Wilson-Primzahlen (nach Sir John Wilson) sind Primzahlen , für die gilt, dass durch teilbar ist. Es handelt sich dabei um eine stärkere Form des Satzes von Wilson. Bisher sind nur die Wilson-Primzahlen 5, 13 und 563 bekannt.
Definition
Zur Notation siehe Fakultät, Teilbarkeit und Kongruenz
Der Satz von Wilson besagt, dass genau dann durch teilbar ist, wenn eine Primzahl ist. Für jede Primzahl gilt also:
Als Kongruenz lässt sich dies wie folgt beschreiben:
oder
Das ganzzahlige Ergebnis der Division
wird in diesem Zusammenhang auch als Wilson-Quotient bezeichnet ().
Eine Wilson-Primzahl ist nun jede Primzahl , die darüber hinaus sogar Teiler „ihres“ Wilson-Quotienten ist (und den Satz von Wilson damit quasi zweimal erfüllt).
Beweis Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei
ist
hat eine eindeutige Lösung
oder
ist
Annahme:
mit
Widerspruch: kann nicht gleichzeitig und teilen
Beispiel
Die Zahl ist ein Teiler von :
Also ist wegen des Satzes von Wilson eine Primzahl. Da sie ebenfalls ein Teiler des entsprechenden Wilson-Quotienten ist (36.846.277 13 = 2.834.329), ist sie sogar eine Wilson-Primzahl.
Die wiederholte Teilung entspricht der Division durch das Quadrat der Ausgangszahl. Analog zum Satz von Wilson gilt daher, dass jede Primzahl genau dann eine Wilson-Primzahl ist, wenn:
Beziehungsweise:
oder
Vorkommen
Bisher sind nur die Wilson-Primzahlen 5, 13 und 563Karl Goldberg: A table of Wilson quotients and the third Wilson prime. In: Journal of the London Mathematical Society, 28, April 1953, S. 252–256 (englisch) bekannt (). Sollten weitere Wilson-Primzahlen existieren, so sind sie größer als . Es wird vermutet, dass unendlich viele Wilson-Primzahlen existieren, und zwar etwa zwischen und .Richard Crandall, Karl Dilcher, Carl Pomerance: A search for Wieferich and Wilson primes. Mathematics of Computation 66, Januar 1997, S. 433–449 (englisch)Chris K. Caldwell: Wilson prime. The Prime Glossary (englisch).
Verallgemeinerungen Wilson-Primzahlen der Ordnung n Die Verallgemeinerung des Satzes von Wilson besagt, dass eine natürliche Zahl genau dann eine Primzahl ist, wenn für alle gilt:
Es ist also eine Primzahl, wenn ganzzahlig ist.
Eine verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung n ist eine Primzahl , für welche gilt: ist Teiler von mit , Es ist also eine verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung n, wenn ganzzahlig ist.
Als Kongruenz lässt sich dies wie folgt beschreiben:
oder
Es wird vermutet, dass es für jede natürliche Zahl unendlich viele verallgemeinerte Wilson-Primzahlen der Ordnung gibt.
Beispiel Sei eine Primzahl und . Die Quadratzahl ist ein Teiler von :
Also ist ein Teiler des entsprechenden verallgemeinerten Wilson-Quotienten und ist deswegen eine verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung .
Der folgenden Tabelle kann man die verallgemeinerten Wilson-Primzahlen der Ordnung entnehmen für :
Primzahl , sodass Teiler von ist OEIS-Link1 5, 13, 563 … ()2 2, 3, 11, 107, 4931 … ()3 7 … 4 10429 … 5 5, 7, 47 … 6 11 … 7 17 … 8 … 9 541 … 10 11, 1109 … 11 17, 2713 … 12 … 13 13 … 14 … 15 349, 41341 … Primzahl , sodass Teiler von ist OEIS-Link16 31 … 17 61, 251, 479 … ()18 13151527 … 19 71, 621629 … 20 59, 499, 43223 … 21 217369 … 22 … 23 … 24 47, 3163 … 25 … 26 97579 … 27 53 … 28 347, 739399 … 29 … 30 137, 1109, 5179 … Die kleinsten verallgemeinerten Wilson-Primzahlen der Ordnung lauten (bei aufsteigendem ): 5, 2, 7, 10429, 5, 11, 17 … () Schon die nächste verallgemeinerte Wilson-Primzahl der Ordnung ist nicht bekannt, muss aber größer als sein.
Fast-Wilson-Primzahlen Eine Primzahl , welche die Kongruenz mit betragsmäßig kleinem erfüllt, nennt man Fast-Wilson-Primzahl (englisch Near-Wilson primes).
