mini|✔ Der uns vertraute Würfel mit 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen erfüllt mit den Eulerschen Polyedersatz
Der Eulersche Polyedersatz (auch: die Eulersche Polyederformel), benannt nach Leonhard Euler, beschreibt eine fundamentale Eigenschaft von beschränkten, zur Sphäre homöomorphen PolyedernWenn das Polyeder elastisch wäre und man in sein Inneres eine große Kugel bringen könnte, könnte man es auf dieser Kugel aufspannen. bzw. allgemeiner: von zusammenhängenden planaren Graphen.
Hinter der Formel steckt das topologische Konzept der Euler-Poincaré-Charakteristik . Die Eulersche Polyederformel ist der Spezialfall für (drei Dimensionen) unter stillschweigender Vernachlässigung von (wir betrachten immer einen Körper) und ergibt dann ein : ( nach Eulerschem Polyedersatz) ( nach Euler-Poincaré-Charakteristik)
mit Anzahl der Ecken, Anzahl der Kanten, Anzahl der Flächen und Anzahl der Zellen.
Sie gilt (da so definiert) allgemein für Polyeder der Charakteristik (bzw. ), zu denen ausnahmslos alle konvexen und viele „gutmütige“ konkave Polyeder gehören, siehe dazu Abschnitt Gültigkeit.Darauf wies zuerst Louis Poinsot 1810 hin.
Allgemein miniatur|hochkant=1.1|Die Begriffe Ecke, Kante und Fläche am Beispiel eines Würfels Der Satz besagt: Sind die Anzahl der Ecken, die Anzahl der Kanten und die Anzahl der Flächen eines beschränkten konvexen Polyeders, dann gilt:
Oder in Worten: Anzahl der Ecken minus Anzahl der Kanten plus Anzahl der Flächen gleich zwei.
Er wurde 1750 von Euler aufgeschrieben und 1758 in Latein als „Elementa doctrine solidorum“ veröffentlicht. Im Euler-Archiv ist die Publikation unter dem Eneström-Index E 230, der unvollständige Beweis unter E 231 zu finden.
In Bezugnahme auf das topologische Problem (es sind keine Polyeder notwendig) und der Darstellung als planarer Graph kann der Satz auch als Ist die Kugeloberfläche durch ein zusammenhängendes Kurvennetz derart zerlegt, dass durch kreuzungsfreies(!) Verbinden von Eckpunkten Kurvenstücke und Flächenstücke entstehen, dann gilt:
geschrieben werden.
In der folgenden Tabelle wird die Gültigkeit für einige Polyeder, darunter die fünf platonischen Körper, mit den zugehörigen Werten für , und gezeigt.
Polyeder E K F E − K + F Dreieckskuppel 9 15 8 2 Trigondodekaeder 8 18 12 2 Pseudo-Rhombenkuboktaeder 24 48 26 2 Großes Rhombenikosidodekaeder 120 180 62 2 Tetraeder 4 6 4 2 Würfel 8 12 6 2 Oktaeder 6 12 8 2 Dodekaeder 20 30 12 2 Ikosaeder 12 30 20 2
Gültigkeit Der Eulersche Polyedersatz gilt für alle konvexen Polyeder. Die Konvexität ist eine zu starke Bedingung: Das Hineindrücken einer Ecke des Ikosaeders ändert weder Ecken-, Kanten- noch die Flächenzahl, die Konvexität spielt daher keine Rolle. Selbst das Durchstoßen einer Ecke durch eine andere Fläche ändert nichts daran, solange man die nur in der Geometrie entstehenden Schnittpunkte und Schnittlinien ignoriert. Es ist auch kein Polyeder erforderlich, da gekrümmte Flächen und gekrümmte Kanten keinen Einfluss haben, solange die Vernetzung sich nicht ändert. In der Topologie gibt es im Gegensatz zur Geometrie den Begriff der Konvexität nicht. Die Lage spielt keine Rolle, nur deren Verbindungen. Sie schließt aber zuverlässig alle Fälle aus, die zu einer Verletzung des Eulerschen Polyedersatzes führen. mini|upright=0.5|Trotz "Loch" ist der Satz erfüllt. Zu Abweichungen führt: Fehlende Kreuzungsfreiheit bzw. fehlende eindeutige Orientierung von Flächen. Das Gesamt-Polyeder darf räumlich nicht aus zwei oder mehr separaten Einzel-Polyedern bestehen, die sich nur in einer Ecke oder an einer Kante berühren. Sonst erhöht sich um . In der allgemeineren Form als Euler-Poincaré-Charakteristik stellt dies kein Problem dar, da sich gleichzeitig auch die Anzahl der Zellen um erhöht, somit gilt dann wieder . Das Netzwerk aus Ecken und Kanten muss topologisch zusammenhängend sein, d. h., es muss ein gemeinsamer Graph entstehen. Weitere Graphen erhöhen um oder anders betrachtet: gilt jeweils für jeden Graphen getrennt. Das Polyeder darf keine „Löcher“ bzw. „Henkel“ enthalten, muss also das topologische Geschlecht haben. Jedes Loch reduziert um (wenn das Polyeder aus orientierbaren Flächen besteht), sonst um . Gleichen sich diese Fehler exakt aus, kann wiederum der Eulersche Polyedersatz erfüllt werden, wie z. B. bei einem Würfel mit einem Quader als eingestanztem Loch (16 Ecken, 24 Kanten, 10 Flächen).
