Das 5-Zell ist eines der sechs konvexen regulären vierdimensionalen Polytope (der Analoga der platonischen Körper im vierdimensionalen euklidischen Raum). Konvexe reguläre 4-Polytope werden von platonischen Körpern begrenzt, die in diesem Kontext Zellen genannt werden. Beim 5-Zell sind dies 5 regelmäßige Tetraeder. Das 5-Zell besteht außerdem aus 10 Flächen (gleichseitigen Dreiecken), 10 Kanten und 5 Ecken. Das Schläfli-Symbol des 5-Zells ist . Es sagt aus, dass das 5-Zell aus Tetraedern aufgebaut ist, von denen jeweils 3 an einer Kante aneinander grenzen. Die Eckfigur ist ein Tetraeder , was bedeutet, dass an einer Ecke 4 Tetraeder aneinander grenzen. Außerdem grenzen an einer Fläche zwei Tetraeder aneinander. Das duale Polytop des 5-Zells ist ein 5-Zell in anderer Lage. Es ist daher selbstdual.
Geschichte Das 5-Zell wurde von Ludwig Schläfli entdeckt und in seiner in den Jahren 1850–1852 entstandenen Arbeit Theorie der vielfachen Kontinuität vorgestellt. In ihr beschrieb er als erster alle konvexen regulären 4-Polytope, alle Parkettierungen des vierdimensionalen euklidischen Raums, vier der zehn sternförmigen regulären 4-Polytope und alle regulären höherdimensionalen Polytope und Parkettierungen.
Da Schläflis Arbeit erst 1901, sechs Jahre nach seinem Tod, veröffentlicht wurde, wurden die regulären Polytope in den Jahren 1880–1900 mehrfach unabhängig voneinander wiederentdeckt, unter anderem von Washington Irving Stringham, G. Forchhammer, Reinhold Hoppe, Karl Rudel, Victor Schlegel, Anton Puchta, Otto Biermann, H. W. Curjel und Thorold Gosset. Außerdem entdeckte Edmund Hess 1885 alle zehn sternförmigen regulären 4-Polytope.
In der Anfangszeit der Forschung zu den regulären Polytopen gab es noch keine einheitliche Terminologie. Beispielsweise bezeichnete Ludwig Schläfli n-dimensionale Polytope als Polyscheme. Die heute gebräuchliche Bezeichnung Polytop wurde von Reinhold Hoppe eingeführt. Ludwig Schläfli bezeichnete das 5-Zell als Pentaschem, während Washington Irving Stringham es Pentahedroid oder (5)-hedroid nannte. Die heute übliche Bezeichnung Fünfzell wurde von Victor Schlegel eingeführt. Andere Bezeichnungen sind 4-Simplex oder Hypersimplex.
Konstruktionen des 5-Zells
Der Beweis der Existenz der platonischen Körper (der regulären Polyeder im dreidimensionalen Raum) kann geführt werden, ohne sie explizit konstruieren zu müssen. Dazu müssen lediglich die fünf möglichen Anordnungen von regulären Polygonen um eine Ecke im dreidimensionalen Raum bestimmt werden. Hieraus und aus dem Eulerschen Polyedersatz kann unmittelbar bestimmt werden, aus wie vielen Ecken, Kanten und Flächen der jeweilige platonische Körper besteht. Hierbei bezeichnet die Anzahl der Ecken, die Anzahl der Kanten und die Anzahl der Flächen des Polyeders.
Die vierdimensionale Version des Eulerschen Polyedersatzes lautet , wobei die Anzahl der Zellen bezeichnet. Da dies eine homogene Gleichung ist, lassen sich aus der Konstruktion der Anordnung von Polyedern um eine Ecke im vierdimensionalen Raum nicht die Anzahl der Zellen, Flächen, Kanten und Ecken eines 4-Polytops herleiten, sondern lediglich die Verhältnisse dieser Zahlen. Für das 5-Zell sind diese gegeben durch . Um die Existenz des 5-Zells zu beweisen, muss es daher explizit konstruiert werden.
Im Folgenden werden verschiedene Konstruktionen des 5-Zells beschrieben.
Konstruktion über kartesische Koordinaten
Das 5-Zell lässt sich als eine Hyperpyramide mit einem regulären Tetraeder als Basis konstruieren. Seine kartesischen Koordinaten sind gegeben durch: mit einer geraden Anzahl an Minuszeichen in den letzten drei Koordinaten (4 Punkte) und (1 Punkt). Der erste Satz an Koordinaten stellt ein reguläres Tetraeder in der Hyperebene dar, also die tetraedrische Basis der Hyperpyramide. Der letzte Punkt ist seine Spitze. Die Koordinaten der Ecken liegen auf einer 3-Sphäre vom Radius 1. Die Kanten der Tetraeder haben damit eine Länge von .
