rahmenlos|rechts|hochkant=1.5 Der geometrische Schwerpunkt oder Schwerpunkt einer geometrischen Figur (zum Beispiel Kreisbogen, Dreieck, Kegel) ist ein besonders ausgezeichneter Punkt, den man auch bei unsymmetrischen Figuren als eine Art Mittelpunkt interpretiert. Mathematisch entspricht dies der Mittelung aller Punkte innerhalb der Figur. Im Speziellen wird der geometrische Schwerpunkt von Linien auch Linienschwerpunkt, von Flächen Flächenschwerpunkt und von Körpern Volumenschwerpunkt genannt. Den Schwerpunkt kann man in einfachen Fällen durch geometrische Überlegungen erhalten, oder allgemein mit Mitteln der Mathematik durch Integration berechnen. Zur Beschreibung der Körper werden die Methoden der analytischen Geometrie verwendet. Der Schwerpunkt ist ein Gravizentrum.
Der geometrische Schwerpunkt entspricht dem Massenmittelpunkt eines physikalischen Körpers, der aus homogenem Material besteht, also überall die gleiche Dichte hat. Er lässt sich deshalb auch rein mechanisch durch Balancieren bestimmen. Diese Methode kann an Modellen angewandt werden, wenn es um geografische Mittelpunkte von Kontinenten oder Ländern geht (zum Beispiel Mittelpunkt Europas oder Mittelpunkt Deutschlands).
Insbesondere für die geografische Mitte wird mitunter auch eine andere Definition verwendet, nämlich der Ort der Halbierenden der jeweiligen Erstreckung in der geografischen Länge und in der geografischen Breite.Denkmal zur Trennung Tirols vor 100 Jahren orf.at, 10. Oktober 2020, abgerufen am 10. Oktober 2020. – Markstein Mitte Tirols (…). „Wird um die Grenzen des Historischen Tirols ein Rechteck gelegt und in diesem zwei Diagonalen gezogen, so befindet sich der Mittelpunkt des historischen Tirols in Latzfons …“.
Bei konkav begrenzten Linien, Flächen (etwa einer sehr schlanken Mondsichel) oder Körpern (etwa dem Werkzeug Sichel) kann der Schwerpunkt, Mittelpunkt oder Mittenpunkt auch außerhalb des jeweiligen Objekts liegen.
Geometrischer Schwerpunkt endlich vieler Punkte im reellen Vektorraum Sind in einem -Vektorraum für eine natürliche Zahl paarweise verschiedene Punkte gegeben, so ist deren geometrischer Schwerpunkt definiert als .
In diesen Zusammenhang fällt der Begriff des Schwerpunkts eines -dimensionalen Simplexes . Hat ein solches Simplex die Eckpunkte , so ist sein Schwerpunkt nichts weiter als der geometrische Schwerpunkt seiner Eckpunkte, also: .
Der Schwerpunkt eines solchen Simplexes zeichnet sich also dadurch aus, dass seine baryzentrischen Koordinaten in Bezug auf das Simplex alle gleich, nämlich
sind.Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie. 1978, S. 31 ff.
Bilden diese endlich vielen verschiedenen Punkte die Menge aller Eckpunkte einer geometrischen Figur im euklidischen Raum, so bezeichnet man den geometrischen Schwerpunkt all dieser auch als Eckenschwerpunkt der Figur.Hermann Athen, Jörn Bruhn (Hrsg.): Lexikon der Schulmathematik und angrenzender Gebiete. Band 4: S bis Z. 1978, S. 944 Beispiele hierfür geben insbesondere die Strecke, das Dreieck und das Tetraeder. Für Vierecke gilt nach Pierre de Varignon (1654–1722), dass der Eckenschwerpunkt eines Vierecks zugleich der Mittelpunkt der beiden Mittellinien, also der beiden Verbindungsstrecken gegenüberliegender Seitenmittelpunkte ist.Coxeter, op. cit., S. 242DUDEN: Rechnen und Mathematik. 1985, S. 652
Schwerpunkte von elementargeometrischen Figuren Im Folgenden werden einige Schwerpunkte elementargeometrischer Linien, Flächen und Körper angegeben und teilweise durch geometrische Überlegungen begründet.
Für achsensymmetrische oder rotationssymmetrische Figuren vereinfacht sich die Angabe des Schwerpunkts dadurch, dass dieser stets auf der Symmetrieachse liegt. Bei Figuren mit mehreren Symmetrieachsen bzw. punktsymmetrischen Objekten, wie beispielsweise bei einem Quadrat oder einem Kreis, liegt der Schwerpunkt im Schnittpunkt der Symmetrieachsen (Mittelpunkt) der Figur.
