mini|Spielbrett nach der Darstellung bei Claude de Boissière (1556) Das Zahlenkampfspiel ( oder griechisch-lateinisch rithmomachia, arithmomachia oder Rithmomachie, später auch Philosophenspiel) war ein mittelalterliches Brettspiel, basierend auf den Harmonietheorien des Boëthius (welche sich an der Einführung in die Arithmetik des Nikomachos von Gerasa orientierten) und durchaus in Konkurrenz zum Schach stehend.

Anfänglich im frühen 11. Jahrhundert als Wettstreit zwischen zwei mathematisch geschulten Meistern gedacht, erlangte es schnell Verbreitung in ganz Europa, besonders in Frankreich, England und im Heiligen Römischen Reich. Besonders beliebt war der Gebrauch zu didaktischen Zwecken in den europäischen Domschulen, um Arithmetik, Proportionenlehre und Musiktheorie spielerisch zu erlernen.Enno Bünz: Erfand der spätere Bischof Adalbero von Würzburg das Zahlenkampfspiel? Überlegungen zur Würzburger Domschule in der ersten Hälfte des 11. Jahrhunderts, in: Deutsches Archiv zur Erforschung des Mittelalters, Nr. 49, 1993, S. 189–199, hier: S. 189f. Seine Popularität hielt bis weit ins 16. Jahrhundert an, noch Thomas Morus und Gottfried Wilhelm Leibniz kannten es. In nachfolgender Zeit wurde es fast vollständig vergessen und erst von Historikern im 19. und 20. Jahrhundert wiederentdeckt (als besonders verdienstvoll ist dabei Arno Borst zu nennen).

Erfindung und Verbreitung Den Ausgangspunkt bei der Erfindung des Zahlenkampfspiels bildet der sogenannte Wormser Schulstreit, der in den 1030er Jahren stattfand. Hierbei handelte es sich um eine Auseinandersetzung zwischen den Domschulen zu Worms und Würzburg, vor allem da Worms den Vorrang der Würzburger Schule nicht länger hinnehmen wollte. In der Forschung wird davon ausgegangen, dass vermutlich ein Vetter des Kaisers Konrad II., der beiden Bischofsstädten nahestand, einen Wettstreit der Gelehrsamkeit vermittelte (wobei beide Schulen auch um den Zulauf aus der adligen Elite für ihre Schule rangen). mini|300px | Das Zahlenkampfspiel in der Lütticher Fassung um 1070 In diesen Kontext fällt die Erfindung des Zahlenkampfspiels durch einen Würzburger Geistlichen namens Asilo, der eine Anleitung zur „rithmimachia“ (Quinque genera inequalitatis) verfassteAsilo von Würzburg. In: Verfasserlexikon. Band I, S. 508 f. und welcher mit dem 1045 zum Bischof von Würzburg ernannten Adalbero identisch sein könnte. Dies vermutet zumindest Arno Borst, da Adalbero in den 1020er Jahren die Domschule in Würzburg besucht hatte, zumal er im benachbarten Bamberg besten Zugang zu den Schriften des Boëthius besaß (besonders De institutione arithmetica), welche entscheidend für das Zahlenkampfspiel waren.Arno Borst: Das mittelalterliche Zahlenkampfspiel. (Supplemente zu den Sitzungsberichten der Heidelberger Akademie der Wissenschaften, Philosophisch-historische Klasse 5). Winter, Heidelberg 1986, S. 55, 58 f. und 60; Bünz: Überlegungen, S. 191–193. Demgegenüber vermutet Enno Bünz aufgrund philologisch-namenkundlicher Überlegungen und gründlicher Kenntnis des Würzburger Domkapitelsvgl. u. a. Enno Bünz: Stift Haug in Würzburg. Untersuchungen zur Geschichte eines fränkischen Kollegiatstiftes im Mittelalter (Veröffentlichungen des Max-Planck-Instituts für Geschichte 128 = Studien zur Germania Sacra 20), Göttingen 1998. (2 Teilbände) hinter dem Verfasser des Rundschreibens Asilo entweder den Domdekan Aselo oder den Dompropst Acelin, welche nicht nur langjährige Mitglieder des Domkapitels waren, sondern bereits vorher die Würzburger Domschule besucht hatten (wobei Bünz eher zum Domdekan Aselo/Asilo als Erfinder tendiert, auch wenn dies freilich aufgrund der Überlieferungslage nie endgültig zu klären sein wird). Dadurch würden die beiden Domkanoniker weit eher in den Kontext einer möglichen Urheberschaft des Zahlenkampfspiels rücken als etwa der spätere Bischof Adalbero (dessen Mitgliedschaft im Würzburger Domkapitel nach Bünz ohnehin fraglich ist), und dies würde so für das in der Forschung erarbeitete Gesamtbild der Bedeutung und Qualität der Würzburger Domschule im 11. Jahrhundert sprechen.Bünz: Überlegungen, S. 193–197 und S. 199.

Zwar dürfte der Wormser Schulstreit nicht bei einer Partie Zahlenkampf entschieden worden sein, doch das Rundschreiben Asilos, welches das Spiel beinhaltete Ausgezeichnete Editionen sowohl von Asilos Rundschreiben, sowie allen weiteren Überarbeitungen und Kompilationen finden sich bei Borst: Zahlenkampfspiel, S. 330 u. passim., fand schnell rasche Verbreitung, zunächst bei anderen Gelehrten, wie etwa Hermann der Lahme, der das Spiel vor allem theoretisch prüfte (besonders rückgreifend auf die Musik- und Harmonietheorien des Boëthius). Damit gewann das Spiel besonders in der gelehrten Welt großes Ansehen. Es verbreitete sich rasch in Europa, besonders im Reich, Frankreich und England.

Um 1070 gelangte es an die Domschule zu Lüttich und erfuhr dort eine entscheidende Neubearbeitung. Zum einen nannte der anonyme Überarbeiter das Spiel zum ersten Mal treffend Zahlenkampf (numerorum conflictus), zum anderen gab er dem Spielbrett eine feste Form (8 × 16 Felder), was Asilo in der ursprünglichen Variante nicht getan hatte (dieser sprach lediglich von einem Brett mit Feldern).Borst: Zahlenkampfspiel, I. Das Rundschreiben Asilos von Würzburg, S. 330f.: „Sit tabula in longitudine et latidudine, ut cernitis, distincta campis, supra quam ex alterutra parte in ultimis campis disponantur usque ad decuplam proportionem omnes praedictorum trium generum species.“ Weiter ordnete er die Steine so an, wie es später üblich wurde, vor allem um den Spielfluss zu verbessern, ebenso trennte er die Spielhälften durch eine Trennlinie. Zudem fügte der Lütticher Anonymus eine Reihe von Zahlentabellen an, mit denen das Spiel gewonnen werden konnte. Damit war das Zahlenkampfspiel endgültig zu einem didaktischen Mittel geworden, vor allem für Domschulmeister, um den Zöglingen Arithmetik und Proportionslehre beizubringen, während es bei Asilo noch als gelehrter Wettstreit zwischen zwei Meistern gedacht war.Nicht zu vernachlässigen ist dabei auch die Rolle, welche die Arithmetik in der Baukunst spielte, vgl. dazu Bünz: Überlegungen, S. 198. In dieser gestrafften Form verbreitete sich das Zahlenkampfspiel sehr rasch, seine vollständige Abrundung erfuhr es nach 1090 durch Odo von Tournai, der alle vorherigen Überarbeitungen kompilierte und das Spiel in eine einheitliche Form brachte. 1572 veröffentlichte Francesco Barozzi in Venedig eine Fassung, die von August II., Herzog von Braunschweig, ins Deutsche übersetzt wurde. Es blieb bis ins 16. Jahrhundert hinein beinahe unverändert und erfreute sich bei Laien wie bei Geistlichen großer Beliebtheit (immer in Konkurrenz zu dem freilich weit populäreren Schach).Arno Borst: Was uns das Mittelalter zu sagen hätte. Über Wissenschaft und Spiel, in: Historische Zeitschrift 224 (1987), S. 537–555, wiederabgedruckt und erweitert in: Arno Borst: Die Welt des Mittelalters. Barbaren, Ketzer und Artisten. Nikol, Hamburg 2007, S. 448–468, bes. S. 460f.; Borst: Zahlenkampfspiel, S. 81–97, 101–111 u. 118–130; Bünz: Überlegungen, S. 189.

Zahlentheorie des Boëthius als Grundlage des Zahlenkampfspiels mini|Moderner Nachbau eines Spielbrettes Ohne die zugrundeliegenden mathematischen Theorien des Mittelalters, die sich besonders auf Boëthius bezogen, kann man nicht verstehen, warum und wie die jeweiligen Zahlen beim Zahlenkampfspiel so und nicht anders auf dem Spielbrett verteilt sind. Wichtiger Ausgangspunkt dabei ist die mittelalterliche Vorstellung von Proportionen, welche immer auf Grundlage der basierten, da alle anderen Zahlen immer nur Vielfache von darstellen (dies kann heutzutage stark verwirren, da wir nicht mehr in Proportionen denken).