Die Zellen des 5-Zells sind gegeben durch alle fünf Untermengen von vier Ecken, seine Flächen durch alle zehn Untermengen von drei Ecken und seine Kanten durch alle zehn Untermengen von zwei Ecken. Insgesamt hat das 5-Zell daher 5 Ecken, 10 Kanten, 10 Dreiecke und 5 Tetraeder.
Aus der Koordinatendarstellung ergibt sich, dass die Ecken des 5-Zells entlang einer Diagonale zwischen der fünften Ecke und dem Mittelpunkt der Zelle, die durch die ersten vier Ecken gebildet wird, zwei Schichten bilden, die 1 und 4 Ecken enthalten. Hieraus folgt, dass die Zellen entlang dieser Diagonalen zwei Schichten mit 4 und 1 Tetraedern bilden.
Visualisierung der Konstruktion des 5-Zells
thumbtime=4|mini|Visualisierung des schichtenweisen Aufbaus des 5-Zells mini|Dreidimensionales Modell einer Zentralprojektion eines 5-Zells Das nebenstehende Video visualisiert den Aufbau des 5-Zells aus den oben beschriebenen zwei Schichten von Tetraedern. Dabei werden die Tetraeder vom vierdimensionalen Raum mittels einer vierdimensionalen Version der Zentralprojektion in den dreidimensionalen Raum, also in eine Hyperebene, projiziert. Das Projektionszentrum liegt dabei im Punkt Hierdurch ergibt sich eine Projektion, wie sie bei einem Schlegeldiagramm verwendet wird.
Die Schichten werden in unterschiedlichen Farben dargestellt und nacheinander eingeblendet. Während des gesamten Videos werden in der linken unteren Ecke in schwarz die Anzahl der bisher eingeblendeten Tetraeder und in der Farbe der aktuell hinzukommenden oder entfernten Tetraeder deren Anzahl dargestellt. Im ersten Teil des Videos werden die Tetraeder transparent visualisiert, um den inneren Aufbau des 5-Zells darzustellen. Um zu zeigen, wie die Tetraeder einer Schicht aneinander grenzen, werden die Tetraeder nicht direkt in ihrer eigentlichen Lage eingeblendet, sondern eine bestimmte Distanz senkrecht über ihrer eigentlichen Position. Sie bewegen sich dann auf geradem Weg zu ihrer eigentlichen Position. Nachdem sie diese Position erreicht haben, werden alle bisher eingeblendeten Tetraeder rotiert, um den inneren Aufbau des bis zu diesem Zeitpunkt konstruierten Teils des 5-Zells zu visualisieren.
Eine Besonderheit ergibt sich beim letzten Tetraeder. Da dieses in der Projektion, wie bei einem Schlegeldiagramm üblich, denselben Raum einnimmt, wie die vier zuvor eingeblendeten Tetraeder, wird es größer eingeblendet und schrumpft dann auf seine eigentliche Größe. Im vierdimensionalen Raum ist dieses Tetraeder disjunkt zu allen übrigen.
Die Abbildung am Anfang dieses Artikels entspricht der Darstellung des 5-Zells nach Einblendung der beiden Schichten, wobei nur die Ecken und Kanten visualisiert werden. Die zweite Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein entsprechendes dreidimensionales Modell des 5-Zells. Das Modell kann im Medienbetrachter interaktiv gedreht, vergrößert, verkleinert und bewegt werden. Sowohl die Abbildung am Anfang dieses Artikels als auch das dreidimensionale Modell stellen ein Schlegeldiagramm des 5-Zells dar.
Im Anschluss werden die Tetraeder undurchsichtig dargestellt und die Schichten werden in umgekehrter Reihenfolge wieder entfernt.
Das Video visualisiert die von Victor Schlegel beschriebene Konstruktion des 5-Zells. Diese geht von einem 5-Zell mit einem daraus entfernten Tetraeder aus, so dass die restlichen vier Tetraeder über die oben beschriebene Projektion in einem Schlegeldiagramm in den dreidimensionalen Raum transformiert werden können. Schlegel konstruiert die Zentralprojektion des 5-Zells explizit in der Abbildung 10 seiner Arbeit. Diese Abbildung entspricht im Video dem Zeitpunkt, an dem vier Tetraeder eingeblendet wurden.
