mini|class=notpageimage|Polynom von Grad 0, mini|class=notpageimage|Polynom von Grad 1, mini|class=notpageimage|Polynom von Grad 2, mini|class=notpageimage|Polynom von Grad 3, mini|class=notpageimage|Polynom von Grad 4, mini|Polynom von Grad 5,

Eine ganzrationale Funktion oder Polynomfunktion ist in der Mathematik eine Funktion, die als Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten beschrieben werden kann. Somit können solche Funktionen ausschließlich mittels der Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation beschrieben werden. Ganzrationale Funktionen gehören zu den rationalen Funktionen und enthalten ihrerseits als Spezialfälle die linearen und quadratischen Funktionen.

Dieser Artikel beschäftigt sich hauptsächlich mit den in der Schulmathematik üblichen ganzrationalen Funktionen über den reellen Zahlen. Weiterführende Informationen zu möglichen Verallgemeinerungen des Konzepts finden sich im Artikel Polynom.

Definition Eine ganzrationale Funktion ist eine reelle Funktion, die sich in der Gestalt

schreiben lässt, wobei eine natürliche Zahl und reelle Zahlen sind und gilt. Die Zahl heißt Grad der Funktion, die Zahlen sind ihre Koeffizienten. Der Koeffizient wird als Leitkoeffizient bezeichnet. Der Summand heißt Absolutglied, die Summanden und werden manchmal als lineares beziehungsweise quadratisches Glied bezeichnet.

Außerdem ist auch die reelle Funktion eine ganzrationale Funktion; sie wird auch das Nullpolynom genannt. Auf diese Weise sind alle endlichen Summen von Summanden der Gestalt mit beliebigen reellen Zahlen ganzrationale Funktionen. Da bei der konstanten Nullfunktion keines der ungleich Null ist, ist für diese ganzrationale Funktion kein Grad definiert.

Die hier angegebene Darstellung der ganzrationalen Funktion ist ihre Normalform. Beispielsweise kann man eine ganzrationale Funktion auch mittels Linearfaktoren oder mittels des Horner-Schemas darstellen.

Beispiele Die Funktion mit der Funktionsgleichung ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 3 mit den Koeffizienten und . Bei der Funktion muss der Funktionsterm zunächst durch Auflösen der Klammern in eine Summe umgeschrieben werden:

der Grad ist also 4 und die Koeffizienten sind und . Bei einer ganzrationalen Funktion vom Grad mit den Koeffizienten kann der Funktionsterm geschrieben werden als .

Spezialfälle Ohne einen definierten Grad gibt es das Nullpolynom , eine konstante Funktion. Für und ergeben sich weitere konstante Funktionen . Für ergeben sich lineare Funktionen (statt schreibt man für die Steigung hier also , und statt für den -Achsenabschnitt also ). Für ergeben sich quadratische Funktionen (statt und schreibt man hier also , und ). Für ergeben sich kubische Funktionen . Für spricht man manchmal von quartischen Funktionen. Ist nur und alle anderen Koeffizienten sind gleich , so ergibt sich eine Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten.

Algebraische Eigenschaften Die Addition und die Multiplikation zweier ganzrationaler Funktionen ergeben wieder ganzrationale Funktionen. Somit bildet die Menge der ganzrationalen Funktionen eine Algebra über . Für den Grad ganzrationaler Funktionen und gelten die Abschätzung beziehungsweise Gleichheit

und . Dabei bezeichnet den Grad von .

Außerdem ist auch die Verkettung zweier ganzrationaler Funktionen wieder eine ganzrationale Funktion, das heißt, man erhält wieder eine ganzrationale Funktion, wenn man für die Funktionsvariable eine ganzrationale Funktion einsetzt.

Symmetrie Sind alle Exponenten gerade Zahlen, so ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur -Achse. Die Funktion heißt dann auch gerade; es gilt . Sind alle Exponenten ungerade Zahlen, so ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Die Funktion heißt dann auch ungerade; es gilt . Treten sowohl gerade als auch ungerade Exponenten auf, so hat der Graph keine einfache Symmetrie; er kann aber dennoch symmetrisch zu anderen Achsen oder Punkten sein.

