mini|Schrödinger-Gleichung vor der Warschauer Universität für neue Technologien (Ochota-Campus) (oben rechts)
Die Schrödingergleichung ist eine der grundlegenden Gleichungen der Quantenmechanik, die ihrerseits eine der Hauptsäulen der modernen Physik ist. Sie beschreibt die zeitliche Veränderung des quantenmechanischen Zustands eines physikalischen Systems in nichtrelativistischer Näherung in Form einer partiellen Differentialgleichung. Die Gleichung wurde 1926 von Erwin Schrödinger für die Ausbreitung von Materiewellen (Wellenmechanik) aufgestellt und bei ihrer ersten Anwendung erfolgreich zur Erklärung des Spektrums des Wasserstoffatoms, des Harmonischen Oszillators und des rotierenden Moleküls genutzt.
Der Zustand eines Systems mit nur einem Teilchen wird zu jedem Zeitpunkt durch eine Wellenfunktion bzw. in allgemeinerer Form als Zustandsvektor in einem Hilbertraum repräsentiert. Gebräuchlich sind die Symbole bzw. oder abgekürzt . In der zeitabhängigen Schrödingergleichung wird ein Hamiltonoperator auf den Zustand angewendet, und das Ergebnis zeigt, wie der Zustand sich mit fortschreitender Zeit verändert: (1.1)
(Darin ist die imaginäre Einheit, die reduzierte Planck-Konstante und partielle Ableitung nach der Zeit , also die Änderungsgeschwindigkeit). Aufgrund dieser Gleichung handelt es sich bei der Wellenfunktion mathematisch um eine komplexwertige Funktion, deren Werte als solche keiner messbaren physikalischen Größe entsprechen und daher auch keine anschaulich im dreidimensionalen Raum vorstellbare Welle darstellen können. Zudem scheitert der Versuch einer räumlichen Vorstellung auch daran, dass die Wellenfunktion eines Systems aus mehreren Teilchen von den Koordinaten aller Teilchen abhängt, bei zwei Teilchen z. B. in der Form , was eine in einem abstrakten Raum mit 6 Dimensionen definierte Funktion ist. Jedoch lassen sich für alle am System messbaren Größen aus der Wellenfunktion Voraussagen über die Ergebnisse von Messungen berechnen.
Wenn das Quantensystem ein Analogon in der Klassischen Mechanik hat (Beispiel: ein Teilchen in einem Kraftfeld), dann ergibt sich der Hamiltonoperator durch Anwendung der festen Regeln der Ersten Quantisierung aus der entsprechenden klassischen Hamiltonfunktion, das ist die Gesamtenergie, ausgedrückt als Funktion bestimmter Variablen.In seinem Nobel-Vortrag (1933) beschreibt Schrödinger auf anschauliche Weise (ohne Mathematik) die Wirkungsweise des Hamiltonschen Prinzips in der klassischen Mechanik und der Quanten- bzw. Wellenmechanik. In vielen Anwendungen werden Hamiltonoperatoren aber auch ohne klassisches Vorbild direkt nach quantenmechanischen Gesichtspunkten konstruiert (Beispiel: Pauligleichung).
Im Allgemeinen verändert die Wellenfunktion im Laufe der Zeit ihre Form. Damit können physikalische Prozesse beschrieben werden wie z. B. die Ausbreitung, Streuung und Interferenz eines Teilchens sowie der Zerfall eines instabilen Systems wie z. B. bei Alpharadioaktivität. Bei manchen Wellenfunktionen bewirkt der Hamiltonoperator aber keine Änderung der Form, sondern nur eines komplexen globalen Phasenfaktors, so dass für diese Wellenfunktionen an jedem Ort das Betragsquadrat mit der Zeit konstant bleibt. Die entsprechenden Zustände sind stationäre Zustände, auch als Eigenzustände des Hamiltonoperators bzw. als Energieniveaus des betrachteten Quantensystems bezeichnet. Die zeitunabhängige Schrödingergleichung ermöglicht das Auffinden dieser stationären Wellenfunktionen und damit die Berechnung der Energie und vieler weiterer Eigenschaften des Systems im jeweiligen Energieniveau.