Linien Strecke Der geometrische Schwerpunkt einer Strecke liegt in deren Mitte, ist also identisch mit deren Mittelpunkt.
Kreisbogen mini|Schwerpunkt eines Kreisbogens
Ist der Ausschnitt des Kreises so gedreht und verschoben, dass die y-Achse des kartesischen Koordinatensystems eine Symmetrieachse des Kreisbogens ist und der Mittelpunkt des Kreises im Koordinatenursprung liegt (siehe Bild), dann lässt sich der Schwerpunkt durch
berechnen.Alfred Böge, Technische Mechanik. Vieweg + Teubner 2009, S. 84 () Hierbei ist der Radius des Kreises, die Länge des Kreisbogens und die Sehnenlänge des Kreisbogens.
Für versagt die Formel. Mit kann der Schwerpunkt auch für sehr kleine Winkel berechnet werden.
Musste der Kreis zu anfangs verschoben oder gedreht werden, dann muss zur Vervollständigung der Rechnung der berechnete Schwerpunkt entsprechend wieder zurückverschoben oder gedreht werden.
Flacher Bogen mini
Um den Schwerpunkt eines flachen Bogens näherungsweise zu berechnen, muss dieser im kartesischen Koordinatensystem so verschoben werden, dass der Mittelpunkt der Verbindungslinie der beiden Endpunkte im Koordinatenursprung liegt. Dann befindet sich der Schwerpunkt für in guter Näherung etwas unterhalb von .
Bei (Halbkreis) liegt der Schwerpunkt exakt bei . Die prozentuale Abweichung steigt in etwa proportional mit h und beträgt bei ungefähr 4,7 %. Daraus folgt der Ausdruck , der den Schwerpunkt im Bereich von mit einer Genauigkeit von besser als 5 Promille angibt. Die exakte Lage des Linienschwerpunktes im gesamten Bereich von findet man mittels Einsetzen von in die Formel für den auf den Kreismittelpunkt bezogenen Schwerpunkt (siehe Oberabschnitt Kreisbogen): .
Interessanterweise zeigt ein Maximum etwas größer als bei . War zu Beginn eine Verschiebung oder Drehung notwendig, so muss der Schwerpunkt wieder entsprechend zurückverschoben werden.
Ebene Flächen Bei ebenen Flächen lässt sich der Schwerpunkt allgemein dadurch ermitteln, dass man die ausgeschnittene Fläche an einem Punkt aufhängt und die Lotgerade, eine so genannte Schwerelinie einzeichnet. Der Schnittpunkt zweier Schwerelinien ist der Schwerpunkt. Alle weiteren Schwerelinien schneiden sich ebenfalls in diesem Schwerpunkt. Bei Vielecken (insbesondere Dreiecken und Vierecken) unterscheidet man, je nach der Beschaffenheit der ebenen Fläche, zwischen drei verschiedenen Schwerpunkten: Flächenschwerpunkt, Kantenschwerpunkt und Eckenschwerpunkt wobei allerdings die beiden letztgenannten Schwerpunkte kaum eine praktische Anwendung haben und deshalb mehr oder weniger von nur akademischem Interesse sind. Eine homogene Fläche von beliebiger, aber konstanter Dicke hat (genau gesagt) einen Flächenschwerpunkt; meist begnügt man sich jedoch mit der Bezeichnung Schwerpunkt. Bei einem Vieleck, das nur aus seinen Umrandungen besteht (z. B. aus einzelnen dünnen Stangen oder in Form eines entsprechend gebogenen Drahtes), ist dessen Schwerpunkt ein Kantenschwerpunkt Bei einem (fiktiven) Modell, bei dem die Masse des Körpers (des Vielecks) lediglich in den Ecken konzentriert ist (z. B. in Form von gleichschweren Kugeln), spricht man von einem Eckenschwerpunkt. Die Lage dieser drei Schwerpunkte ist bei Vielecken mit gleicher äußerer Form, aber der o. g. unterschiedlichen Beschaffenheit, in der Regel voneinander verschieden; ihre Ermittlung richtet sich nach dem Einzelfall.
Dreieck Eckenschwerpunkt mini|hochkant=1.4|Schwerpunkt eines Dreiecks anhand der Seitenhalbierenden und Der Eckenschwerpunkt des Dreiecks ist der gemeinsame Schnittpunkt dreier Seitenhalbierenden; er teilt sie im Verhältnis . ist auch Eckpunkt der drei inneren Dreiecke mit gleichen Flächeninhalten : . Der Abstand des Schwerpunktes zu einer Dreiecksseite ist stets der betreffenden Dreieckshöhe . Beispiel für die Dreiecksseite : .
