rahmenlos|hochkant=0.8|rechts|Eulersche Zahl Die Eulersche Zahl, mit dem Symbol bezeichnet, ist eine mathematische Konstante, die in der gesamten Höheren Mathematik und nicht zuletzt in der Analysis sowie allen damit verbundenen Teilgebieten der Mathematik, besonders in der Differential- und Integralrechnung, aber auch in der Stochastik (Kombinatorik, Normalverteilung), eine zentrale Rolle spielt.
ist eine transzendente und somit auch irrationale reelle Zahl. Sie ist die Basis des natürlichen Logarithmus und der (natürlichen) Exponentialfunktion. Ihre Darstellung als unendlicher Dezimalbruch ist
= 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 ….
In der angewandten Mathematik spielt die Exponentialfunktion und somit eine wesentliche Rolle bei der Beschreibung von Vorgängen wie dem radioaktiven Zerfall und dem exponentiellen Wachstum.
Es gibt zahlreiche äquivalente Definitionen von , die bekannteste lautet:
Die Zahl wurde nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707–1783) benannt,Man beachte: Die Eulersche Zahl ist nicht identisch mit der Euler-Mascheroni-Konstante , die in manchen Quellen den ähnlich klingenden Namen Eulersche Konstante hat. der zahlreiche Eigenschaften von beschrieb. Gelegentlich wird sie auch nach dem schottischen Mathematiker John Napier als Napiers Konstante (oder Nepersche Konstante) bezeichnet. Sie gehört zu den wichtigsten Konstanten der Mathematik.
Definition Die Zahl wurde von Leonhard Euler durch die folgende Reihe definiert:
Für ist dabei die Fakultät von , also im Falle das Produkt der natürlichen Zahlen von bis , während definiert ist.
Wie schon Euler bewies, erhält man die Eulersche Zahl auch als funktionalen Grenzwert.
Die Zahl kann auch als Grenzwert der Folge mit geschrieben werden:
Dem liegt zugrunde, dass
gilt, also der Funktionswert der Exponentialfunktion (oder auch „-Funktion“) an der Stelle ist. Die obige Reihendarstellung von ergibt sich in diesem Zusammenhang dadurch, dass man die Taylorreihe der Exponentialfunktion um die Entwicklungsstelle an der Stelle auswertet.
Ein alternativer Zugang zur Definition der Eulerschen Zahl ist derjenige über Intervallschachtelungen, etwa in der Weise, wie es in Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen von Konrad Knopp dargestellt wird. Danach gilt für alle :
rechts|400px|Grafische Hinführung zur Eulerschen Zahl Die Entstehung der Zahl lässt sich auch grafisch veranschaulichen. Aus der Abbildung ergibt sich folgender Zusammenhang:Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte. Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 178.
(Lösung des Integrals) (Multiplikation mit n) (Anwendung eines Logarithmengesetzes) (Grenzwertbildung) (Stetigkeit der Logarithmus-Funktion) (Umkehrfunktion der Exponentialfunktion)
Die Vorgeschichte vor Euler Die Geschichte der Eulerschen Zahl beginnt bereits im 16. Jahrhundert mit drei Problembereichen, in denen eine Zahl auftaucht, der sich damals die Mathematiker näherten und die später genannt wurde:
Als Basis von Logarithmen in den Logarithmentafeln von John Napier und Jost Bürgi. Beide hatten ihre Tafeln unabhängig voneinander entwickelt, wobei sie eine Idee von Michael Stifel aufnahmen und Ergebnisse von Stifel und anderen Mathematikern des 16. Jahrhunderts benutzten. Bürgi veröffentlichte 1620 seine Arithmetische und geometrische Progreß-Tabulen. Als Basis seines Logarithmensystems verwendet Bürgi offenbar instinktiv eine Zahl, die nahe bei liegt. Napier veröffentlichte 1614 seine Mirifici logarithmorum canonis descriptio und benutzt dabei eine zu proportionale Basis.H. Wußing: Vorlesungen zur Geschichte der Mathematik. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1979, S. 130. Napier und Bürgi wollten mit Hilfe der Logarithmentafeln Multiplikationen auf Additionen zurückführen, um so umfangreiche Rechnungen einfacher und weniger zeitaufwändig zu gestalten. Als Grenzwert einer Folge in der Zinseszinsrechnung. 1669 stellte Jacob Bernoulli die Aufgabe: „Eine Summe Geldes sei auf Zinsen angelegt, dass in den einzelnen Augenblicken ein proportionaler Teil der Jahreszinsen zum Kapital geschlagen wird.