Die Schrödingergleichung bildet das Fundament für viele theoretische und praktische Anwendungen der Quantenmechanik. So gelang seit 1926 die Erklärung zahlreicher Eigenschaften und Wechselwirkungen von Atomen und Molekülen bis hin zu ihren chemischen Reaktionen, sowie von Festkörpern bis hin zur gezielten Herstellung neuer Materialien wie z. B. Halbleiter, und nicht zuletzt die quantenmechanische Beschreibung von Prozessen wie die Emission von Licht und der spontane radioaktive Zerfall. Allerdings beschreibt die Schrödingergleichung in ihrer eigentlichen, aus der klassischen nichtrelativistischen Physik entlehnten Form noch keine Phänomene, für deren Erklärung die Relativitätstheorie benötigt wird, wie z. B. Spin, Entstehung und Vernichtung von Teilchen und Antiteilchen, sowie bestimmte Feinheiten der Energieniveaus sogar schon beim einfachsten Atom, dem des Wasserstoffs.
Wege zur Schrödingergleichung Die Schrödingergleichung kann aus der klassischen Physik nicht hergeleitet, sondern nur motiviert werden. Sie steht als Postulat am Anfang der Wellenmechanik. Im Folgenden werden drei Wege, die zu ihr führen, dargestellt.
Schema der 1. Quantisierung Die aus der klassischen Physik bekannte Hamiltonfunktion gibt die Energie eines physikalischen Systems als Funktion von zueinander konjugierten Koordinaten und Impulsen (im einfachsten Fall Ort und mechanischer Impuls ) an. Im Beispiel eines Teilchens der Masse in einem Kraftfeld mit der potentiellen Energie gilt
(2.1)
Darin werden die klassischen Größen durch die entsprechenden quantenmechanischen Operatoren ersetzt: (2.2)
Aus der Definition der Hamiltonfunktion wird damit die Definition des Hamiltonoperators für ein Teilchen in einem Potential (2.3)
Anwenden auf die Wellenfunktion ergibt die zeitabhängige Schrödingergleichung. Im Beispiel (2.4) allgemein (2.5)
Für zeitunabhängiges Potential liefert der Produktansatz die zeitunabhängige Schrödingergleichung (2.6)
Dies ist eine Eigenwertgleichung. Sie wird nur für bestimmte Werte und Funktionen erfüllt. Diese geben die Energien und die Wellenfunktionen der stationären Zustände an.
Argumentation ausgehend von freien Materiewellen Aus den de Broglie-Einstein-Gleichungen für die Materiewellen ergibt sich für ein freies Teilchen mit Impuls und Energie die Materiewelle . Mit diesen Zuständen als Basiszuständen ist dann ein beliebiger Zustand des Teilchens als Linearkombination durch
darzustellen. Darin ist die Amplitude, mit der die Welle mit Impuls in dem Zustand vertreten ist. Die 1. Ableitung nach der Zeit ist (2.7) Dies ist wegen proportional zur 2. Ableitung nach dem Ort (2.8) der Proportionalitätsfaktor ist . Daher gilt (2.9) Das ist die zeitabhängige Schrödingergleichung für ein freies Teilchen.
