Eine potenz-assoziative Algebra ist eine Algebra, in welcher die Potenzen eines Elements unabhängig von der Beklammerungsreihenfolge definiert werden können.
Definitionen Für ein Magma und jedes definiere man sowie für jedes .
Die Verknüpfung eines Magmas heißt potenz-assoziativ für ein Element , wenn für alle positiven natürlichen Zahlen gilt
Ein Magma nennt man potenz-assoziatives Magma, wenn dessen Verknüpfung potenz-assoziativ ist für jedes .
Die Algebra heißt potenz-assoziativ (potenz-assoziative Algebra), wenn ihre Multiplikation potenz-assoziativ ist, also ein potenz-assoziatives Magma ist.
Beispiele Potenz-assoziative Magmen Jede Halbgruppe ist auch immer ein potenz-assoziatives Magma. Für jedes idempotente Element eines Magmas gilt die Potenz-Assoziativität: .Entsprechend ist jedes idempotente Magma ein potenz-assoziatives Magma Jede alternative und flexible Verknüpfung, die die Moufang-Identitäten erfüllt, ist auch potenz-assoziativ.Beweis (per vollständiger Induktion): Induktionsanfang : Induktionsanfang : Induktionsschritt für : (1) Definition (2) (Links-)Alternativität von (3) Flexibilität (und der daraus folgenden -Potenz-Assoziativität, siehe unten) von (4) Moufang-Identität für (5) Induktionsvoraussetzung Für die Multiplikation einer Algebra reicht hierfür bereits die Alternativität aus, siehe unten! Für Spezialfälle reichen weniger Voraussetzungen aus. So folgt bereist aus der Alternativität:1: Definition 2: Linksalternativität3: Rechtsalternativität
Potenz-assoziative Algebren Alle assoziativen Algebren sind potenz-assoziativ.
Alle alternativen Algebren sind potenz-assoziativ. In einer Algebra folgt aus der Alternativität die Flexibilität der Multiplikation, und außerdem die Erfüllung der Moufang-Identitäten (siehe auch Eigenschaften von Alternativkörpern)!
Alle -Algebren , in denen es zu jedem ein gibt mit , sind potenz-assoziativ. Hierzu gehört beispielsweise , ausgestattet mit dem Kreuzprodukt, da für alle . Die Algebra der Sedenionen ist ebenfalls eine potenz-assoziative Algebra.
Weitere Abschwächungen der Potenz-Assoziativität Die Verknüpfung eines Magmas heißt -potenz-assoziativ für ein Element , wenn für die positive natürliche Zahl gilt:
Ein Magma, dessen Verknüpfung -potenz-assoziativ ist, kann man somit auch als ein -potenz-assoziatives Magma bezeichnen.
Ein potenz-assoziatives Magma ist auch immer ein -potenz-assoziatives Magma, denn es gilt:
1: Definition 2: Potenz-Assoziativität von
Ein flexibles Magma (und erst recht jede Halbgruppe) ist auch immer ein -potenz-assoziatives Magma, denn es gilt (per vollständiger Induktion): Induktionsanfang (nur mit Definition ): Induktionsschritt : 1: Definition 2: Flexibilität von 3: Induktionsvoraussetzung
Die Verknüpfung eines Magmas heißt idemassoziativ (in Anlehnung an idempotent) für ein Element , wenn gilt .
Ein Magma, dessen Verknüpfung idemassoziativ ist, kann man somit auch als ein idemassoziatives Magma bezeichnen.
Ein -potenz-assoziatives Magma ist auch immer ein idemassoziatives Magma (mit ).
Beispiele 1. Das Magma mit der folgenden Verknüpfungstafel ist idemassoziativ, aber weder -potenz-assoziativ (und somit auch nicht potenz-assoziativ) noch flexibel noch alternativ: 0120 2 1 21 2 2 02 2 0 0
nicht linksalternativ wegen nicht rechtsalternativ wegen nicht flexibel wegen nicht potenz-assoziativ wegen nicht -potenz-assoziativ für wegen idemassoziativ wegen
2. Das Magma mit der folgenden Verknüpfungstafel ist potenz-assoziativ (und somit auch -potenz-assoziativ und idemassoziativ), aber weder flexibel noch alternativ: 0120 0 0 01 0 0 22 0 0 2 nicht alternativ wegen nicht flexibel wegen potenz-assoziativ wegen
3. Das Potenzieren ist nicht idemassoziativ (und somit auch weder -potenz-assoziativ noch potenz-assoziativ), denn es gilt zum Beispiel: .
Literatur Ebbinghaus et al.: Zahlen. Springer, Berlin 1992, ISBN 3-54055-654-0. R. D. Schafer: An Introduction to Nonassociative Algebras. Benediction Classics, 2010, ISBN 1-84902-590-8.
Kategorie:Algebra