Sind die kartesischen Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks bekannt, so ergeben sich die Koordinaten des Eckenschwerpunkts als arithmetisches Mittel (siehe nebenstehendes Bild):
Da bei einem Dreieck der Eckenschwerpunkt mit dem Flächenschwerpunkt zusammenfällt (s. unten), spricht man einfach vom Schwerpunkt des Dreiecks.
Die normierten baryzentrischen Koordinaten von sind .
Ausgedrückt durch trilineare Koordinaten lautet der Eckenschwerpunkt eines Dreiecks mit Seitenlängen , ,
Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist Mittelpunkt der Steiner-Ellipse (Steiner-Umellipse) und der Steiner-Inellipse.
Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist zudem derjenige eindeutig bestimmte Punkt im Inneren des Dreiecks, dessen drei Verbindungsstrecken zu den Eckpunkten des Dreiecks dieses in drei Teildreiecke gleichen Flächeninhalts aufteilen (siehe baryzentrische Koordinaten).Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Hrsg.): Mathematische Unterhaltungen. Erstes Heft. 1973, S. 76Den Beweis von Riecke (und einen anderen Beweis) findet man im Beweisarchiv.
Flächenschwerpunkt = Eckenschwerpunkt Überdeckt man ein gegebenes Dreieck mit Rechtecken wie im Bild (wie bei der Einführung des bestimmten Integrals), so erkennt man mit Hilfe eines Strahlensatzes, dass die Schwerpunkte (Mittelpunkte) der Rechtecke alle auf der Seitenhalbierende liegen. Damit liegt der Gesamtschwerpunkt aller Rechtecke auch auf dieser Seitenhalbierende. Verfeinert man nun die Rechtecküberdeckung, so bleibt die Eigenschaft auch bei unendlich feiner Überdeckung erhalten. Also gilt: der Flächenschwerpunkt des Dreiecks liegt auf der Seitenhalbierende . Mit analogen Überlegungen folgt schließlich: Der Flächenschwerpunkt eines Dreiecks ist der gemeinsame Punkt der Seitenhalbierenden und damit gleich dem Eckenschwerpunkt. mini|links|Zur Bestimmung des Flächenschwerpunkts: Es ist und ist Seitenhalbierende.
Kantenschwerpunkt Der Kantenschwerpunkt eines Dreiecks (oder auch: Der Schwerpunkt des Dreiecksumfangs) lässt sich auf einfache Weise geometrisch ermitteln – es ist dessen Spieker-Punkt.
Trapez mini|hochkant=1.2|Schwerpunkt eines Trapezes, Alternative mini|hochkant=1.6|Schwerpunkt eines Trapezes Der Schwerpunkt des Trapezes lässt sich folgendermaßen konstruieren: Eine Schwerelinie halbiert die beiden parallelen Seiten. Eine zweite erhält man, indem man die parallelen Seiten um die Länge der jeweils anderen in entgegengesetzten Richtungen verlängert, und die beiden Endpunkte miteinander verbindet. Die Formel in kartesischen Koordinaten lautet (gemessen vom linken unteren Eckpunkt):
Eine alternative Möglichkeit (siehe Bild) den Schwerpunkt in einem Trapez zu bestimmen beginnt ebenfalls mit dem Halbieren der parallelen Seiten. Damit ergibt sich die Seitenhalbierende (Schwerelinie) . Mit dem Ziehen der beiden Diagonalen und entstehen die Dreiecke und . Die Konstruktion der Mittellinie und die anschließenden Verbindungen der Punkte mit sowie mit bestimmen den Schwerpunkt des Dreiecks .
Die abschließend ab gezogene Halbgerade , parallel zur Diagonalen verlaufend, liefert den Schwerpunkt des Trapezes als Schnittpunkt mit der Seitenhalbierenden .
Polygon mini|hochkant=1.2|Schwerpunkt im regelmäßigen Polygon mit zwei Schwerelinien und
Der Schwerpunkt eines nicht überschlagenen, geschlossenen, auch unregelmäßigen Polygons mit Eckpunkten kann wie folgt aus den kartesischen Koordinaten der Eckpunkte berechnet werden (der nullte Eckpunkt und der -te Eckpunkt sind hierbei identisch). Die Eckpunkte werden fortlaufend gegen den Uhrzeigersinn durchnummeriert. Der Schwerpunkt eines regelmäßigen Polygons entspricht dem Mittelpunkt seines Umkreises.
Der Flächeninhalt des Polygons kann mit der Gaußschen Dreiecksformel
bestimmt werden. Der Flächenschwerpunkt des Polygons wird dann mit den Formeln
bestimmt.
Unregelmäßiges Viereck Flächenschwerpunkt