In der Mathematik bezeichnet man als Exponentialfunktion eine Funktion der Form mit einer reellen Zahl als Basis (Grundzahl). In der gebräuchlichsten Form sind dabei für den Exponenten die reellen Zahlen zugelassen. Im Gegensatz zu den Potenzfunktionen, bei denen die Basis die unabhängige Größe (Variable) und der Exponent fest vorgegeben ist, ist bei Exponentialfunktionen der Exponent (auch Hochzahl) des Potenzausdrucks die Variable und die Basis fest vorgegeben. Darauf bezieht sich auch die Namensgebung. Exponentialfunktionen haben in den Naturwissenschaften, z. B. bei der mathematischen Beschreibung von Wachstumsvorgängen, eine herausragende Bedeutung (siehe exponentielles Wachstum).
Als natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion bezeichnet man die Exponentialfunktion mit der eulerschen Zahl als Basis; gebräuchlich hierfür ist auch die Schreibweise . Diese Funktion hat gegenüber den anderen Exponentialfunktionen besondere Eigenschaften. Unter Verwendung des natürlichen Logarithmus lässt sich mit der Gleichung jede Exponentialfunktion auf eine solche zur Basis zurückführen. Deshalb befasst sich dieser Artikel im Wesentlichen mit der Exponentialfunktion zur Basis .
282px|mini|Graph der Exponentialfunktion (rot) mit der Tangente (hellblau gestrichelte Linie) durch den Punkt 0/1
Definitionen Die Exponentialfunktion zu der Basis kann auf den reellen Zahlen auf verschiedene Weisen definiert werden.
Eine Möglichkeit ist die Definition als Potenzreihe, die sogenannte Exponentialreihe , wobei die Fakultät von bezeichnet.
Eine weitere Möglichkeit ist die Definition als Grenzwert einer Folge mit :
Beide Arten sind auch zur Definition der komplexen Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen geeignet (siehe unten).
Grundlegende Eigenschaften
Die reelle Exponentialfunktion ist positiv, stetig und surjektiv. Dabei bezeichnet die Menge der positiven reellen Zahlen.
Da sie streng monoton wachsend ist, ist sie sogar bijektiv. Deshalb existiert ihre Umkehrfunktion, der natürliche Logarithmus . Daraus erklärt sich auch die Bezeichnung Antilogarithmus für die Exponentialfunktion.
Konvergenz der Reihe, Stetigkeit mini|Die Exponentialfunktion ist an der Stelle 0 stetig. Die punktweise Konvergenz der für die Definition der Exponentialfunktion verwendeten Reihe
lässt sich für alle reellen und komplexen mit dem Quotientenkriterium zeigen; daraus folgt sogar absolute Konvergenz. Der Konvergenzradius der Potenzreihe ist also unendlich. Da Potenzreihen an jedem inneren Punkt ihres Konvergenzbereiches analytisch sind,Christian Blatter, Analysis II. 1. Auflage, Springer Verlag 1974, ISBN 3-540-06914-3, Kap. 18, § 182, Potenzreihen ist die Exponentialfunktion also in jedem reellen und komplexen Punkt trivialerweise auch stetig.Konrad Knopp. Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 5. Auflage, Springer Verlag 1964, ISBN 3-540-03138-3. S 175, 98 Satz 2 für den reellen und S 418 für den komplexen Fall
Rechenregeln
Da die Exponentialfunktion die Funktionalgleichung erfüllt, kann man mit ihrer Hilfe das Potenzieren auf reelle und komplexe Exponenten verallgemeinern, indem man definiert:
für alle und alle reellen oder komplexen .
Generell gilt diese Umformung von auch für beliebige andere Werte als neue Basis:
Solche Funktionen heißen exponentielle Funktionen und „verwandeln“ Multiplikation in Addition. Genauer zeigen das die folgenden Potenzgesetze:
und
Diese Gesetze gelten für alle positiven reellen und und alle reellen und . Ausdrücke mit Brüchen und Wurzeln können oft mit Hilfe der Exponentialfunktion vereinfacht werden:
Siehe auch Rechenregeln für Logarithmus.
Ableitung
Die große Bedeutung der e-Funktion, eben die Exponentialfunktion mit Basis , beruht auf der Tatsache, dass ihre Ableitung wieder die Funktion selbst ergibt:
Wenn man zusätzlich
fordert, ist die e-Funktion sogar die einzige Funktion , die dies leistet. Somit kann man die e-Funktion auch als Lösung der Differentialgleichung f'(x) = f(x) mit der Anfangsbedingung f(0) = 1 definieren.