Beispiele: Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur -Achse (nur gerade Exponenten: 6, 4 und 2). Der Graph der Funktion ist symmetrisch zum Ursprung (nur ungerade Exponenten: 7 und 1). Der Graph der Funktion hat keine einfache Symmetrie (ungerade und gerade Exponenten: 3 und 0), ist aber punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt . Der Graph jeder ganzrationalen Funktion zweiten Grades ist achsensymmetrisch zur senkrechten Achse durch seinen Scheitelpunkt. Der Graph jeder ganzrationalen Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt.

Grenzverhalten Allgemein wird das Verhalten für durch den Summanden mit dem höchsten Exponenten, das Verhalten für durch die Summanden mit den niedrigsten Exponenten bestimmt.

Wachstum

Ganzrationale Funktionen können als Linearkombinationen von Potenzen aufgefasst werden. Daher wachsen sie (für hinreichend große Werte) langsamer als jede exponentielle Funktion, deren Basis größer als 1 ist, unabhängig von den Koeffizienten.

Verhalten für sehr große und sehr kleine x-Werte Alle nicht-konstanten ganzrationalen Funktionen divergieren für . Das genaue Verhalten hängt davon ab, ob der Grad n gerade oder ungerade ist, und welches Vorzeichen der Leitkoeffizient hat; der Graph verhält sich dabei genauso wie der Graph einer Potenzfunktion mit dem Term . Angegeben ist im Folgenden außerdem die daraus folgende Wertemenge für den Fall, dass die Definitionsmenge ist. n gerade n ungerade Der Graph verläuft von links oben nach rechts oben, also: für ist nach unten beschränkt (durch das absolute Minimum der Funktion). Der Graph verläuft von links unten nach rechts oben, also: für und für . Der Graph verläuft von links unten nach rechts unten, also: für ist nach oben beschränkt (durch das absolute Maximum der Funktion). Der Graph verläuft von links oben nach rechts unten, also: für und für .

Verhalten für x-Werte nahe null Alle ganzrationalen Funktionen sind für endlich. Genauer gilt: Der Graph schneidet die -Achse bei , die Steigung an dieser Stelle ist durch gegeben. Die Tangente im Schnittpunkt mit der -Achse hat also immer die Gleichung .

Beispiel Der Graph der Funktion verläuft für wie der Graph der Funktion , also von links oben nach rechts unten (Grad ungerade, Leitkoeffizient ). Für die Funktionswerte gilt also: für und für . Für verläuft er dagegen wie der Graph von , er schneidet die -Achse also bei und hat dort die Steigung .

Nullstellen Als Nullstellen einer ganzrationalen Funktion werden jene Werte bezeichnet, für die der Funktionswert null ist, das heißt, die die Gleichung erfüllen. Eine ganzrationale Funktion hat stets höchstens so viele Nullstellen, wie ihr Grad angibt. Die konstante Funktion , das Nullpolynom, hat unendlich viele Nullstellen. Die ganzrationalen Funktionen vom Grad 0, nämlich die konstanten Funktionen für ein , haben dagegen keine Nullstellen, so wie es ihrem Grad entspricht.

Linearfaktorzerlegung

Ist der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion als Produkt von linearen Faktoren (von denen manche auch mehrfach auftreten können) und evtl. einer ganzrationalen Funktion g ohne Nullstellen gegeben, also

so sind die Nullstellen. Die natürlichen Zahlen heißen die Vielfachheiten der Nullstellen.

Beispiel: Die Funktion

hat die dreifache Nullstelle , die einfache Nullstelle und die doppelte/zweifache Nullstelle ; die Faktoren und können dagegen für kein zu null werden, liefern also keine weiteren Nullstellen.

Die Linearfaktorzerlegung einer ganzrationalen Funktion kann man beispielsweise mit Hilfe der Polynomdivision bestimmen. Aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgt, dass sich so jede ganzrationale Funktion über den komplexen Zahlen in ein Produkt aus Linearfaktoren zerlegen lässt. Hat die Funktion nur reelle Koeffizienten, so folgt, dass mit jeder komplexen Nullstelle auch die jeweils konjugiert komplexe Zahl eine Nullstelle ist. Damit ergibt sich: jede ganzrationale Funktion über den reellen Zahlen kann (bis auf die Reihenfolge) eindeutig als ein Produkt aus linearen und quadratischen Termen dargestellt werden.