Koordinatenstellungen des 5-Zells
mini|Orthogonalprojektion des 5-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung mini|Ein mit dem Zometool-System konstruiertes Modell einer Zentralprojektion des 5-Zells In jedem 4-Polytop existieren vier Arten von Hauptstrahlen: die Geraden vom Mittelpunkt des Polytops zu einer Ecke, zum Mittelpunkt einer Kante, zum Mittelpunkt einer Fläche und zum Mittelpunkt einer Zelle. Wenn ein 4-Polytop in einem euklidischen Koordinatensystem so ausgerichtet ist, dass die vier Koordinatenachsen mit gleichartigen Hauptstrahlen zusammenfallen, wird die Ausrichtung des Polytops als reguläre Koordinatenstellung bezeichnet. Jedes der regulären 4-Polytope außer dem 5-Zell lässt sich in eine reguläre Koordinatenstellung bringen. Die Koordinatenstellungen spielen beispielsweise bei der Berechnung von Projektionen und Schnitten von Polytopen eine wichtige Rolle. Im Folgenden werden die vier Koordinatenstellungen als eckenzentriert, kantenzentriert, flächenzentriert und zellenzentriert bezeichnet. Im Englischen werden sie häufig vertex-first, edge-first, face-first und cell-first genannt.
Das 5-Zell besitzt nicht die notwendigen Symmetrien, um es in eine reguläre Koordinatenstellung zu bringen. Weiterhin fallen bei ihm die Hauptstrahlen vom Mittelpunkt des Polytops zu einer Ecke und zum Mittelpunkt einer Zelle sowie die Hauptstrahlen vom Mittelpunkt des Polytops zum Mittelpunkt einer Kante und zum Mittelpunkt einer Fläche zusammen. Nichtsdestotrotz wird in der Literatur oft von einer eckenzentrierten, kantenzentrierten, flächenzentrierten und zellenzentrierten Koordinatenstellung gesprochen. Hierzu ist ein Bezugssystem, beispielsweise eine Ebene oder Hyperebene, in die das 5-Zell projiziert wird, oder eine Hyperebene, mit der das 5-Zell geschnitten wird, notwendig. Mit der Koordinatenstellung wird ausgedrückt, dass der jeweilige Hauptstrahl senkrecht zum Bezugssystem ausgerichtet ist. Die Ausrichtung des 5-Zells in der Hyperebene senkrecht zum Hauptstrahl wird durch diese Konvention nicht festgelegt. Gemäß dieser Konvention zeigt das Video im vorherigen Abschnitt eine ecken- und zellenzentrierte Zentralprojektion des 5-Zells.
Die erste Abbildung in diesem Abschnitt zeigt eine Orthogonalprojektion des 5-Zells mit den oben angegebenen Koordinaten in ecken- und zellenzentrierter Koordinatenstellung in die -Ebene. Die projizierten Ecken werden durch farbige Kreise visualisiert, die projizierten Kanten durch schwarze Linien. Die Flächen und Zellen des 5-Zells werden in dieser Abbildung nicht dargestellt. Die äußeren vier Punkte stellen das Basistetraeder der Hyperpyramide dar, der mittlere Punkt deren Spitze.
Die zweite Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein mit dem Zometool-System konstruiertes Modell einer Zentralprojektion des 5-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung in den dreidimensionalen Raum. Die Orthogonalprojektion in eckenzentrierter Koordinatenstellung ist identisch zur Zentralprojektion; sie unterscheidet sich lediglich durch eine Skalierung. Daher ist das im Abschnitt Visualisierung der Konstruktion des 5-Zells abgebildete dreidimensionale Modell gleichzeitig auch ein Modell der Orthogonalprojektion des 5-Zells.
Konstruktion aus einer Boerdijk-Coxeter-Helix
Harold Scott MacDonald Coxeter hat eine Konstruktion des 5-Zells über Koordinaten angegeben, die eine besonders symmetrische Orthogonalprojektion des 5-Zells ergeben. Die Koordinatenstellung des 5-Zells ist dabei so gewählt, dass die Projektion in eine Ebene erfolgt, die durch die Mittelpunkte der Kanten eines Petrie-Polygons des 5-Zells definiert wird. Ein Petrie-Polygon ist für ein 4-Polytop dadurch definiert, dass drei aufeinanderfolgende seiner Kanten, aber keine vier, zu einem Petrie-Polygon einer Zelle des 4-Polytops gehören, also in diesem Fall zu einem Tetraeder. Ein Petrie-Polygon für ein Polyeder (eine Zelle) ist dadurch definiert, dass zwei aufeinanderfolgende seiner Kanten, aber keine drei, zu einer Fläche des Polyeders gehören. Obwohl ein Petrie-Polygon eines 4-Polytops ein räumliches Polygon ist, seine Ecken also nicht in einer Ebene liegen, liegen die Mittelpunkte seiner Kanten in einer Ebene. Diese Ebene wird als Coxeter-Ebene bezeichnet.
Die von Coxeter angegebenen Koordinaten sind:
wobei , , und sind. Der Wert von ist so gewählt, dass die Ecken auf einer 3-Sphäre vom Radius 1 liegen.