Allgemeiner folgt für reelles aus
und der Kettenregel die Ableitung beliebiger Exponentialfunktionen:
In dieser Formel kann der natürliche Logarithmus nicht durch einen Logarithmus zu einer anderen Basis ersetzt werden; die Zahl e kommt also in der Differentialrechnung auf „natürliche“ Weise ins Spiel.
Stammfunktion Aus den Ergebnissen über die Ableitung ergibt sich die Stammfunktion der e-Funktion:
.
Für beliebige Exponentialfunktionen mit und gilt:
.
Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen mini|Farbcodierte Darstellung der komplexen Exponentialfunktion. Dunkle Farben bedeuten betragsmäßig kleine Funktionswerte, helle/ausgeblichene Farben bedeuten große Funktionswerte. Die Grundfarbe stellt das Argument des Funktionswerts dar. Dies ist der Winkel, den der Funktionswert relativ zur reellen Achse hat (Blickpunkt im Koordinatenursprung). Positiv reelle Werte erscheinen rot, negativ reelle Werte türkis. Die sich wiederholenden Farbbänder lassen deutlich erkennen, dass die Funktion in imaginärer Richtung periodisch ist. mini|Realanteil der komplexen Exponentialfunktion mini|Imaginäranteil der komplexen Exponentialfunktion Mit Hilfe der Reihendarstellung
lässt sich die Exponentialfunktion für komplexe Zahlen definieren. Die Reihe konvergiert für alle absolut.
Die Exponentialfunktion behält für alle komplexen Zahlen , folgende wichtige Eigenschaften:
Die Exponentialfunktion ist somit ein surjektiver, aber nicht injektiver Gruppenhomomorphismus von der abelschen Gruppe auf die abelsche Gruppe , also von der additiven auf die multiplikative Gruppe des Körpers .
In hat die Exponentialfunktion eine wesentliche Singularität, ansonsten ist sie holomorph, d. h., sie ist eine ganze Funktion. Die komplexe Exponentialfunktion ist periodisch mit der komplexen Periode , es gilt also
Beschränkt man ihren Definitionsbereich auf einen Streifen
mit , dann besitzt sie eine wohldefinierte Umkehrfunktion, den komplexen Logarithmus.
Die Exponentialfunktion kann zur Definition der trigonometrischen Funktionen für komplexe Zahlen verwendet werden:
Dies ist äquivalent zur eulerschen Formel .
Daraus abgeleitet ergibt sich speziell die Gleichung
der in Physik und Technik wichtigen komplexen Exponentialschwingung mit der Kreisfrequenz und der Frequenz .
Ebenso kann die Exponentialfunktion zur Definition der hyperbolischen Funktionen verwendet werden:
Man kann auch im Komplexen eine allgemeine Potenz definieren: mit . Die Werte der Potenzfunktion sind dabei abhängig von der Wahl des Einblättrigkeitsbereichs des Logarithmus, siehe auch Riemannsche Fläche. Dessen Mehrdeutigkeit wird ja durch die Periodizität seiner Umkehrfunktion, eben der Exponentialfunktion, verursacht. Deren grundlegende Gleichung
entspringt der Periodizität der Exponentialfunktion mit reellem Argument . Deren Periodenlänge ist genau der Kreisumfang des Einheitskreises, den die Sinus- und Kosinusfunktionen wegen der Eulerschen Formel beschreiben. Die Exponential-, die Sinus- und die Kosinusfunktion sind nämlich nur Teile derselben (auf komplexe Zahlen verallgemeinerten) Exponentialfunktion, was im Reellen nicht offensichtlich ist.
Exponentialfunktion auf beliebigen Banachalgebren
Die Exponentialfunktion lässt sich auf Banachalgebren, zum Beispiel Matrix-Algebren mit einer Operatornorm, verallgemeinern. Sie ist dort ebenfalls über die Reihe
definiert, die für alle beschränkten Argumente aus der jeweils betrachteten Banachalgebra absolut konvergiert.
Die wesentliche Eigenschaft der reellen (und komplexen) Exponentialfunktion
ist in dieser Allgemeinheit allerdings nur noch gültig für Werte und , die kommutieren, also für Werte mit (dies ist in den reellen oder komplexen Zahlen natürlich immer erfüllt, da die Multiplikation dort kommutativ ist). Einige Rechenregeln dieser Art für die Exponentiale von linearen Operatoren auf einem Banachraum liefern die Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln.
Eine wichtige Anwendung dieser verallgemeinerten Exponentialfunktion findet sich beim Lösen von linearen Differentialgleichungssystemen der Form mit konstanten Koeffizienten. In diesem Fall ist die Banachalgebra die Menge der -Matrizen mit komplexen Einträgen. Mittels der jordanschen Normalform lässt sich eine Basis bzw. Ähnlichkeitstransformation finden, in welcher die Exponentialmatrix eine endliche Berechnungsvorschrift hat. Genauer gesagt, man findet eine reguläre Matrix , so dass , wobei eine Diagonalmatrix und eine nilpotente Matrix sind, welche miteinander kommutieren. Es gilt damit
Das Exponential einer Diagonalmatrix ist die Diagonalmatrix der Exponentiale, das Exponential der nilpotenten Matrix ist ein matrixwertiges Polynom mit einem Grad, der kleiner als die Dimension der Matrix ist.
Numerische Berechnungsmöglichkeiten
Als fundamentale Funktion der Analysis wurde viel über Möglichkeiten zur effizienten Berechnung der Exponentialfunktion bis zu einer gewünschten Genauigkeit nachgedacht. Dabei wird stets die Berechnung auf die Auswertung der Exponentialfunktion in einer kleinen Umgebung der Null reduziert und mit dem Anfang der Potenzreihe gearbeitet. In der Analyse ist die durch die Reduktion notwendige Arbeitsgenauigkeit gegen die Anzahl der notwendigen Multiplikationen von Hochpräzisionsdaten abzuwägen.
Der Rest der -ten Partialsumme hat eine einfache Abschätzung gegen die geometrische Reihe, welche auf bei für alle mit führt.
Die einfachste Reduktion benutzt die Identität , d. h. zu gegebenem wird bestimmt, wobei nach den Genauigkeitsbetrachtungen gewählt wird. Damit wird nun, in einer gewissen Arbeitsgenauigkeit, berechnet und -fach quadriert: . wird nun auf die gewünschte Genauigkeit reduziert und als zurückgegeben.
Effizientere Verfahren setzen voraus, dass , besser zusätzlich und (Arnold Schönhage) in beliebiger (nach Spezifikation auftretender) Arbeitsgenauigkeit verfügbar sind. Dann können die Identitäten oder benutzt werden, um auf ein aus dem Intervall oder einem wesentlich kleineren Intervall zu transformieren und damit das aufwändigere Quadrieren zu reduzieren oder ganz zu vermeiden.
Bei Implementierung in Hardware werden für deren Belange geeignete Verfahren genutzt, zum Beispiel: BKM-Algorithmus CORDIC
Hintergründe und Beweise Motivation Auf die Exponentialfunktion stößt man, wenn man versucht, das Potenzieren auf beliebige reelle Exponenten zu verallgemeinern. Man geht dabei von der Rechenregel aus und sucht daher eine Lösung der Funktionalgleichung mit . Nimmt man nun zunächst einmal an, dass eine Lösung tatsächlich existiert, und berechnet deren Ableitung, so stößt man auf den Ausdruck
Was bedeutet nun ? Nennt man diesen Grenzwert , so gilt für die durch
definierte Zahl (bzw. , muss dann also der Logarithmus zur Basis sein) nach der Kettenregel formal
erfüllt dann vermutlich
Wie kann man diese Zahl berechnen? Setzt man rein formal und löst die Gleichung , dann erhält man . Für die Zahl
ist also zu vermuten, dass
gilt.
Für erhält man mit auch rein formal die Darstellung
also die eine Definition der Exponentialfunktion.
Taylorreihe Alternativ kann man auch versuchen, die Funktion
in eine Taylorreihe zu entwickeln. Da per Induktion auch
gelten muss, also , erhält man für die Taylorreihe an der Stelle
also genau die andere Definition der Exponentialfunktion. Im Weiteren ist dann zu zeigen, dass die so definierte Exponentialfunktion tatsächlich die gewünschten Eigenschaften hat. Diese Taylorreihe lässt sich auch als Kettenbruch darstellen:
Konvergenz der Folgendarstellung Die für die Definition der Exponentialfunktion verwendete Folge
ist für reelle punktweise konvergent, da sie erstens ab einem gewissen Index monoton steigend und zweitens nach oben beschränkt ist.
Beweis der Monotonie Aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel folgt für
die Folge ist daher für fast alle monoton steigend.
Beweis der Beschränktheit