Die Vielfachheit von Nullstellen hängt auch direkt mit den Ableitungen der Funktion zusammen: ist genau dann eine -fache Nullstelle von , wenn gilt und .

Verlauf des Graphen bei den Nullstellen Bei jeder Nullstelle ungerader Vielfachheit schneidet der Graph die -Achse. Die Funktionswerte wechseln dort also ihr Vorzeichen. Bei einfachen Nullstellen wird die -Achse in einem Winkel größer als 0° geschnitten. Bei jeder Nullstelle ungerader Vielfachheit größer gleich drei ist die Steigung an der Nullstelle 0; der Funktionsgraph hat einen Terrassenpunkt.

Bei jeder Nullstelle gerader Vielfachheit berührt der Graph die -Achse. Die Funktionswerte wechseln dort also ihr Vorzeichen nicht. Bei jeder solchen Nullstelle hat der Funktionsgraph einen Extrempunkt.

Graphische Veranschaulichung: einfache Nullstelle drei-, fünf-, 2k+1-fache Nullstelle doppelte, vier-, 2k-fache Nullstelle 150px| 150px| 150px|

Berücksichtigt man außerdem noch das Verhalten für , so ergibt sich für das obige Beispiel folgender Graph: zentriert|400px|Beispielgraph

Anzahl von Nullstellen Mit Hilfe der Polynomdivision kann man zeigen, dass eine ganzrationale Funktion vom Grad höchstens Nullstellen haben kann (Vielfachheiten mitgezählt).

Betrachtet man zusätzlich auch noch das Verhalten des Graphen für , das Verhalten an den Nullstellen (Vorzeichenwechsel) und die Stetigkeit, so folgt außerdem: Ist der Grad gerade bzw. ungerade, so ist die Anzahl der Nullstellen (Vielfachheiten mitgezählt) gerade bzw. ungerade. Insbesondere folgt: Jede ganzrationale Funktion von ungeradem Grad hat mindestens eine Nullstelle.

Außerdem gibt es noch andere, weiterführende Regeln für die Anzahl der Nullstellen wie beispielsweise die Vorzeichenregel von Descartes und die sturmsche Kette.

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass eine ganzrationale Funktion vom Grad mindestens eine komplexe Nullstelle hat (reiner Existenzsatz). Dann hat sie genau Nullstellen, wenn die Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt werden. So ist beispielsweise die Nullstelle der Funktion eine doppelte. Im Ergebnis lässt sich jede ganzrationale Funktion positiven Grades in ein Produkt von Linearfaktoren zerlegen.

Nullstellenschranken Die Lage aller Nullstellen einer ganzrationalen Funktion vom Grad lässt sich durch Nullstellenschranken, in deren Berechnung nur die Koeffizienten und der Grad des Polynoms eingehen, abschätzen.

Reelle Nullstellenschranken Ein wichtiger Spezialfall sind reelle Nullstellenschranken. Eine Zahl heißt reelle Nullstellenschranke einer ganzrationalen Funktion , wenn alle reellen Nullstellen von im Intervall liegen; sie heißt obere reelle Nullstellenschranke von , wenn alle reellen Nullstellen von kleiner oder gleich sind. Analog sind untere Nullstellenschranken erklärt.

Es folgen Beispiele reeller Nullstellenschranken für ganzrationale Funktionen , deren führender Koeffizient eins ist. Jede ganzrationale Funktion kann durch eine Division auf diese Form gebracht werden. Für einige reelle Nullstellenschranken spielt die Teilindexmenge der echt negativen Koeffizienten von eine besondere Rolle, bezeichnet deren Anzahl. ist eine obere reelle Nullstellenschranke (Cauchy-Regel), ist eine obere reelle Nullstellenschranke (Newton-Regel), ist eine obere reelle Nullstellenschranke (Regel von Lagrange und Maclaurin), dabei bezeichnet den Betrag des betragsgrößten negativen Koeffizienten und den Exponenten des höchsten Gliedes mit negativem Koeffizienten. Jedes , das die Ungleichung

erfüllt, ist eine reelle Nullstellenschranke (solche sind sogar Schranken für die Beträge komplexer Nullstellen komplexer Polynome). Spezialfälle hiervon sind (siehe auch Satz von Gerschgorin) und .

Komplexe Nullstellenschranken