mini|Beispiel einer Multiplikation: Die Multiplikation (, von multiplicare ‚vervielfachen‘, auch Malnehmen genannt) ist eine der vier Grundrechenarten in der Arithmetik. Ihre Umkehroperation ist die Division (das Teilen). Das Rechenzeichen für die Multiplikation ist das Malzeichen „·“ bzw. „ד (sowie „*“).
Obwohl die Multiplikation eine Grundrechenart ist, lässt sie sich durch Addition nachbilden, für die sie eine Verkürzung darstellt.
Namensgebung Die Multiplikation natürlicher Zahlen und entsteht durch das wiederholte Addieren (Zusammenzählen) des gleichen Summanden: . und nennt man Faktoren, wobei als Multiplikator und als Multiplikand bezeichnet wird. Die Rechnung, gesprochen „ mal “, heißt Multiplikation, das Ergebnis heißt Produkt. Zum Beispiel schreibt man für und spricht diesen Term als „drei mal vier“ oder „dreimal vier“. Anstelle von wird manchmal auch oder geschrieben.
In ihrer Beziehung zum Produkt gelten beide, und , als Teiler (von ), und ist durch beide, wie , teilbar.
Bei der Multiplikation mit Variablen wird der Punkt oft weggelassen, z. B. . Hierbei ist zu beachten, dass durch die Juxtaposition der Rang der Rechenoperation verändert werden kann, die korrekte Auflösung ist daher , ohne andere Rechenoperationen vereinfacht sich dies wegen des Assoziativgesetzes zu . Vereinfacht gesagt ist ein „Weglassen“ des Malzeichens nur dann erlaubt, wenn das Einfügen von Klammern um Multiplikator und Multiplikand keine Veränderung an der Rechnung verursacht (siehe Rechengesetze unten). Dies ist insbesondere zu beachten, wenn Teilungen (Divisionen) mit in der Gleichung vorkommen, z. B. , da diese nicht assoziativ sind. Zur richtigen Schreibweise siehe Malzeichen.
Für die Multiplikation mehrerer Zahlen kann man das Produktzeichen (abgeleitet vom großen griechischen Pi) verwenden:
sind ganze Zahlen, wird Laufvariable genannt. Im Fall hat man das leere Produkt, welches als definiert ist.
Beispiel 1:
Beispiel 2:
Die unter anderem in der Kombinatorik häufig verwendete Fakultät ist eine besondere Multiplikation natürlicher Zahlen:
Wiederholtes Multiplizieren mit dem gleichen Faktor führt zum Potenzieren, z. B. ist
mini|Dem Produkt a · b entspricht der Fläche eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b Die anschauliche Verallgemeinerung der Multiplikation und ihrer Rechenregeln auf die rationalen und reellen Zahlen erreicht man durch Betrachten eines Rechtecks mit den Seitenlängen und (in einer vorgegebenen Längeneinheit). Der Flächeninhalt dieses Rechtecks (in der entsprechenden Flächeneinheit) ist definiert als das Produkt .
Die Multiplikation rationaler Zahlen lässt sich auch formal mit Hilfe von Brüchen definieren. Ebenso kann man die Multiplikation während des Konstruktionsvorganges der reellen aus den rationalen Zahlen definieren.
Die Umkehroperation zur Multiplikation ist die Division, die auch als Multiplikation mit dem Kehrwert aufgefasst werden kann.
Rechengesetze In einem Körper (also insbesondere , oder ) gelten für alle
Assoziativgesetz Kommutativgesetz Distributivgesetz neutrales Element inverses Element absorbierendes Element
Kommutativität In Anbetracht der so unterschiedlichen Rollen von als Multiplikator (Vervielfacher) einerseits und als Multiplikand (Vervielfachtem) andererseits ist es nicht völlig selbstverständlich, dass die Multiplikation kommutativ ist, d. h. bei Rollentausch dasselbe herauskommt. Durch vollständige Induktion und unter Zuhilfenahme des linken und des rechten Distributivgesetzes sowie der Eigenschaft, dass Links- und Rechtsmultiplikation mit 0 das Resultat 0 ergeben (die selbst wieder durch vollständige Induktion bewiesen werden können), lässt sich die Kommutativität der Multiplikation natürlicher Zahlen beweisen: , und aus der Annahme von folgt .
Gaußsche Summenfaktor-Regel Bei der Multiplikation einer Anzahl beliebiger Faktoren wird dann das größtmögliche Produkt erreicht, wenn bei gleichbleibender Summe der Faktoren die Gesamtdifferenz zwischen den Faktoren möglichst gering ist. Die Gesamtdifferenz errechnet sich, indem man alle Differenzen zwischen den Faktoren addiert.
Beispiel Produkt dreier Faktoren. Die Summe der Faktoren ist jeweils 30. Mit steigender Gesamtdifferenz zwischen den Faktoren wird das Produkt (in der Regel) kleiner.
Gesamtdifferenz 10 · 10 · 10 = 1000 0 ( 0 + 0 + 0 ) 9 · 10 · 11 = 990 4 ( 1 + 2 + 1 ) 8 · 11 · 11 = 968 6 ( 3 + 3 + 0 ) 8 · 10 · 12 = 960 8 ( 2 + 4 + 2 ) 7 · 11 · 12 = 924 10 ( 4 + 5 + 1 ) 7 · 10 · 13 = 910 12 ( 3 + 6 + 3 ) … 0 · 1 · 29 = 0 58 ( 1 + 29 + 28) 0 · 0 · 30 = 0 60 ( 0 + 30 + 30)
Die Gaußsche Summenfaktor-Regel ist äquivalent mit der Aussage, dass der Inhalt einer geometrischen Figur maximal ist, wenn dessen Seiten gleiche Länge haben. So ist das Quadrat bei gleichem Umfang das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt.
Weitere Gesetze der Multiplikation Bei der Berechnung eines komplexen Terms gilt die Regel Klammer vor Punkt vor Strich. Ein Produkt hat den Wert , wenn wenigstens ein Faktor ist, z. B. ist. Multipliziert man eine Zahl mit , so bleibt ihr Wert unverändert . Das gilt sinngemäß auch für die Division. Multipliziert man eine Zahl mit sich selbst, erhält man ihre Quadratzahl, z. B. . Multipliziert man eine Zahl zweimal mit sich selbst, erhält man ihre Kubikzahl, z. B. . Manche ganze Zahlen sind zugleich Quadrat- und Kubikzahlen, z. B. . Das Produkt zweier Zahlen mit demselben Vorzeichen ist positiv. Haben sie unterschiedliche Vorzeichen, so ist das Produkt negativ. Das gilt sinngemäß auch für die Division. Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade. Bei zwei gerade Zahlen oder eine geraden und eine ungeraden Zahl ist das Produkt gerade. Bei der Multiplikation zweier Brüche werden der Zähler des ersten Bruches mit dem des zweiten Bruches und der Nenner des ersten Bruches mit dem des zweiten Bruches multipliziert. Der Nenner eines Bruches, auch wenn er Variablen enthält, darf nicht ergeben. Das Ergebnis ist gegebenenfalls zu kürzen. In Ungleichungen dreht sich das Ungleichheitszeichen um, wenn mit einer negativen Zahl multipliziert (oder durch sie dividiert) wird, z. B.
Algorithmen Schriftliche Multiplikation
Die schriftliche Multiplikation ist ein Verfahren, um zwei natürliche Zahlen miteinander zu multiplizieren. Die Grundidee ist:
Die Basis des gewählten Stellenwertsystems bestimmt die Ziffern der Zerlegungen der beiden Faktoren. Jede Ziffer des einen Faktors wird mit jeder Ziffer des anderen Faktors malgenommen. Dabei entstehende Überträge werden stellengerecht aufbewahrt. All diese Teilergebnisse werden zusammen mit eventuellen Überträgen stellengerecht addiert.
Die Gesamtsumme ergibt das Produkt der beiden Faktoren.
Formaler: Gegeben seien die zu multiplizierenden Zahlen und im Stellenwertsystem zur Basis . Dann lässt sich die Multiplikation unter Zuhilfenahme des Einmaleins wie folgt auf die Addition zurückführen:
Das Einmaleins wird dabei benötigt, um die Produkte zu berechnen.
Diese Methode eignet sich auch zum Multiplizieren rationaler Zahlen mit endlich vielen Nachkommastellen. In diesem Fall treten bei der Darstellung von und im entsprechenden Stellenwertsystem negative Exponenten auf, z. B.: .
Multiplikation mit den Fingern Nicht nur das Addieren, sondern auch das Multiplizieren lässt sich in begrenztem Umfang mit den Fingern bewerkstelligen. Hierzu müssen beide Faktoren in ein und derselben Dekadenhälfte liegen, also entweder beide auf Ziffern von 1 bis 5 oder auf Ziffern von 6 bis 0 enden.
Im ersten Fall nummeriert man die Finger beginnend beim kleinen Finger mit 10 · (d-1) + 1 bis 10 · (d-1) + 5 für den Daumen durch, wobei d für die Dekade der entsprechenden Zahl steht (also beispielsweise 11 bis 15 für die zweite Dekade). Danach hält man die zwei Finger, deren Produkt man ausrechnen will, aneinander. Das entsprechende Produkt erhält man, indem man die unteren Finger zählt (die beiden aneinandergehaltenen Finger zählen dazu) und mit d · 10 multipliziert, dazu das Produkt der unteren Finger der linken Hand mit den unteren Fingern der rechten Hand (jeweils mit den zusammengehaltenen Fingern) und schließlich eine additive Konstante (d-1)² · 100 addiert.