Ist , so erhält man und erhält die Wilson-Primzahlen.
Der folgenden Tabelle kann man alle solche Fast-Wilson-Primzahlen entnehmen für mit : 1282279 +20 1306817 −30 1308491 −55 1433813 −32 1638347 −45 1640147 −88 1647931 +14 1666403 +99 1750901 +34 1851953 −50 2031053 −18 2278343 +21 2313083 +15 2695933 −73 3640753 +69 3677071 −32 3764437 −99 3958621 +75 5062469 +39 5063803 +40 6331519 +91 6706067 +45 7392257 +40 8315831 +3 8871167 −85 9278443 −75 9615329 +27 9756727 +23 10746881 −7 11465149 −62 11512541 −26 11892977 −7 12632117 −27 12893203 −53 14296621 +2 16711069 +95 16738091 +58 17879887 +63 19344553 −93 19365641 +75 20951477 +25 20972977 +58 21561013 −90 23818681 +23 27783521 −51 27812887 +21 29085907 +9 29327513 +13 30959321 +24 33187157 +60 33968041 +12 39198017 −7 45920923 −63 51802061 +4 53188379 −54 56151923 −1 57526411 −66 64197799 +13 72818227 −27 87467099 −2 91926437 −32 92191909 +94 93445061 −30 93559087 −3 94510219 −69 101710369 −70 111310567 +22 117385529 −43 176779259 +56 212911781 −92 216331463 −36 253512533 +25 282361201 +24 327357841 −62 411237857 −84 479163953 −50 757362197 −28 824846833 +60 866006431 −81 1227886151 −51 1527857939 −19 1636804231 +64 1686290297 +18 1767839071 +8 1913042311 −65 1987272877 +5 2100839597 −34 2312420701 −78 2476913683 +94 3542985241 −74 4036677373 −5 4271431471 +83 4296847931 +41 5087988391 +51 5127702389 +50 7973760941 +76 9965682053 −18 10242692519 −97 11355061259 −45 11774118061 −1 12896325149 +86 13286279999 +52 20042556601 +27 21950810731 +93 23607097193 +97 24664241321 +46 28737804211 −58 35525054743 +26 41659815553 +55 42647052491 +10 44034466379 +39 60373446719 −48 64643245189 −21 66966581777 +91 67133912011 +9 80248324571 +46 80908082573 −20 100660783343 +87 112825721339 +70 231939720421 +41 258818504023 +4 260584487287 −52 265784418461 −78 298114694431 +82
Wilson-Zahlen Eine Wilson-Zahl ist eine natürliche Zahl , für welche gilt: , mit Dabei ist genau dann, wenn eine Primitivwurzel hat, sonst ist .
Für jede natürliche Zahl ist durch teilbar. Den Quotienten nennt man verallgemeinerter Wilson-Quotient. Die ersten verallgemeinerte Wilson-Quotienten lauten: 2, 1, 1, 1, 5, 1, 103, 13, 249, 19, 329891, 32, 36846277, 1379, 59793, 126689, 1230752346353, 4727, 336967037143579, 436486, 2252263619, 56815333, 48869596859895986087, 1549256, 1654529071288638505 () Ist der verallgemeinerte Wilson-Quotient durch teilbar, erhält man eine Wilson-Zahl. Diese lauten: 1, 5, 13, 563, 5971, 558771, 1964215, 8121909, 12326713, 23025711, 26921605, 341569806, 399292158 () Wenn eine Wilson-Zahl prim ist, dann ist eine Wilson-Primzahl. Es gibt 13 Wilson-Zahlen für .
Literatur
N. G. W. H. Beeger: Quelques remarques sur les congruences rp−1 ≡ 1 (mod p2) et (p−1)! ≡ −1 (mod p2). In: The Messenger of Mathematics, 43, 1913–1914, S. 72–84 (französisch) Emma Lehmer: On congruences involving Bernoulli numbers and the quotients of Fermat and Wilson. (PDF; 747 kB) In: Annals of Mathematics, 39, April 1938, S. 350–360 (englisch) Paulo Ribenboim: Die Welt der Primzahlen. Geheimnisse und Rekorde. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-34283-4 (aktualisierte Übersetzung von The little book of bigger primes. Springer, New York 2004)
Weblinks
Chris K. Caldwell: Wilson prime. The Prime Glossary (englisch). Here is the latest update on … – E-Mail von Richard McIntosh an Paul Zimmermann vom 9. März 2004 (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Ganzzahlmenge Kategorie:Primzahl Kategorie:Zahlentheorie