Die Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die 1931 von Harold Hotelling erstmals beschrieben wurde.H. Hotelling: The generalization of Student’s ratio. In: Ann. Math. Statist., 1931, 2(3), S. 360–378; doi:10.1214/aoms/1177732979; . Sie ist eine Verallgemeinerung der Studentschen t-Verteilung.
Definition Die quadratische Form
folgt einer Hotellingschen T-Quadrat-Verteilung mit einer Anzahl von Punkten ist ein Spaltenvektor mit Elementen ist eine -Kovarianzmatrix
Eigenschaften Es sei eine Zufallsvariable mit einer multivariaten Normalverteilung und (unabhängig von ) habe eine Wishart-Verteilung mit einer nicht-singulären Kovarianzmatrix und mit . Dann ist die Verteilung von : , Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung mit Parametern und .
Für die F-Verteilung gilt:
.
Unter der Annahme, dass
-Spaltenvektoren mit reellen Zahlen sind.
sei der Mittelwert. Die positiv definite -Matrix
sei ihre Stichproben-Kovarianzmatrix. (Die Transponierte einer Matrix sei mit bezeichnet). sei ein -Spaltenvektor (bei Anwendung ein Schätzer des Mittelwertes). Dann ist die Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung
hat eine enge Beziehung zum quadrierten Mahalanobis-Abstand.
Wenn unabhängig sind und und wie oben definiert sind, dann hat eine Wishart-Verteilung mit Freiheitsgraden, so dassK.V. Mardia, J.T. Kent, J.M. Bibby: Multivariate Analysis. Academic Press, 1979, ISBN 0-12-471250-9.
und ist unabhängig von und
.
Daraus folgt
Einzelnachweise
Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung