Die Wurzelortskurve (WOK) ist eine grafische Darstellung der Lage der Polstellen und Nullstellen der komplexen Führungs-Übertragungsfunktion F0(s) eines Regelkreises in Abhängigkeit von einem Parameter und wird im Bereich der Regelungstechnik zu Stabilitätsuntersuchungen eingesetzt. Das Wurzelortskurvenverfahren kann sowohl in der komplexen s-Ebene, für kontinuierliche Systeme, als auch in der komplexen z-Ebene für zeitdiskrete Systeme angewendet werden. Das Verfahren wurde 1948 vom US-amerikanischen Regelungstechniker Walter Richard Evans entwickelt.
Allgemeines mini|System Aol (Regelstrecke) mit Rückkopplung über ein P-Glied mit dem Faktor β Die Stabilität eines Systems wird durch die Position seiner Polstellen in der komplexen Ebene bestimmt. Beispielsweise und anhand der nebenstehenden Abbildung dargestellt, bewirken bei dem zeitkontinuierlichen System Aol Polstellen in der Übertragungsfunktion in der rechten s-Halbebene, d. h. mit positiven Realteil, eine Instabilität. Durch die Möglichkeit einer Rückkopplung lässt sich die Position dieser Polstellen in der komplexen Ebene bei dem rückgekoppelten System verschieben, die Wurzelortskurve stellt dabei grafisch eine Möglichkeit dar, diese Polstellenverschiebung zu veranschaulichen.
In der rechten Abbildung ist die Rückkopplung im einfachsten Fall mit einem konstanten Faktor β dargestellt. Die Systemfunktion ist beispielhaft und der Einfachheit wegen als ein System 1. Ordnung gegeben:
Für ist dieses System instabil, da die Polstelle rechts der imaginären Achse liegt. Die Übertragungsfunktion des rückgekoppelten Systems zwischen Eingang und Ausgang ist:
und besitzt eine Polstelle bei . In der Wurzelortskurve wird die Verschiebung der Polstelle als Funktion des Verstärkungsfaktors β grafisch dargestellt. In diesem Fall wird das rückgekoppelte System für Verstärkungswerte stabil. Umgekehrt lässt sich ein stabiles System Aol mit obiger Systemfunktion und den Parametern mit einer positiven Rückkopplung in ein instabiles rückgekoppeltes System überführen.
Die Wurzelortskurve verdeutlicht die Verschiebung der Polstellen in Abhängigkeit von den Parametern der Rückkopplungen bzw. des Reglers und ermöglicht dadurch Rückschlüsse auf das Stabilitätsverhalten und die Dynamik des Regelkreises. Bei Systemen höherer Ordnung nimmt die Verschiebung der Polstellen in der komplexen Ebene kompliziertere Formen an und erfordert im nachfolgenden dargestellte Konstruktionsvorgaben zur Bestimmung.
Definition Sei im Folgenden G0 die Übertragungsfunktion des offenen (nicht rückgekoppelten) Systems. Zur Wurzelortskurve gehören alle Punkte der komplexen Ebene, welche die charakteristische Gleichung:
erfüllen. Gilt , so handelt es sich um die eigentliche Wurzelortskurve, ansonsten um die komplementäre (oder uneigentliche) Wurzelortskurve. Eine Lösung der Gleichung für festes k heißt Wurzelort.
Eigenschaften Die Wurzelortskurve ist symmetrisch zur reellen Achse. Sie beginnt für in den Polen des offenen, korrigierten Kreises (L(s)=H(s)*G(s)) und endet für in seinen Nullstellen . Lösungen für gehören der eigentlichen (positiven) WOK an, die Kurven für gehören zur komplementären (negativen) WOK.
Exakte Konstruktion mini|hochkant=2|Beispiel einer Wurzelortskurve mit vier Polen und vier Nullstellen Für die exakte Konstruktion der Wurzelortskurve wird die Übertragungsfunktion der offenen Kette wie folgt zerlegt:
Darin bezeichnen die Systemordnung und die Anzahl der Nullstellen des Systems. Zur Wurzelortskurve gehören alle komplexen Punkte, welche die Amplitudenbedingung und die Phasenbedingung erfüllen:
Amplitudenbedingung: ,
Phasenbedingung: ,
wobei und für jede Nullstelle bzw. jeden Pol die mathematisch positiv gezählten Winkel zwischen einem von Nullstelle bzw. Pol gedachten waagerechten nach rechts zeigenden Strahl und dem zu überprüfenden Punkt bezeichnen.
Die Amplitudenbedingung kann auch verwendet werden, um für einen gegebenen Punkt der Wurzelortskurve die zugehörige Verstärkung zu bestimmen.
Regeln zum Skizzieren Die Amplituden- und Phasenbedingung kann zur numerischen Konstruktion der Wurzelortskurve durch einen Rechner genutzt werden. Ihre Verwendung zur manuellen Skizzierung ist unhandlich, daher wurden folgende Konstruktionsregeln abgeleitet.
Ursprung/Ende: Jeder Ast der Wurzelortskurve beginnt in einem Pol der offenen Kette und endet in einer Nullstelle der offenen Kette, oder im Unendlichen. Asymptoten: Für große Verstärkungen nähern sich die Äste Geraden asymptotisch an. Die Anzahl der Asymptoten ist . Die Asymptoten haben für Neigungswinkel und schneiden sich im gemeinsamen Schnittpunkt (Wurzelschwerpunkt) . Reelle Achse: Zur eigentlichen Wurzelortskurve gehören genau die Punkte der reellen Achse, für die die Anzahl der von dort aus gesehen rechts gelegenen reellen kritischen Stellen (Nullstellen und Pole) ungerade ist. Alle übrigen Punkte auf der reellen Achse gehören zur komplementären WOK (). Jeder Punkt auf der reellen Achse ist also Teil einer WOK: entweder Teil der eigentlichen WOK () oder Teil der komplementären WOK (). Verzweigungs- und Vereinigungspunkte: Verzweigungs- und Vereinigungspunkte sind genau solche Punkte, die sowohl die Phasenbedingung als auch die Gleichung erfüllen.
Anwendung Die Wurzelortskurve ermöglicht die Analyse der Stabilität, wenn der geschlossene Regelkreis gegeben ist, ohne die Führungs-Übertragungsfunktion explizit auszurechnen. Wenn alle Pole und Nullstellen in (offene linke Halbebene) liegen, ist der geschlossene Regelkreis stabil. Befinden sich ein oder mehrere Pole in (offene rechte Halbebene), ist das System instabil. Befinden sich ein oder mehrere Pole auf der imaginären Achse und alle restlichen Pole in der linken Halbebene, so spricht man von einem bedingt stabilen oder grenzstabilen System. Befinden sich alle Pole auf der imaginären Achse (Realteil gleich 0), so handelt es sich um ein ungedämpftes System. Existiert ein komplex-konjungiertes Polpaar so ist das System schwingungsfähig. Befindet sich dieses in der linken Halbebene, so ist das System gedämpft schwingungsfähig (abklingende Schwingung). Befindet sich das komplex konjugierte Polpaar in der rechten Halbebene, so führt das System eine aufklingende (angefachte) Schwingung aus, und ist damit instabil.
Die Wurzelortskurve ist für lineare und zeitinvariante Systeme wie beispielsweise PID-Regler geeignet. Als freier Parameter wird meist die Verstärkung genommen, was für einen Reglerentwurf durch das Wurzelortskurvenverfahren ausgenutzt wird.
Amplitudenrand, linksseitiger Abstand, Dämpfungsgrad, Wurzelwinkel
Für den Systementwurf ist die absolute Aussage über die Stabilität eine Grundvoraussetzung, jedoch oft nicht hinreichend. Es wird grundsätzlich auch eine Aussage über die Güte der Stabilität gefordert. Konkret sind Maßzahlen zu ermitteln, die aussagen, ob das System sich wunschgemäß verhält – beispielsweise seine Entfernung von der Stabilitätsgrenze oder sein Beruhigungsverhalten.
Die Stabilitätsgrenze der Wurzelorte ist die imaginäre Achse. Überschreitet die dominante Wurzel die imaginäre Achse, so kann jedem ihrer Orte ein Abstand zu diesem Grenzübergang zugeordnet werden. Dieser Abstand ist primär im Wertebereich des Parameters zu suchen.
Ein relatives Abstandsmaß ist der Amplitudenrand . Er bezieht den Wert des Parameters auf seinen Wert für Grenzstabilität und besagt, mit welchem Faktor der Parameter vergrößert oder verkleinert werden muss, damit Grenzstabilität eintritt.
Für tritt der Parameter als absolutes Abstandsmaß auf.
Überschreitet die Wurzelortskurve die imaginäre Achse nicht, kann kein Amplitudenrand bestimmt werden.
Für solche Systeme kann aber möglicherweise der linksseitige Abstand der dominanten Wurzel zur imaginären Achse als Gütemaß betrachtet werden. Allerdings fehlt hier ein klar definierter Bezugspunkt. Man kann beispielsweise den linksseitigen Abstand der dominanten Wurzel ins Verhältnis setzen mit ihrem Abstand für ; man erhält so etwas wie einen Stabilisierungsfaktor .