Ausgangspunkt beim Zahlenkampfspiel bildeten nun die Zahlen bis , also die Fingerzahlen, wobei die weggelassen wurde, denn diese galt nach Boëthius als gesonderter Wert und als Richtzahl für alle anderen, ebenso die , diese galt als Anfang der sogenannten Gelenkzahlen und gehörte damit für Boëthius nicht in die gleiche Reihe mit den Zahlen von 1 bis 9. Übrig blieben also die natürlichen Zahlen von bis , die jeweils nach gerade und ungerade aufgeteilt wurden, sodass jeder Spieler vier Grundzahlen hatte ( bzw. ). Demnach hatte ein Spieler die geraden Grundwerte (die Seite Gerade) und sein Gegner die ungeraden (die Seite Ungerade); dennoch treten auf der Seite der Geraden auch ungerade Zahlen und umgekehrt auf. Aufbauend auf diesen Grundwerten mussten nun nach Boëthius deren Erweiterungen errechnet werden, die sich anders als heutzutage nicht auf Quantitäten an sich, sondern auf Proportionen stützten (etwa Verhältnisse von usw.). Asilo hatte aber nur die erste Proportion, die ersten multiplices (), in seinem Rundschreiben erwähnt. Wer spielen wollte, musste aber die Schriften des Boëthius und die darauf basierende Schrift eines Würzburger Domschülers (De aggregatione naturalium numerorum) kennen,De aggregatione naturalium numerorum, hrsg. v. Maximilian Curtze: Die Handschrift No. 14 836 der Königlichen Hof- und Staatsbibliothek zu München. In: Zeitschrift für Mathematik und Physik. Nr. 40, 1895, Supplement S. 75–142. Siehe auch Borst: Zahlenkampfspiel, S. 77f. denn ausgehend von den multiplices (Vielfachen) kamen die superparticulares (Überteiligen) und die superpartientes (Mehrfachteiligen) hinzu.

Proportionen nach Boëthius Vielfach (multiplex) gestaltete sich nach Boëthius ein Verhältnis zwischen zwei Zahlen, wenn die größere Zahl die kleinere Zahl mehr als einmal in sich enthielt. Die einfachste Form ist der zweite multiplex einer Grundzahl , also .Borst: Zahlenkampfspiel, Das Rundschreiben Asilos von Würzburg, S. 331: „Hinc octo albi minores ex pari denominatas multiplices ostendant proportiones, duplam ut IIII ad II, quadruplam ut XVI ad IIII, sescuplam ut XXXVI ad VI, octuplam ut LXIIII ad VIII. His opponantur eiusdem generis octo nigri minores ex impari denominatas habentes proportiones, triplam ut VIIII ad III, quincuplam ut XXV ad V, septuplam ut XLVIIII ad VII, nonuplam ut LXXXI ad VIIII.“

Überteilig (superparticularis) bezeichnete das Verhältnis zwischen zwei Zahlen, wenn die größere Zahl nicht nur die kleinere Zahl einmal enthielt, sondern auch noch einen einzigen Teil von ihr (also einen einfachen Bruch wie usw.). Zum Beispiel ist dies für die die , denn die enthält die einmal ganz und zudem die Hälfte von (). Allgemein sind die beiden ersten superparticulares und .

Mehrfachteilig (superpartiens) war bei Boëthius das Verhältnis, wenn die größere Zahl nicht nur die kleinere Zahl ganz enthielt, sondern auch mehrere Teile der kleineren Zahl (also einen mehrfachen Bruch wie usw.). Nimmt man also die (als superparticularis von ), dann ist deren erster superpartiens die (als Summe aus und von ). Zur mehrfachteilig verhält sich nun die (als Summe aus und von ). Allgemein sind die beiden ersten superpartientes und .

Bedeutung für das Spiel Aus diesen Regeln erhielt man damit (wenn man Boëthius kannte), eine Reihe von Zahlen:

und

Da das Spiel auf acht Grundwerten basierte ( bis ), erhielt man damit insgesamt 48 Werte, also jeweils 24 pro Spieler. Aufgrund der Rechnung mit Proportionen kam es also auch vor, dass einige Zahlen mehrfach auftauchten, jedoch in unterschiedlichen Qualitäten, z. B. mal als Grundwert, zugleich als superparticularis (etwa die oder ).Für die Berechnungen siehe ausführlich Borst: Zahlenkampfspiel, S. 62–65

Die Pyramiden