Die Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung (mit englischer Transkription im Deutschen gelegentlich auch Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung genannt) beschreibt in der Festkörperphysik das Zeitverhalten der magnetischen Momente (bzw. der Magnetisierungsdichte) eines ferromagnetischen Materials in Abhängigkeit vom sogenannten effektiven magnetischen Feld. Das effektive magnetische Feld setzt sich unter anderem aus externen Magnetfeldern und internen Wechselwirkungen wie magnetischer Anisotropie, Austauschwechselwirkung und dipolarer magnetischer Wechselwirkung zusammen. Thermische Eigenschaften können durch einen stochastischen Anteil beschrieben werden. In diesem Fall wird die Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung als Langevin-Gleichung interpretiert. Die Wechselwirkung mit freien elektrischen Strömen oder elektromagnetischen Wellen wird durch Kopplung mit den Maxwell-Gleichungen beschrieben. Die Anwendungen sind sehr weitreichend, Beispiele sind die Berechnung von Hysteresekurven, die Simulation mikromagnetischer Strukturen z. B. zur Erforschung magnetischer Speichermedien, in der Materialforschung z. B. in Verbindung mit Neutronenstreuung und Hyperthermie in Verbindung mit magnetischen Nanopartikeln. Benannt ist sie nach Lew Dawidowitsch Landau, Jewgeni Michailowitsch Lifschitz und Thomas L. Gilbert.T. L. Gilbert: A Lagrangian formulation of the gyromagnetic equation of the magnetic field. Phys. Rev., Band 100, 1955, S. 1243. Unter Berücksichtigung der Wechselwirkungen in realen Materialien sind keine expliziten Lösungen der Landau-Lisfhitz-Gilbert-Gleichung bekannt. Open-Source-Software zur Simulation der Landau-Lifshitz-Gleichung sind z. B. mumax3,mumax3. Abgerufen am 10. Juli 2024. VAMPIRE,VAMPIRE. Abgerufen am 10. Juli 2024. OOMMF und MicroMagus.
Klassischer Zugang zur Spindynamik (Dynamik des magnetischen Moments)
Larmor-Gleichung Der klassische Ansatz zur Dynamik des magnetischen Moments basiert auf der Verknüpfung von Resultaten aus der klassischen Mechanik und der klassischen Elektrodynamik. Zum einen wird aus der klassischen Mechanik der Drallsatz herangezogen, der die Zeitableitung des Drehimpulses mit einem eingeprägten Drehmoment (hier für torque, da im Magnetismus für die Magnetisierung verwendet wird) verknüpft:
Ein Ergebnis der klassischen Elektrodynamik ist, dass das Drehmoment, das herrührend von einem externen Magnetfeld an einem magnetischen Moment wirkt, durch die nachstehende Formel beschrieben ist (hier hat das magnetische Moment die Einheit und das Magnetfeld (magnetische Flussdichte) die Einheit (Tesla)):
Durch Verknüpfung der Gleichungen (1) und (2) erhält man eine Beschreibung der zeitlichen Drehimpulsänderung eines „Objektes“ mit magnetischem Moment , befindlich in einem externen Magnetfeld :
In den folgenden Schritten wird nun der Drehimpuls mit dem magnetischen Moment verknüpft, sodass Gleichung (3) in eine geschlossene Differentialgleichung zur Beschreibung der Dynamik des magnetischen Moments überführt werden kann. Aus der klassischen Mechanik ist bekannt, dass der Drehimpuls eines Systems durch den Hebelarm und den Impuls (bzw. Geschwindigkeit , gemäß , wobei hier mit die Elektronenmasse herangezogen wird, die effektive Massendichte ist und die Anzahl an Elektronen) beschrieben wird:
Das magnetische Moment einer lokalisierten elektrischen Stromdichte , mit Geschwindigkeitsfeld und elektrischer Ladungsdichte (wobei wir als effektive Elektronenladungsdichte heranziehen, mit der Anzahl an Elektronen) ist gegeben durch:
Man beachte an dieser Stelle, dass es sich eigentlich um eine quasi-klassische Betrachtung handelt, da das Bohr-van-Leeuwen-Theorem hier nicht berücksichtigt wird! Nach diesem ist der Magnetismus bei Festkörpern ein rein quantenmechanischer Effekt.