mini|Graph des Oktaeders Unterschied zwischen Oktaeder und Tetrahemihexaeder Beide haben die gleiche Eckenzahl und Kantenzahl. Allerdings stellt das Flächenmodell des Tetrahemihexaeders keinen kreuzungsfreien planaren Graphen mehr dar.
Wir sehen jeweils die 6 Ecken und die 12 Kanten beider Körper. Die Flächen des Oktaeders sind die 4 rötlichen und die 4 bläulichen Flächen (davon ist eine die Außenfläche). Die Flächen des Tetrahemihexaeder sind die 4 rötlichen Flächen (entsprechen den roten Flächen im rotierenden Modell) sowie 3 weitere zusammengesetzte Flächen (entsprechen den gelben Flächen im rotierenden Modell), die keinen einfachen Gebieten des Graphen mehr entsprechen. Dazu nehme man sich jeweils eine der 6 Ecken und folge den vier Kanten dieser Ecke zu den mit dieser Ecke direkt verbundenen Ecken. Dies sind die jeweils 4 Eckpunkte der 3 Quadrate mit jeweils den beiden möglichen Orientierungen (die Flächen haben keine Innen- und keine Außenseite mehr), die die 3 weiteren Flächen bilden.
Geschichte Euler erwähnte den Satz zuerst in einem Brief an Christian Goldbach 1750 und veröffentlichte 1758 einen Beweis,Euler: Elementa doctrine solidorum. In: Novi comm. acad. scientiarum imperialis petropolitanae. 4, 1758, S. 72–93 (Eneström-Index E 230). Euler: Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita. In: Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. 4, 1758, S. 94–108 (sein Beweis, E 231). Nachdruck in Opera Omnia. Band 26. Die beiden Arbeiten stammen schon von 1750 bzw. 1751. allerdings enthielt dieser nach den heutigen Maßstäben für die Strenge mathematischer Beweise einen Fehler, worauf Henri Lebesgue 1924 hinwies. Später wurde bekannt, dass der Satz schon René Descartes bekannt war (unveröffentlicht),E. de Jonquières: Note sur une pointe fundamental de la théorie des polyèdres. In: Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, 110, 1890, S. 110–115. Aus Descartes’ nachgelassenen Schriften, überliefert nur aus einer Kopie von Gottfried Wilhelm Leibniz, 1860 in der Landesbibliothek Hannover entdeckt. Richeson: The polyhedral formula. Siehe Literatur. weshalb er in der französischen Literatur auch als „Satz von Descartes und Euler“ bezeichnet wird. Der Beweis von Euler benutzt die Zerlegung eines Polyeders in Tetraeder, wobei eine Ecke nach der anderen beseitigt wird.Dargestellt in David Richeson: Eulers gem. Princeton University Press 2008, Kapitel 7, S. 67 ff. Der erste strenge Beweis wurde von Adrien-Marie Legendre 1794 veröffentlicht, in seinem Buch Élements de Géométrie. Legendres Beweis benutzt die Flächenformel eines geodätischen Dreiecks auf der Kugeloberfläche. Einen korrekten Beweis fand auch Augustin Louis Cauchy 1811, veröffentlicht 1813.Cauchy: Recherches sur les polyèdres. In: J. Ecole Polytechnique. 9, 1813, S. 68–98. Bis heute sind viele verschiedene Beweise bekannt.
Eine Verallgemeinerung auf -dimensionale Polyeder fanden Ludwig Schläfli und Henri Poincaré (1895). Poincaré erkannte auch die volle topologische Bedeutung des Satzes.
Über die wechselvolle Geschichte dieses Satzes und seiner zahlreichen Beweisversuche hat Imre Lakatos die berühmt gewordene Abhandlung Beweise und Widerlegungen geschrieben, die in literarischer Form die Probleme der mathematischen Begriffsbildung vor allem im 19. Jahrhundert verdeutlicht und gleichzeitig einen sehr originellen Beitrag zur Philosophie der Mathematik liefert.
