mini|Römische Tonschale mini|Karosserie als Monocoque
Die Schalentheorie befasst sich mit den Eigenschaften und der Modellierung von Schalen. Schalen sind biegesteife Flächentragwerke, bei denen zwei Abmessungen gegenüber der dritten groß sind und die – in Abgrenzung zu den ebenen Flächentragwerken Scheibe und Platte – bereits unbelastet in allen drei Raumrichtungen gekrümmt sein können. Die Bilder rechts zeigen zwei typische Beispiele schalenartiger Strukturen: die namensgebenden (Ton)Schalen und eine Karosserie. Biegeschlaffe dünnwandige Strukturen wie Flug- oder Ballonhäute werden dagegen als Membranen bezeichnet.
Der Ursprung der Schalentheorie liegt im 19. Jahrhundert, also in einer Zeit, als es die modernen Berechnungsmöglichkeiten noch nicht gab. Heute werden Schalenmodelle vor allem für die Finite-Elemente-Methode (FEM) entworfen. Wegen der geringen Biegesteifigkeit der Schalen im Vergleich zu ihrer Dehnsteifigkeit in Dickenrichtung sind die Gleichungssysteme der FEM ohne Schalenmodelle schlecht konditioniert und können ausgedehnte, dünnwandige Strukturen nur mit Hilfe von Schalenmodellen berechnet werden. Die Effizienz der Schalenmodelle ist im Wesentlichen eine Folge der Einführung von speziellen kinematischen Annahmen für die Querschnittsverformung der Struktur, die es gestatten, das dreidimensionale Kontinuum auf ein zweidimensionales Modell zu reduzieren.
Schalen nutzen die Tragfähigkeit ihres Materials durch das Abtragen von Lasten über Membrankräfte, die über die Dicke der Schale konstant sind, optimal aus. So kommt es zur hohen Steifigkeit der Schalen bei gleichzeitig geringem Gewicht und Materialeinsatz, die ihnen in der Natur und Technik eine bedeutende Rolle verschaffen. In der Natur kommen Schalen in den Vogeleierschalen, den Außenskeletten von Gliederfüßern (Insekten, Spinnen, Krebse), Knochen (Schädel, Schulterblatt) oder Halmen von Süßgräsern vor. In der Technik finden sich Schalen in Silos oder Kuppelbauten, Karosserien oder Trägern.
Historischer Abriss Das optimale Verhalten von gekrümmten Tragwerken war schon den Baumeistern der Antike bekannt. Zahlreich erhaltene Viadukte und Straßenbrücken, vor allem aber das Pantheon in Rom, sind auch heute noch eindrucksvolle Zeugen von dieser Kenntnis. Versuche, das Tragverhalten von Schalen rechnerisch zu erfassen, wurden bereits vor mehr als fünfhundert Jahren gemacht. Dabei waren vor allem Überlegungen über den Kraftfluss und die daraus folgende, optimale Form der Wölbung von Mauerwerkskuppeln von Bedeutung. Einen ausführlichen Überblick über die historische Entwicklung der Berechnung von Bögen und Schalen, die vor allem im Zusammenhang mit Mauerwerkskuppeln stattfand, gaben Edoardo Benvenuto und Karl-Eugen KurrerK.-E. Kurrer: The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium. Ernst & Sohn, 2018..
Im Laufe des neunzehnten Jahrhunderts verlagerten sich die Überlegungen über das Deformations- und Tragverhalten von Schalen von anschaulichen, mechanischen Betrachtungen und Methoden der graphischen Statik hin zu eher mathematisch orientierten, analytischen Theorien. Bei den ersten Versuchen, eine Biegetheorie der Schalen aufzustellen, ging es nicht um das Tragverhalten von Kuppeln, sondern um die Ermittlung der Eigenfrequenzen von Glocken, um deren optimale Form für den gewünschten Klang analytisch bestimmen zu können. August E. H. Love (1888)A.E.H. Love: On the small vibrations and deformations of thin elastic shells. In: Philosophical Transactions of the Royal Society, 179, 1888, S. 491 ff. schrieb in seinem berühmten Aufsatz: „This paper is really an attempt to construct a theory of the vibrations of bells“ (zu deutsch: Dieser Aufsatz ist tatsächlich ein Versuch eine Theorie der Schwingungen von Glocken aufzubauen). Verfeinerungen der Theorie kamen von Mindlin und Reissner.E. Reissner: The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates. In: Journal of applied mechanics, Trans. ASME, Vol. 67, Nr. 2, 1945, S. 69–77 Diese Theorien waren noch auf linear-elastische Medien und kleine Verformungen eingeschränkt.