Im zweiten Fall nummeriert man die Finger von 10 · (d-1) + 6 bis 10 · d durch (also beispielsweise 16 bis 20). Danach hält man analog zum ersten Fall die beiden Finger der gewünschten Faktoren aneinander, zählt die unteren Finger, aber multipliziert diese jetzt mit d · 10 und zählt zu diesem das Produkt der oberen Finger (wieder ohne die zusammengehaltenen Finger) hinzu und die additive Konstante ergibt sich als (d-1) · d · 100.
mini|Multiplikation von 7 und 8 mittels Fingern
Um beispielsweise 7 mal 8 zu rechnen, zählt man die unteren Finger – hier sind es 5 – und multipliziert sie mit 10 (d = 1). Man erhält 50. Nun multipliziert man die oberen Finger der einen Hand – hier 3 – mit der der anderen – hier 2 – und kommt auf 3 · 2 = 6. Jetzt die beiden Zwischenergebnisse addieren, also 50 + 6 = 56, und man erhält das Endergebnis. Die additive Konstante (d-1) · d · 100 ist hier 0 · 1 · 100 = 0.
mini|Multiplikation von 24 und 22 mittels Fingern
Beim Multiplizieren von 24 und 22 zählt man die unteren Finger auf 6, multipliziert dies mit 20 ((d-1) · 10 = 2 · 10) zu 120, addiert dazu das Produkt der unteren Finger 4 · 2 = 8 und die additive Konstante (d-1)² · 100 = 400 und erhält dadurch 528.
Besonders geeignet ist dieses Verfahren für das schnelle Errechnen von Quadratzahlen ohne Taschenrechner. Für Faktoren verschiedener Dekaden und Dekadenhälften kann man dieses Verfahren immer noch anwenden, indem man die Faktoren in Summen aufspaltet.
Hintergrund für dieses Verfahren ist die Tatsache, dass man solche Produkte schreiben kann als:
und Produkte der zweiten Dekadenhälfte errechnen kann, indem man die Komplemente der letzten Ziffer bzgl. 10 bildet. Die letzte Ziffer ist dann das Produkt der Komplemente, die Zehner das Komplement der Summe der Komplemente.
Vedische Multiplikation Diese Rechenart kommt aus Indien und ist ein Teil der sogenannten vedischen Mathematik. Bei diesem Rechensystem werden zuerst die Zahlen analysiert und danach ein passendes Verfahren zu deren Berechnung ausgewählt. So existiert z. B. ein Verfahren, welches sich immer dann zu einer „Blitz“-Multiplikation auch großer Faktoren eignet, wenn diese knapp unter oder über derselben Zehnerpotenz liegen.
Dem Rechenweg liegt folgende Beziehung zugrunde: und seien zwei Zahlen dicht bei einer Zehnerpotenz und bzw. die Differenzen hierzu. Dann ist
Falls nun ist, kann man die beiden Ziffernfolgen von und einfach nebeneinander schreiben, um so zur Lösung der Multiplikation zu gelangen. (Achtung: Führende Nullen des zweiten Terms müssen mitgeschrieben werden.)
Beispiele
95 ∙ 97 = 9215 992 ∙ 988 = 980096 12 ∙ 13 = 156 98 ∙ 102 = 9996
Fakt. Diff. Fakt. Diff. Fakt. Diff. Fakt. Diff. a, b zu 100 a, b zu 1000 a, b zu 10 a, b zu 100 ––––––––––––––– –––––––––––––––– –––––––––––––– ––––––––––––––- 95 -5 992 -8 12 +2 98 -2 \ ∙ \ ∙ \ ∙ \ ∙ 97 -3 988 -12 13 +3 102 +2 ––––––––––––––– –––––––––––––––– –––––––––––––– ––––––––––––––- 92 15 980 096 15 6 99 96
(95-3) (-5∙-3) (992-12) (-8∙-12) (12+3) (3∙2) (98+2-1) (100+(-2)∙2) (97-5) (5∙3) (988- 8) (8∙12) (13+2) (3∙2) (102-2-1) (100-2∙2)
Im letzten Fall liegt eine Zahl über und eine unter 100. Da in diesem Fall das Produkt ist, muss von der linken Zahl noch ein Übertrag besorgt werden, also links , rechts .
Natürlich ergibt eine Vertauschung der Faktoren dasselbe Ergebnis, da ist, siehe dazu die letzte Zeile des Beispiels. Da gleiche Vorzeichen beim Multiplizieren von zwei Zahlen immer zu + werden, kann man sie für diese Fälle auch weglassen, wie in der letzten Zeile angegeben.