mini|Cardanische Kreise: Der blaue Kreis rollt in dem doppelt so großen schwarzen Kreis. Der rote Punkt des blauen Kreises bewegt sich auf dem roten Durchmesser
Als Cardanische Kreise bezeichnet man in der euklidischen Ebene den Sonderfall einer Hypozykloide, bei der der kleine (abrollende) Kreis halb so groß ist wie der große (feste) Kreis. (Der kleine Kreis rollt im Innern des großen Kreises.) Das Besondere dieser speziellen Hypozykloide ist: Jeder Punkt des Kreisbogens des kleinen Kreises bewegt sich auf einem Durchmesser des großen Kreises.
Geschichte Die Himmelsscheibe von Nebra enthält einen Mechanismus ähnlich der cardanischen Kreise (in der Himmelsscheibe von Nebra finden sich Ellipsen anstelle von Kreisen).
In der englischen Literatur nennt man diese spezielle Hypozykloide Tusi couple (Tusi-Paar) nach dem persischen Astronomen und Mathematiker Nasīr ad-Dīn at-Tūsī des 13. Jahrhunderts. Nasīr ad-Dīn at-Tūsī beschrieb die Cardanische Kreise in seinem Werk Tahrir al-Majisti aus dem Jahr 1247. Der Begriff „Tusi couple“ wurde aber erst 1966 von Edward Kennedy geprägt.
Der Zusammenhang, dass jeder Punkt des Kreisbogens des kleineren Kreises sich auf einem Durchmesser des größeren Kreises bewegt, wurde 1570 von dem italienischen Humanisten Gerolamo Cardano beschrieben,Gerolamo Cardano: Opus novum de proportionibus, 1570 (Digitalisat). auf den sich die deutschsprachige Benennung „Cardanische Kreise“ bezieht. Diese frühen Untersuchungen zu Zykloiden wurden später von Galilei ausgeweitet.
Die Verbindung zwischen der Arbeit von Nasir ad-Din at-Tusi und den europäischen Gelehrten wird angenommen, jedoch konnte die Verbindung noch nicht sicher rekonstruiert werden. Auffallend ist, dass in den Arbeiten von KopernikusNikolaus Kopernikus: Wie die wechselseitige Bewegung der Libration aus Kreisbewegungen besteht. In: De revolutionibus orbium coelestium, Buch 3, Kapitel 4 (Volltext [Wikisource]). die Punkte phonetisch ähnlich benannt wurden wie in den Arbeiten von Tusi. Nach Arthur Koestler nutzte Kopernikus in seinem Hauptwerk diese Konstruktion zur Auflösung (scheinbarer) linearer Pendelbewegungen von Erde und anderen Planeten in je zwei Kreisbewegungen, weil er annahm, Himmelskörper müssten ausschließlich Kreisbewegungen ausführen.Arthur Koestler: Die Nachtwandler. Alfred Scherz Verlag, Bern 1963, S. 193.
Formulierung und Beweis des Satzes von Cardano mini|Cardanische Kreise: zu den Beweisen Gegeben sei ein Kreis (blau) mit Mittelpunkt und Radius der in einem Kreis (schwarz) mit Mittelpunkt und dem doppelten Radius liegt und diesen im Punkt berührt (siehe Bild).
Dann gilt: Beim Abrollen des kleinen Kreises im Innern des großen Kreises bewegt sich der am kleinen Kreis fixierte Punkt geradlinig auf einem Durchmesser des großen Kreises.
Zusatz: Jeder Punkt der Kreislinie des kleinen Kreises bewegt sich auf einem Durchmesser des großen Kreises. mini|Jeder dieser Punkte bewegt sich auf einem Durchmesser (animierte SVG: hier anklicken zum Starten)
Geometrischer Beweis Der kleine Kreis habe sich wie im Bild (Cardanische Kreise: zu den Beweisen) weiterbewegt. Die beiden eingezeichneten Winkel und lassen sich an ihm als Umfangs- bzw. Mittelpunktswinkel eines Kreisbogens auffassen (Kreiswinkelsatz); dieser hat die Länge Betrachtet man aber als Mittelpunktswinkel am großen Kreis, so hat der zugehörige Kreisbogen die Länge Wegen sind somit beide Kreisbögen (magenta) gleich lang. Folglich ist der Begrenzungspunkt von der auf dem Durchmesser des großen Kreises durch liegt, auch derjenige Punkt, wohin sich weiterbewegt hat.
Rechnerischer Beweis Zum Beweis stellt man sich die Bewegung des Punktes in zwei Drehbewegungen zerlegt vor: 1) Drehung um den Punkt um den Winkel und 2) Drehung um den neuen Mittelpunkt des kleinen Kreises um den Winkel . Benutzt man komplexe Zahlen und ihre Darstellung als Gaußsche Zahlenebene, so ist und . Das Bild des Punktes ist dann:
Die Bahn des Punktes ist also das reelle Intervall (Durchmesser des großen Kreises.)
Technische Anwendungen mini|Animation Cardanische Kreise mit Innen- bzw. Außenverzahnung Wird der äußere Kreis innen verzahnt und der innere Kreis als Zahnrad ausgeführt, dann lässt sich mit Hilfe Cardanischer Kreise eine Rotationsbewegung in eine periodische geradlinige Bewegung umsetzen.
Buchdruckpressen Dieses Prinzip lag der Erfindung der Buchdruckschnellpressen von König & Bauer zugrunde.
Motoren James White erhielt 1801 von Napoleon Bonaparte eine Medaille für eine Dampfmaschine, die eine hypocykloidische Geradführung verwendete. Nach Whites Entwurf wurden ein paar Maschinen gebaut, der wirtschaftliche Erfolg blieb aber aus.Robert Stuart: Historical and Descriptive Anecdotes of Steam-engines, and of Their Inventors and Improvers. Wightman and Cramp, 1829, S. 634 ().
Matthew Murray entwickelte eine hypocykloidische Dampfmaschine im Jahr 1802.
Allgemein In der technischen Anwendung ist der Mechanismus auch als hypocykloidische Geradführung bekannt.
In der Getriebesammlung von Franz Reuleaux finden sich zwei Modelle hypocykloidischer Geradführungen.
Hypotrochoiden Eine Eigenschaft der cardanischen Kreise ist, dass Punkte auf dem inneren Kreis, die nicht auf der Kreislinie liegen, Ellipsen beschreiben. Diese Ellipsen, und die gerade Linie, die vom klassischen cardanischen Kreis beschrieben werden, sind besondere Fälle von Hypotrochoiden. mini|Die Ellipsen (rot, grün, blau) sind Hypotrochoiden des cardanischen Kreises.
Literatur Girolamo Cardano: Opus novum de proportionibus. Basel 1570 (Archimedes Project).
Weblinks
Cardanische Kreise – interaktive Illustration
Einzelnachweise
Kategorie:Kurve (Geometrie) Kategorie:Getriebe Kategorie:Lineartechnik Kategorie:Gerolamo Cardano