Die Gebrüder Eugène und François Cosserat(1909)E. Cosserat, F. Cosserat: Théorie des corps déformables. Hermann & Cie, Paris, 1909 führten das gerichtete Kontinuum von Duhem (1893)P. Duhem: Le potentiel thermodynamique et la pression hydrostatique. In: Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure. 10 (1893), S. 183–230. in die Schalentheorie ein, was von Naghdi (1972)P. M. Naghdi (1972) zum Vorläufer der sogenannten geometrisch exakten Schalentheorie ausgebaut wurde.
Mit dem Siegeszug der FEM seit den 1970er Jahren wird in Schalenmodellen die Reduktion des dreidimensionalen Kontinuums auf ein zweidimensionales (mittels Integration über die Dicke der Schale) numerisch ausgeführt, was die Berücksichtigung großer Deformationen und beliebiger Materialmodelle gestattet.
Bezeichnungen an der Schale mini|Bezeichnungen an der Schale
In der Abbildung rechts ist ein Ausschnitt einer Schale dargestellt (gelb). Der Schalenkörper wird durch die Schalenoberseite (obere Laibungsfläche) nach oben und mit der Schalenunterseite (untere Laibungsfläche) nach unten begrenzt. Mittig zwischen der Schalenober- und -unterseite befindet sich die Schalenmittelfläche (grau). Der Abstand zwischen der Schalenober- und -unterseite ist die Schalendicke, die also durch die Mittelfläche halbiert wird. Die Dickenrichtung verläuft von der Schalenunter- zur Schalenoberseite und die tangentiale Richtung parallel zur Schalenmittelfläche. Mit Schnittflächen können Partien der Schale herausgeschnitten werden.
Numerik mini|Typische Schalenstruktur
Bei der numerischen Lösung von Anfangsrandwertaufgaben mit der FEM tritt folgendes Problem auf: Die Dehnsteifigkeit in Dickenrichtung einer linear elastischen, isotropen, viereckigen Schale mit Kantenlänge l und Dicke h wie im Bild ist proportional zu E l²/h, wenn E der Elastizitätsmodul des Schalenmaterials ist. Die Dehnsteifigkeit in Dickenrichtung ist bei abnehmender Schalendicke h wesentlich größer als die Biegesteifigkeit, die proportional ist zu E l h³/l³. Das Verhältnis zwischen Dehnsteifigkeit in Dickenrichtung und Biegesteifigkeit ist damit proportional zu (l/h)4, wobei Werte von l/h>1000 keine Seltenheit sind. Bei der Addition dieser Steifigkeiten im Rechner wird die Biegesteifigkeit an das Ende des begrenzt langen Computerwortes verschoben, was eine schlechte Konditionierung des resultierenden Gleichungssystems und mit h → 0 sogar eine singuläre Steifigkeitsmatrix bedingen kann. Durch Unterdrückung von Änderungen der Schalendicke während der Deformation wird die Dehnsteifigkeit in tangentialer Richtung der Schale, die proportional zu E h l/l ist, zur größten Schalensteifigkeit, weswegen das Verhältnis zwischen größter und kleinster Steifigkeit auf (l/h)² abnimmt.
Durch eine Unterdrückung von Verzerrungen in Dickenrichtung kann außerdem die maximal zulässige Zeitschrittweite bei expliziten dynamischen Analysen nach der Courant-Friedrichs-Lewy-Bedingung von h/c auf l/c – nicht selten um einen Faktor zehn und mehr – vergrößert werden, wobei c die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit in der physikalischen Struktur ist.
Schalenmodelle mini|Schalenkinematik mit Schalenmittelfläche (blau) und einer Abweichung in Dickenrichtung (rot)
Die Effizienz der Schalentheorie ist im Wesentlichen eine Folge der Einführung von speziellen kinematischen Annahmen für die Querschnittsverformung der Struktur. Allen Schalenmodellen gemeinsam ist, dass der Ortsvektor eines Punktes innerhalb der Schale aufgeteilt wird in eine Komponente, die auf die Schalenmittelfläche weist, in der Abbildung rechts blau, und einer Abweichung in Dickenrichtung (rot), die durch Direktoren beschrieben wird. Anders als die Normalenvektoren von Flächen sind die Direktoren im Allgemeinen nicht senkrecht zur Schalenmittelfläche.