Mit den Gleichungen (4) und (5) findet sich eine Relation zwischen magnetischem Moment und Drehimpuls (magnetisches Moment des Bahndrehimpulses eines Elektrons):
Nun lässt sich der Drehimpuls in Gleichung (3) durch Gleichung (6) substituieren, woraus die Larmor-Gleichung folgt, welche die Präzession (Larmor-Präzession) des magnetischen Moments in Anwesenheit eines externen Magnetfeldes beschreibt:
Die Konstante wird dabei als klassisches gyromagnetisches Verhältnis definiert (je nach Konvention wird das gyromagnetische Verhältnis positiv oder negativ definiert, was zur Folge hat, dass sich auch das Vorzeichen in der Larmor-Gleichung (7) ändert):
Eine wichtige Eigenschaft der Larmor-Gleichung ist, dass die Vektornorm erhalten bleibt ( und sind orthogonal zueinander):
Aufgrund der Erhaltung der Amplitude des magnetischen Moments wird typischerweise in Computersimulationen die Bewegungsgleichung so skaliert, dass das magnetische Moment nur einem Einheitsvektor entspricht und die physikalischen Kofaktoren in enthalten sind.
Landau-Lifshitz-Gleichung (LL) Da die Larmor-Gleichung (7) bei konstantem Magnetfeld nur zu einer Präzessionsbewegung des magnetischen Moments führt – aus Experimenten zu ferromagnetischen Materialien aber bekannt ist, dass die Magnetisierung ein Sättigungsverhalten aufweist (bei „starken“ eingeprägten Magnetfeldern gilt im stationären Grenzwert) –, wurde von Landau und Lifshitz 1935 ein phänomenologischer Dämpfungsterm, der zu Gleichung (7) hinzuaddiert wird, eingeführt. Dabei wurde der Dämpfungsterm so formuliert, dass die Erhaltung der Amplitude des magnetischen Moments gültig bleibt. Die Landau-Lifshitz-Gleichung ist wie folgt angebbar:
In dieser Form der Landau-Lifshitz-Gleichung wird davon ausgegangen, dass einem Einheitsvektor ohne physikalische Einheit entspricht. D. h., der physikalische Bezug zu einem Einheitssystem ist durch die Konstanten gegeben. Weiters ist in Gleichung (10) zu beachten, dass es sich um die Formulierung für ein einziges magnetisches Moment handelt. In der mikromagnetischen Formulierung wird hingegen die Dynamik des Magnetisierungs-Vektorfeldes mit der Sättigungsmagnetisierung als Amplitude beschrieben. Es wird z. B. folgende Formulierung verwendet:
Auch hier werden je nach Autor und Anwendungsgebiet unterschiedliche Vorzeichenkonventionen des Präzessionsterms verwendet. Weiters wird im Mikromagnetismus die effektive magnetische Feldstärke anstelle der magnetischen Flussdichte verwendet, die wiederum unter anderem eine Funktion der Magnetisierung ist. D. h., die magnetischen Eigenschaften eines Materials sind in der Relation zwischen und kodiert.
Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung (LLG) Die Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung ist eine zu Gleichung (10) äquivalente Gleichung und lässt sich durch Umformung aus der Landau-Lifshitz-Gleichung (10) herleiten (Herleitung von (11) ausgehend ist ebenfalls analog möglich). Umgekehrt ist auch die Landau-Lifshitz-Gleichung aus der Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung herleitbar. In der folgenden Herleitung wird der Einfachheit halber die Notation verwendet. Im ersten Schritt wird das Kreuzprodukt betrachtet, wobei aus Gleichung (10) folgt:
In Gleichung (12) ist der Term mit Kofaktor wiederum mit Hilfe der Landau-Lifshitz-Gleichung (10) darstellbar. Zunächst wird Gleichung (10) wie folgt umgestellt:
Weiters vereinfacht sich das Dreifach-Kreuzprodukt in Gleichung (12) unter der Annahme, dass ein Einheitsvektor ist, wie folgt:
Durch Verwendung der Gleichungen (13) und (14) in Gleichung (12) ergibt sich:
Durch Umstellung von Gleichung (15) nach findet man:
Mit den Definitionen
schreibt sich einfacher:
Diese Gleichung wird als Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung bezeichnet.
