen aller Typen bestimmten.

Lokales thermisches Gleichgewicht Hier setzt man voraus, dass jeder Punkt des Sterninneren sich mit seiner Umgebung im Strahlungsgleichgewicht befindet (d. h. ebenso viel Energie abgibt wie er empfängt), sodass die beiden Komponenten Materie und Strahlung an jedem Ort die gleiche Temperatur haben. Streng genommen wird lokales thermisches Gleichgewicht nie wirklich erreicht, da die Temperatur unterhalb einer betrachteten Schicht stets höher ist als die Temperatur darüber. Meist ist die Näherung jedoch sehr genau, da die mittlere freie Weglänge der Photonen klein ist verglichen mit der Strecke, über die sich die Temperatur merklich ändert, d. h. .

Klassen von Gleichungen Der Sternaufbau wird durch zwei Klassen von Gleichungen behandelt. Mehrere Differentialgleichungen beschreiben die Änderung der physikalischen Gegebenheiten mit der Tiefe, hinzu treten Materialgleichungen.

Differentialgleichungen Bei den Differentialgleichungen handelt es sich um ein System von vier gekoppelten Gleichungen erster Ordnung. Wenn Kugelsymmetrie vorausgesetzt werden darf, erscheint der Radius als einzige Variable, d. h., der Stern wird als eine Anordnung von kugelförmigen dünnen Schalen betrachtet. Zwei Gleichungen beschreiben die Schichtung des Druckes und die Verteilung der Masse . Zwei weitere Gleichungen geben die Energiebilanz und damit die Leuchtkraft sowie die Temperaturschichtung an. Die Gleichungen des Sternaufbaus werden in vielen Lehrbüchern der Astrophysik behandelt, z. B. von Kippenhahn und Weigert (1990), Zeilik und Gregory (1998) und Hansen u. a. (2004).

Materialgleichungen Zusätzlich zu den Differentialgleichungen werden noch weitere Beziehungen benötigt, die Materialeigenschaften beschreiben. So müssen Druck, Dichte und Temperatur durch eine Zustandsgleichung miteinander verknüpft werden. Während bei Hauptreihensternen zumeist die allgemeine Gasgleichung angewandt werden darf, müssen die extrem verdichteten Kerne von (Über-)Riesen und ganz besonders die Endstadien wie weißer Zwerg und Neutronenstern als entartete Materie behandelt werden (wo keine Temperaturabhängigkeit, sondern nur noch eine Dichteabhängigkeit des Druckes vorliegt). Für die Energieerzeugung muss ebenfalls die Abhängigkeit von anderen Größen angegeben werden, insbesondere von der Temperatur und Dichte. Um die Temperaturschichtung korrekt zu beschreiben, muss der Mechanismus des Energietransports gegeben sein. Der Energiestrom kann sowohl durch Strahlung als auch Konvektion erfolgen. Im ersten Fall müssen als weitere Materialeigenschaften die Durchsichtigkeit (die sogenannte Opazität) und das davon abgeleitete Strahlungsleitvermögen der Sternmaterie bekannt sein. Auch sie sind temperatur- und dichteabhängig. Im letzteren Fall tritt zum Energiestrom ein Massestrom hinzu, so dass auch die Hydrodynamik in das Problem des Sternaufbaus Eingang findet.

Masseerhaltung und hydrostatische Grundgleichung Die beiden folgenden Gleichungen beschreiben wie bereits angedeutet die Verteilung der Masse sowie die Druckschichtung im Sterninneren.

Masseerhaltung Die Gleichung für die Massenverteilung ist am einfachsten zu verstehen. Eine dünne Kugelschale mit Radius und Dicke hat ein Volumen . Zusammen mit der Dichte ergibt sich daraus für deren Masse :

Die Integration von bis zum äußeren Rand des Sterns ergibt dessen Gesamtmasse .

Hydrostatische Grundgleichung Die für die Masseerhaltung betrachtete Kugelschale hat pro Fläche eine Masse und eine Gewichtskraft , wobei die Fallbeschleunigung im Abstand vom Sternzentrum bedeutet. Nach dem Birkhoff-Theorem, das in seiner klassischen Form schon Isaac Newton zeigte, trägt bei einer kugelsymmetrischen Masseverteilung nur diejenige Masse zur Fallbeschleunigung bei, die sich innerhalb von befindet. Damit ist einfach , wobei die Gravitationskonstante bedeutet. Einsetzen liefert für das Gewicht pro Fläche, also den ausgeübten Druck:

Elementare Beispiele und Schlussfolgerungen Aus den obigen beiden Differentialgleichungen können mittels einer elementaren Abschätzung bereits einige wichtige Zusammenhänge zwischen den Bedingungen im Sterninneren und beobachtbaren Zustandsgrößen hergestellt werden. Gibt man ein plausibles Dichtegesetz einfach vor, lassen sich die Gleichungen elementar lösen und so die mittlere Dichte , die zentrale Dichte und der zentrale Druck abschätzen.