“ Diesen proportionalen Zinszuschlag nennen wir heute „stetige Verzinsung“.Peter Mäder: Mathematik hat Geschichte. Metzler Verlag, Hannover, 1992, ISBN 3-8156-3363-X, S. 86–87. Bernoulli fragt, ob durch Verträge, bei denen die einzelnen Augenblicke immer kürzer werden, beliebig große Vielfache der Ausgangssumme erzielt werden können, und erreicht als Lösung eine Zahl, die wir heute als Eulersche Zahl kennen,Otto Toeplitz: Die Entwicklung der Infinitesimalrechnung. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1972, ISBN 3-534-06008-3, S. 25–27. siehe unten. Als unendliche Reihe (Fläche der Hyperbel des Apollonios von Perge). Es ging (in heutiger Sprache) um die Frage, wie weit sich eine Fläche unter der Hyperbel von nach rechts erstreckt, die genauso groß wie die Fläche des Einheitsquadrats ist. Der flämische Mathematiker Grégoire de Saint-Vincent (latinisiert Gregorius a Sancto Vincentino) entwickelte zur Lösung eine Funktion, die wir heute natürlichen Logarithmus nennen und mit bezeichnen. Er entdeckte interessante Eigenschaften, darunter eine Gleichung, die wir heute Funktionalgleichung des Logarithmus nennen, die auch Napier und Bürgi zur Konstruktion und bei der Benutzung ihrer Logarithmentafeln benutzten.Toeplitz, S. 53–55. Es ist nicht gesichert, ob ihm bewusst war, dass die Basis dieses Logarithmus die Zahl ist, die später genannt wurde. Aufgefallen ist dies erst nach Erscheinen seines Werkes.Toeplitz, S. 91. Spätestens sein Schüler und Co-Autor Alphonse Antonio de Sarasa stellte den Zusammenhang durch eine Logarithmusfunktion dar. In einem Aufsatz, der die Verbreitung der Ideen von Saint-Vincent durch de Sarasa behandelt, heißt es, dass „die Beziehung zwischen Logarithmen und der Hyperbel in allen Eigenschaften durch Saint-Vincent gefunden wurde, nur nicht im Namen“.R. P. Burn: Alphonse Antonio de Sarasa and Logarithms. Historia Mathematica 28:1 (2001) – 17. Durch Arbeiten von Newton und Euler wurde dann klar, dass die Basis ist.Stefan Krauss: Die Entdeckungsgeschichte und die Ausnahmestellung einer besonderen Zahl: (PDF; 211 kB). In: The Teaching of Mathematics, 1999, Vol. II, 2, S. 105–118. Abgerufen am 15. Oktober 2025. Leibniz war offensichtlich der Erste, der einen Buchstaben für diese Zahl benutzte. In seiner Korrespondenz mit Christiaan Huygens von 1690/1 benutzte er den Buchstaben b als Basis einer Potenz.Gottfried Wilhelm Leibniz. Sämtliche Schriften und Briefe. In: leibniz.uni-goettingen.de. Abgerufen am 15. Oktober 2025. Hier zum Beispiel Brief Nr. 6.
Herkunft des Symbols e Als frühestes Dokument, das die Verwendung des Buchstabens für diese Zahl durch Leonhard Euler aufweist, gilt ein Brief Eulers an Christian Goldbach vom 25. November 1731.eulerarchive.maa.org, S. 58: „…(e denotat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est = 1),…“, deutsch: „… (e bezeichnet die Zahl, deren hyperbolischer [d. h. natürlicher] Logarithmus gleich 1 ist), …)“. Noch früher, 1727 oder 1728, begann Euler, den Buchstaben zu benutzen, und zwar im Artikel „Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta“ über Explosivkräfte in Kanonen, der allerdings erst 1862 veröffentlicht wurde.scholarlycommons.pacific.edu: „Scribatur pro numero cujus logarithmus est unitas, e, qui est 2,7182817…“ (deutsch: „Geschrieben für die Zahl, deren Logarithmus die Einheit e hat, die 2,7182817… ist…“Leonhard Euler: Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta. Als nächste gesicherte Quelle für die Verwendung dieses Buchstabens gilt Eulers Werk Mechanica sive motus scientia analytice exposita, II aus dem Jahre 1736. In der im Jahre 1748 erschienenen Introductio in analysin infinitorum greift Euler diese Bezeichnung wieder auf. Euler schreibt (gemäß der Übersetzung von Hermann Maser) dazu: „Wir werden nun in der Folge der Kürze wegen für diese Zahl stets den Buchstaben gebrauchen, so dass also die Basis der natürlichen oder hyperbolischen Logarithmen bedeutet, […], oder es soll stets die Summe der unendlichen Reihe bezeichnen.“
Es gibt keine Hinweise darauf, dass diese Wahl des Buchstabens in Anlehnung an seinen Namen geschah. Unklar ist auch, ob er dies in Anlehnung an die Exponentialfunktion oder aus praktischen Erwägungen der Abgrenzung zu den viel benutzten Buchstaben a, b, c oder d machte. Obwohl auch andere Bezeichnungen in Gebrauch waren, etwa c in d’Alemberts Histoire de l’Académie, hat sich durchgesetzt.