Einteilung Die Schalenmodelle lassen sich in folgende Gruppen einteilen: klassische Schalentheorie oder Schalentheorie basierend auf dem Degenerationskonzept, schubstarre Kirchhoff’sche und schubweiche Schalen, Schalenmodelle mit oder ohne Dickenänderung bei der Verformung, Schalentheorien höherer Ordnung oder Multi-Direktor Theorie sowie Schalentheorien eines konventionellen oder eines Cosserat-Kontinuums.
Klassische Schalentheorie und Degenerationskonzept Die beiden Hauptströmungen der Schalentheorie sind die klassische Schalentheorie und das Degenerationskonzept. Die den beiden Konzepten zu Grunde liegenden kinematischen Annahmen sind im Wesentlichen die gleichen. In der klassischen Schalentheorie wird die Integration der Spannungen über die Dicke zu Spannungsresultierenden vorab analytisch erledigt, was bei linear elastischem Verhalten, kleinen Verformungen und in ebenen (Scheiben und Platten) und rotationssymmetrischen (Röhren, Kugeln und Hyperboloide) Strukturen mit vertretbarem Aufwand gelingt. Die Spannungsresultierenden müssen in Folge der Impuls- und Drehimpulsbilanz partiellen Differenzialgleichungen genügen. Im Degenerationskonzept wird die Integration über die Schalendicke im konkreten Berechnungsfall numerisch durchgeführt. N. Büchter bewies 1992, dass Schalenelemente der beiden Herangehensweisen zu gleichen Ergebnissen führen.
Schubstarre und schubweiche Schalen Bei der schubstarren Kirchhoff’schen Schale bleiben die Direktoren, die im Ausgangszustand senkrecht zu der Schalenmittelfläche sind, auch während der Verformung senkrecht zur Schalenmittelfläche, was der bernoullischen Annahme bei den Balken entspricht. Diese Annahme ist bei sehr dünnen Tragwerken gerechtfertigt, liefert aber auch dort für die höheren Eigenfrequenzen zunehmend falsche Ergebnisse. Die Erweiterung der Theorie zu schubweichen Schalen, wo die Direktoren ihre Winkel zur Schalenmittelfläche ändern können, ist in guter Übereinstimmung mit experimentellen Fakten.Altenbach [1996, S. 290ff]
Theorie höherer Ordnung und Multi-Direktor-Theorie mini|Approximation der Querschnittsverwölbung mit p- und h-Methode
Im Aufbau der Spannungsresultierenden unterscheiden sich die Schalentheorien höherer Ordnung und die Multi-Direktor-Theorie. Bei der Theorie höherer Ordnung stellt der deformierte Schalenquerschnitt eine knickfreie gewölbte Fläche dar. Diese Theorien können aus einer Taylor-Reihenentwicklung der Verformung in Dickenrichtung abgeleitet werden und führen auf die hierarchischen Modelle, die ein besseres Lösungsverhalten durch höherwertige Ansatzfunktionen zu erreichen versuchen. In der FEM wird dies p-Methode zur Verbesserung der Approximation genannt, siehe Abbildung rechts linker Bildteil. Die klassische Schalentheorien von Kirchhoff-Love und Reissner stellen danach eine Theorie nullter bzw. erster Ordnung dar und entstehen durch Vernachlässigung von Termen höherer Ordnung in Dickenrichtung.
Die Multi-Direktor-Theorien andererseits nehmen stückweise lineare Verläufe der materiellen Linien in Dickenrichtung an. Diese kinematische Annahme wurde vielfach auf geschichtete Laminatschalen angewendet.F. Gruttmann: Theorie und Numerik dünnwandiger Faserverbundstrukturen. Habilitationsschrift am Fachbereich Bauingenieur- und Vermessungswesen der Universität Hannover, Bericht-Nr. F 96/1, Universität Hannover, 1996 (uni-hannover.de). Indem die Stücke immer kürzer werden, kann prinzipiell jeder Funktionsverlauf über die Dicke approximiert werden, was mit der h-Methode in der FEM korrespondiert, siehe Abbildung rechts rechter Bildteil.
Dicke und dünne Schalen