Das denkbar einfachste Modell ist das einer konstanten Sterndichte (damit sind natürlich und identisch). Einsetzen in die Massenerhaltung und Integration liefern:

Die Integrationskonstante muss so gewählt werden, dass . Setzt man , so findet man folgende Beziehung:

Für die Sonne erhält man mit = 1,989 × 1030 kg und = 696.000 km den Wert = 1,41 g/cm3. Eine exakte Behandlung des Problems liefert mit = 162 g/cm3 einen viel höheren Wert, d. h., tatsächlich nimmt mit zunehmender Tiefe die Dichte stark zu. Dies ist zu erwarten, da der Druck mit der Tiefe ebenfalls zunimmt und die Sternmaterie kompressibel ist. Eine Zusammenstellung der Zustandsgrößen der Sonne findet sich auf der NASA Website Sun Fact Sheet (siehe Weblinks).

Die hier abgeleitete Proportionalität

gilt jedoch für beliebige kugelsymmetrische Dichteverteilungen innerhalb von Hauptreihensternen, wie Schwarzschild (1958) zeigte. Die zentrale Dichte ist also der Masse eines solchen Objekts direkt und seinem Volumen umgekehrt proportional. Überraschenderweise dominiert hier der Volumenterm gegenüber dem Masseterm, d. h. nicht massereiche, sondern massearme Sterne weisen höhere zentrale Dichten auf! Scheffler und Elsässer (1990) geben für einen Hauptreihenstern des Spektraltyps M0 eine Masse von 0,5 Sonnenmassen und einen Radius von 0,6 Sonnenradien an, also ein Verhältnis von 2,3. Ein O5-Stern weist 50 Sonnenmassen und 12 Sonnenradien auf, damit liegt bei 0,029.

Erklären lässt sich dieses Verhalten anhand der Tatsache, dass die Zentraltemperatur massearmer Sterne wesentlich geringer ist als die massereicher Sterne (was im nachfolgenden Abschnitt gezeigt wird). Ein Gleichgewicht zwischen Gasdruck und Gravitationsdruck kann sich ungeachtet der geringeren auf den Kern lastenden Masse daher nur dann einstellen, wenn die Materie stärker komprimiert wird.

Ein realistisches Modell für die Verteilungen von Masse und Dichte im Sonneninneren zeigen die folgenden Diagramme, die auf den von Abraham und Iben (1971) gegebenen Werten beruhen. Demnach ist die Materie sehr stark zum Zentrum hin konzentriert. Innerhalb ein Viertel des Sonnenradius, d. h. 1/64 des Sonnenvolumens, befindet sich bereits die halbe Sonnenmasse! Dementsprechend nimmt auch die Dichte sehr stark zur Sonnenmitte hin zu. Bei einem Abstand von einem halben Sonnenradius vom Zentrum ist die Dichte des Wassers erreicht. Bis zum Zentrum selbst steigt die Dichte noch einmal um mehr als das 100-Fache an.

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Einsetzen der konstanten Dichte und der entsprechenden Masseverteilung in die hydrostatische Grundgleichung und Integration liefert:

Mit der Forderung gewinnt man folgenden Zusammenhang:

Setzt man Sonnenmasse und Sonnenradius ein, so erhält man = 1,34 × 109 bar, wohingegen die exakte Theorie = 2,48 × 1011 bar liefert. Die Unterschätzung der zentralen Dichte zieht auch eine Unterschätzung des zentralen Druckes nach sich.

Wieder ist nach Schwarzschild die gezeigte Proportionalität

für Hauptreihensterne allgemeingültig. Der zentrale Druck wächst also quadratisch mit der Sternmasse und fällt mit der vierten Potenz des Sternradius. Auch hier dominiert der Radiusterm noch gegenüber dem Masseterm. Wieder sind es die massearmen, nicht die massereichen Sterne, welche die höheren zentralen Drücke aufweisen! Betrachtet man erneut Hauptreihensterne der Typen M0 und O5, so liegt bei 1,9 und 0,12. Die geringeren zentralen Dichten in massereichen Sternen dominieren noch gegenüber den höheren Zentraltemperaturen.