Ist der Parameter die Schleifenverstärkung eines einschleifigen Systems, so ist das Verhältnis zwischen den Abklinkonstanten der geschlossenen Schleife und der offenen Schleife.
Für komplexe dominante Wurzeln wird auch oft ihr Dämpfungsgrad als Stabilitätsmaß genannt, entsprechend dem Winkel , welchen die dominanten Wurzel einschließen. Hierbei nimmt man Bezug auf das Verhalten des PT2-Systems mit der charakteristischen Gleichung
Gemäß den Lösungen dieser Gleichung ergeben sich für Dämpfungsgrad und Winkel konjugiert komplexer Wurzeln:
sowie
.
Der über den Winkel definierte Dämpfungsgrad des dominanten Wurzelpaares gibt Auskunft über die Qualität der Sprungantwort; er bestimmt maßgeblich die Stärke des Überschwingens und damit das Beruhigungsverhalten. Beim System 2. Ordnung ist der Dämpfungsgrad proportional dem linksseitigen Abstand der komplexen Wurzeln von der imaginären Achse, wodurch auch ein direktes Stabilitätsmaß für dieses System darstellt. Als Bezugspunkte wurden festgelegt:
der Grenzstabile Fall mit (hier ist = 90°), der Aperiodische Grenzfall mit (hier ist = 0°),
wobei der Aperiodische Grenzfall auch gleichzeitig den größtmöglichen Abstand der Wurzeln zur imaginären Achse vertritt. Für Systeme höherer Ordnung können (müssen aber nicht) die Verhältnisse anders liegen. Ein kleinerer Winkel bedeutet hier nicht automatisch ein höheres Stabilitätsmaß. Öffnungsrichtung und Lage der komplexen Figur können gänzlich verschieden sein vom System 2. Ordnung.
Für die Charakterisierung der Stabilität eines unbekannten Systems kann deshalb das Dämpfungsmaß allein ungeeignet sein. Aus diesem Grund wird als Stabilitätsmaß meist nur der Abstand zur imaginären Achse herangezogen und der maximale Öffnungswinkel der Wurzelortskurve als weiteres Kriterium gefordert.
Für Systeme, von denen man bereits weiß, dass sie hinreichend stabil sind, genügt die Betrachtung des Öffnungswinkels.
Systeme mit Totzeit Für Systeme mit Totzeit wird häufig die Ansicht vertreten, das Verfahren der Wurzelorte sei auf diese Systeme nicht anwendbar. Jedoch haben auch solche Systeme Pole, deren Ortskurve exakt berechnet werden kann. Die Verfügbarkeit mathematischer Software mit symbolischer Behandlung macht dies möglich. Als Grundlage für diese Berechnungen kann die Potentialtheorie herangezogen werden.S. Bernhard: Numerische Berechnung von Wurzelortskurven für totzeitbehaftete Parallel- und Rückführstrukturen. 1998.
Bemerkungen Als Goldstandard für die Stabilitätsanalyse gilt nach wie vor das Nyquistverfahren - und das nicht ohne Grund.
Einerseits steht mit dem vereinfachten Nyquistkriterium (Linke-Hand-Regel) ein genormtes Verfahren zur Verfügung, welches auch ohne hellseherische Fähigkeiten ein sicheres Stabilitätsmaß liefert, nämlich primär den euklidischen Abstand des komplexen Frequenzgangs der geöffneten Schleife vom Nyquistpunkt. Andererseits spart man sich oft, die dafür nötigen Vorbedingungen zu testen, weil dies sehr aufwändig sein kann.
Die Linke-Hand-Regel darf jedoch nur dann angewandt werden, wenn die geöffnete Schleife stabil ist! Die geöffnete Schleife ist nicht stabil, wenn die Regelstrecke oder der Regler nicht stabil sind. Als Beispiele seien genannt:
das instabile Pendel der schwebende Magnet der Quadrocopter
Ein Stabilitätsmaß muss für solche Systeme mit einem anderen Verfahren gefunden (besser gesagt: erraten) werden. Eine algebraisch fundierte Theorie hierfür existiert allerdings nicht.
Für regelungstechnische Funktionsblöcke ist bekannt, ob sie eigenstabil sind. Anders sieht es etwa beim Entwurf komplexer integrierter Schaltungen aus, beispielsweise von Operationsverstärkern. Dies können umfangreiche aktive Systeme sein, deren Schleifenstruktur nicht ersichtlich ist, so dass vor der Anwendung der Linken-Hand-Regel immer ein umfangreicher Test erfolgen muss. Gräfe hat hierfür das Knotenpotentialverfahren entwickelt.