Zu den Definitionen (17) git es eine eindeutige Umkehrung:
Landau-Lifschitz-Gleichung Die ursprüngliche Landau-Lifschitz-Gleichung wurde im Jahr 1935 aufgestellt. Sie lautet
und beschreibt sowohl die Präzession der magnetischen Momente als auch die auftretende Dissipation. Dabei bezeichnet die Magnetisierung, das effektive Magnetfeld, einen phänomenologischen (kleinen) Dämpfungsparameter und das gyromagnetische Verhältnis des Elektrons mit dem Landé-Faktor , der Elementarladung und der Elektronenmasse .
Der erste Term beschreibt die Präzession, der zweite die Dissipation. Dabei bleibt der Betrag von erhalten, denn es gilt:
Diesen konstanten Betrag nennt man die Sättigungsmagnetisierung .
In der stationären Lösung des Systems, zu der das System strebt, wenn es sich selbst überlassen wird, stehen Magnetisierung und effektives magnetisches Feld parallel zueinander.
Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung 1955 führte Gilbert eine Herleitung der Landau-Lifshitz-Gleichung auf der Basis des Lagrange-Formalismus durch. Er konnte zeigen, dass eine rigorose quantenstatistische Rechnung dasselbe Ergebnis liefert wie die Hinzufügung einer klassischen Rayleighschen Dissipationsfunktion zur Lagrangefunktion. Mit dieser gelangt man zu der Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung:
Wird diese Gleichung iteriert in sich eingesetzt, ergibt sich eine Form, die der der Landau-Lifshitz-Gleichung entspricht:
Der einzige Unterschied ist, dass das gyromagnetische Verhältnis durch ein effektives gyromagnetisches Verhältnis ersetzt wird, das vom Dämpfungsparameter abhängig ist. Wie in der Mechanik beim gedämpften Oszillator wirkt sich die Dämpfung somit auf die Präzessionsfrequenz aus. Für den Fall kleiner Dämpfung geht die Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung in die Landau-Lifshitz-Gleichung über.
Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung unter Berücksichtigung von Trägheitseffekten Eine Erweiterung der Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung zur Berücksichtigung von Trägheitseffekten, die z. B. zu Nutationsbewegungen führen, beinhaltet einen Zusatzterm mit einer Zeitableitung zweiter Ordnung:
In der Literatur wird oft auch eine negierte Variante dieser Gleichung verwendet, was eine gegenläufige Dynamik beschreibt. Um es in diesem Artikel konsistent zu halten, wird die Notation der Gleichungen aus den vorigen Abschnitten beibehalten. Der Parameter wird in Analogie zur klassischen Mechanik als magnetisches Trägheitsmoment bezeichnet (magnetic moment of inertia).
Das „effektive Feld“ Landau und Lifschitz haben 1935 noch angegeben, wie der Vektor von allen vier beteiligten Wechselwirkungen (der „magnetischen Austauschenergie“, der „Dipol-Dipol-Energie“, der „Anisotropieenergie“ und der „Zeeman-Energie“) abhängt. Das effektive Feld wird in der Regel zunächst durch ein Energiefunktional (einen Hamiltonian) repräsentiert und ergibt sich folglich aus der ersten Variation nach der Magnetisierung . Dabei stellen die Energie der Austauschwechselwirkung, die Energie der Dzyaloshinkii-Moriya-Wechselwirkung, die Energie der magnetokristallinen Wechselwirkung, die Energie der magnetoelastischen Wechselwirkung, die Energie der Wechselwirkung mit externen Feldern (Zeeman-Wechselwirkung) und die Energie der Dipol-Dipol-Wechselwirkung dar.
In der nachfolgenden Tabelle sind die Energien für den mesoskopischen Fall angegeben. Auf kleineren Längenskalen sind andere Ausdrücke zu verwenden, welche die Energien auf atomarer Ebene (diskret, nicht-kontinuierlich) beschreiben. Die Energien der magnetokristallinen und magnetoelastischen Anisotropie hängen von der Gitterstruktur des Materials ab. Daher sind hier keine expliziten Ausdrücke der Energiedichten angegeben. +Wechselwirkungen der mikromagnetischen FeldtheorieHamiltonian (Energie)Magnetische AustauschwechselwirkungMagnetische Dipol-Dipol-Wechselwirkung (Demagnetisierungs-Feld)Magnetokristalline AnisotropieMagnetoelastische AnisotropieZeeman-WechselwirkungDzyaloshinskii-Moriya-Wechselwirkung
Spinwellen u. Ä. mini|hochkant=2|Eine sog. Spinwelle in einem ferromagnetischen Festkörper