Im Formelsatz wird nach DIN 1338 und ISO 80000-2 nicht kursiv gesetzt, um die Zahl von einer Variablen zu unterscheiden. Allerdings ist auch die kursive Schreibweise verbreitet.
Eigenschaften Die Eulersche Zahl ist eine irrationale (Beweis mit Kettenbrüchen für und somit bereits 1737 von EulerPaulo Ribenboim: Meine Zahlen, meine Freunde: Glanzlichter der Zahlentheorie. Springer-Lehrbuch, 2009, ISBN 978-3-540-87955-8, S. 299.) und sogar eine transzendente Zahl (Beweis nach Charles Hermite 1873, Beweis im Beweisarchiv bzw. Artikel). Sie lässt sich also nicht als Bruch zweier natürlicher Zahlen und darüber hinaus (wie auch die Kreiszahl nach Ferdinand von Lindemann 1882) nicht einmal als Lösung einer algebraischen Gleichung darstellen; ihre Dezimalbruchentwicklung ist folglich unendlich und nichtperiodisch. Das Irrationalitätsmaß von ist 2 und somit so klein wie möglich für eine irrationale Zahl, insbesondere ist nicht liouvillesch. Es ist nicht bekannt, ob zu irgendeiner Basis normal ist.Richard George Stoneham: A general arithmetic construction of transcendental non-Liouville normal numbers from rational fractions. (PDF; 692 kB). In: Acta Arithmetica, 16, 1970, S. 239–253.
In der Eulerschen Identität
werden fundamentale mathematische Konstanten in Zusammenhang gesetzt: die ganze Zahl 1, die Eulersche Zahl , die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen und die Kreiszahl .In der umgestellten Form kommt mit der Null sogar noch eine weitere fundamentale Konstante hinzu. Auch die fundamentalen Rechenoperationen kommen (genau einmal) vor: Addition, Multiplikation und Potenzierung.
Die Eulersche Zahl tritt auch in der asymptotischen Abschätzung der Fakultät auf (siehe Stirlingformel):Die Stirling-Formel. (PDF; 76 kB). In: James Stirling: Methodus Differentialis. 1730, S. 1.
Die Cauchy-Produktformel für die beiden (jeweils absolut konvergenten) Reihen und der binomische Lehrsatz ergeben
und daraus folgt sofort:
Geometrische Interpretation Eine geometrische Interpretation der Eulerschen Zahl liefert die Integralrechnung. Danach ist diejenige eindeutig bestimmte Zahl , für die der Inhalt der Fläche unterhalb des Funktionsgraphen der reellen Kehrwertfunktion im Intervall exakt gleich ist:Ernst Hairer, Gerhard Wanner: Analysis in historischer Entwicklung. 2011, S. 41.
Weitere Darstellungen für die Eulersche Zahl Die Eulersche Zahl lässt sich auch durch
oder durch den Grenzwert des Quotienten aus Fakultät und Subfakultät beschreiben:
Eine Verbindung zur Verteilung der Primzahlen wird über die Formeln
deutlich, wobei die Primzahlfunktion und das Symbol das Primorial der Zahl bedeutet.
Auch eher von exotischem Reiz als von praktischer Bedeutung ist die catalansche Darstellung
Kettenbruchentwicklungen Im Zusammenhang mit der Zahl gibt es spätestens seit dem Erscheinen von Leonhard Eulers Introductio in Analysin Infinitorum im Jahre 1748 eine große Anzahl Kettenbruchentwicklungen für und aus ableitbare Größen.
So hat Euler die folgende klassische Identität für gefunden: ()
Die Identität (1) weist offenbar ein regelmäßiges Muster auf, das sich bis ins Unendliche fortsetzt. Sie gibt einen regulären Kettenbruch wieder, der von Euler aus dem folgenden abgeleitet wurde: ()
Dieser Kettenbruch ist seinerseits ein Spezialfall des folgenden mit :