Beweise Klassischer Beweis Dieser Beweis zeigt mit struktureller Induktion die Gültigkeit des Satzes für planare Graphen.
Der einfachste planare Graph besteht aus nur einer Ecke. Es gibt eine Fläche (die Außenfläche) und keine Kanten. Es gilt also . Aus diesem einfachsten Graphen können alle weiteren ausschließlich durch die beiden folgenden Operationen konstruiert werden, welche die Gültigkeit des Satzes nicht verändern:
Hinzufügen einer Ecke, die über eine neue Kante mit dem Rest des Graphen verbunden ist. Die Anzahl der Ecken und Kanten steigt jeweils um , während die Anzahl der Flächen gleich bleibt. Galt für den alten Graphen , so gilt es auch für den neuen, da in der Klammer der Gleichung und jeweils um erhöht werden. Hinzufügen einer Kante, die zwei bereits bestehende Ecken verbindet. Während die Anzahl der Ecken gleich bleibt, steigt die Anzahl der Kanten und Flächen jeweils um . Wieder bleibt die Summe gleich, da in der Klammer der Gleichung und jeweils um erhöht werden.
Da der Satz für den ersten, einfachsten Graphen galt, muss er auch für jeden Graphen gelten, der durch eine der beiden Operationen aus diesem entsteht. Jeder Graph, der durch eine weitere Operation aus einem solchen Graphen entsteht, muss den Satz ebenfalls erfüllen usw. Daher gilt der Satz für alle planaren Graphen und damit auch für alle konvexen Polyeder.
Der Beweis stammt von Augustin-Louis Cauchy. Er war der Erste, der das Problem auf ein solches der Graphentheorie reduzierte.David Richeson: Eulers gem. Princeton University Press, 2008, Kapitel 12.
Beweis nach von Staudt Karl von Staudt gab 1847 einen einfachen, nichtrekursiven Beweis in seiner Geometrie der Lage.Zum Beispiel: Aigner, Ziegler: Proofs from the Book. Springer Verlag, 2010, Kapitel 12 Three applications of Euler’s Formula. David Richeson: The polyhedral formula. In: Bradley, Sandifer: Euler. Elsevier, 2007, S. 434. Er wird auch in H. S. M. Coxeter: Regular Polytopes dargestellt. Hier in der Graphentheorie-Version von Aigner, Ziegler.
Dazu betrachte man den Graphen der planaren Projektion des Polyeders, das Knoten, Kanten und Flächen hat. Der Graph ist für die betrachteten Polyeder zusammenhängendHistorisch leitete Staudt damit ein Kriterium für die Polyeder ab, für die der Satz zutrifft. und hat damit einen Spannbaum . Da genau Knoten enthält und ein zusammenhängender Baum ist (ohne Zykel), hat er Kanten. Man betrachte nun den zu dualen Graphen , gebildet aus den Mittelpunkten der Flächen von , und verbinde diese so mit Kanten, dass diese die Kanten in nicht schneiden. Dieser Kantenzug ist zusammenhängend, da keine Kreise enthält. Er ist ebenfalls ein Baum, sonst würde er einen Kreis (Zykel) enthalten, der die Knoten von in zwei Teile teilt und somit eine Kante von schneidet, entgegen der Konstruktionsvoraussetzung. hat damit Knoten und Kanten. Die Kanten in setzen sich aus den Kanten von zusammen oder werden von einer Kante von gekreuzt, somit gilt .
Ein ungewöhnlicher Beweis mini|hochkant=1.85|Polyeder (oben) und zugehöriger planarer Graph (unten) – eingebettet in ein Gitternetz Dieser Beweis zeigt die Gültigkeit des Satzes für planare Graphen mit Hilfe des Satzes von Pick. Umgekehrt lässt sich auch der Satz von Pick aus dem Eulerschen Polyedersatz herleiten, sodass beide äquivalent sind.D. DeTemple, J. M. Robertson: The equivalence of Euler’s and Pick’s theorems. In: American Mathematical Monthly. Band 98, 1991, S. 97–108.
Um den Satz von Pick anwenden zu können, muss der Graph in ein Gitternetz eingebettet werden, sodass die Knotenpunkte des Graphen auf Gitterpunkten liegen. Der Graph bleibt äquivalent, wenn man jeden Knotenpunkt innerhalb einer geeignet kleinen Umgebung bewegt. Der Radius des kleinsten Kreises um einen Knotenpunkt, der vollständig in die Umgebung eingebettet ist, sei . Es wird ein beliebiges Gitternetz mit Einheit auf der Ebene betrachtet. Dann können wir jeden Knotenpunkt auf einen Gitterpunkt verschieben und erhalten sicher einen äquivalenten Graphen. Der planare Graph besitzt jetzt insgesamt Knotenpunkte, Kanten und innere Flächen.