Schrödingers Weg Schrödingers erster Ausgangspunkt ist der von Louis de Broglie formulierte Gedanke, dem Elektron eine Welle zuzuordnen, die in seinen stationären Zuständen im Atom die Form einer stehenden Welle hat. Die Vorstellung von einer wohldefinierten Bahn des Elektrons sollte sich dann als ein in manchen Fällen näherungsweise zutreffendes Bild ergeben, wie bei der Vorstellung von einem wohldefinierten Lichtstrahl im Verhältnis zur ausgedehnten Lichtwelle. Für den Zusammenhang der mechanischen Größen Impuls und kinetische Energie des Teilchens mit den für die stehende Welle relevanten Größen Frequenz (bzw. ) und Wellenlänge wurden die aus der älteren Quantenphysik für Schwingungen und Wellen bekannten Gleichungen angesetzt: (2.10) (2.11)
sowie die Energie-Impulsbeziehung der klassischen Mechanik (2.12)
Schrödingers zweiter Ausgangspunkt ist die strukturelle Ähnlichkeit zwischen der klassischen Punktmechanik einerseits (in ihrer Hamiltonschen Form mit dem Prinzip der kleinsten Wirkung) und der geometrischen Optik andererseits (insbesondere mit dem Huygensschen Prinzip). Daher setzt Schrödinger für die Materiewelle im Fall, dass es sich um eine stehende Welle bestimmter Frequenz handelt, zunächst eine klassische Wellengleichung an: (2.13) Darin ist die Phasengeschwindigkeit der Welle, die nach der Analogie zur Hamiltonschen Mechanik mit der Geschwindigkeit identifiziert wird, mit der dort die Flächen gleicher Wirkung fortschreiten. Mit der (ortsabhängigen) potentiellen Energie gilt: (2.14)
Im Fall der rein periodischen Bewegung enthält die Zeitabhängigkeit in Form eines Phasenfaktors . Wegen (2.15) vereinfacht sich die Wellengleichung zu (2.16) Dies ist eine Eigenwertgleichung für die Energie , die sich in den Testfällen mit periodischen Bewegungen (H-Atom, harmonischer Oszillator, starrer Rotator) bewährt. Wird dann aus den beiden letzten Gleichungen die Variable eliminiert, entsteht (2.17) Für periodische Bewegungen ist diese Gleichung äquivalent zur vorherigen. Schrödinger postuliert sie nun als die allgemeine Wellengleichung, die für jede beliebige Materiewelle, also auch für nicht-stationäre Zustände gelten soll. Nach Umstellung ist es die Schrödingergleichung: (2.18)
Pfadintegral nach Feynman Eine andere Möglichkeit, die Schrödingergleichung aufzustellen, benutzt den von Richard Feynman eingeführten Begriff des Pfadintegrals. Diese alternative Herleitung betrachtet die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Bewegungen (Pfade) des zu untersuchenden Teilchens von einem Ort nach und führt damit wieder zu derselben Schrödingergleichung. Auch hierbei spielt die klassische Wirkung eine zentrale Rolle.
Bedeutung der Schrödingergleichung und Erläuterungen Allgemeine Erläuterungen Mit der Schrödingergleichung wurde die Ad-hoc-Konstruktion des Bohrschen Atommodells überwunden (wie kurz zuvor schon mit der weniger anschaulichen Heisenberg’schen Matrizenmechanik). Die diskreten Energieniveaus des Wasserstoffatoms, die im Bohrschen Modell bestimmten klassischen Bahnen eines Elektrons im Coulombpotential des Atomkerns zugeordnet sind, ergeben sich aus der (zeitunabhängigen) Schrödingergleichung als deren Eigenwerte.
Während ein Teilchen in der klassischen Mechanik stets einen bestimmten Ort hat und eine bestimmte Bahn durchläuft, die durch die Newtonsche Bewegungsgleichung bestimmt ist, liefert in der Quantenmechanik die Schrödingergleichung eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Aufenthaltsort des Teilchens. Man spricht auch veranschaulichend davon, dass das Teilchen zu jedem Zeitpunkt über den Raum delokalisiert sei. Für Energieeigenzustände ist diese räumliche Verteilung zeitlich konstant, für andere Zustände nicht.
Die Quantenmechanik muss als grundlegende Theorie aber auch die klassische Mechanik umfassen. Diese Korrespondenz wird z. B. durch das Ehrenfest-Theorem hergestellt, dem zufolge der Mittelwert der wellenmechanischen Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Teilchenkoordinate sich so bewegt wie von der Newtonschen Bewegungsgleichung vorgeschrieben. Evident wird die Korrespondenz bei lokalisierten Wellenpaketen, wie sie sich z. B. durch Linearkombination der Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms zu höheren Quantenzahlen konstruieren lassen. Solche Zustände entsprechen also einer kohärenten Überlagerung vieler höherer Anregungszustände.
Die Schrödingergleichung ist deterministisch, das heißt, dass bei Vorgabe eines Anfangszustands die weitere Entwicklung der Wellenfunktion festliegt. In linearer Näherung, d. h. für kurze Zeitintervalle , wird sie einfach die kohärente Superposition von mit einem infinitesimalen Vielfachen der durch den Hamiltonoperator abgeänderten Wellenfunktion : (3.1) Andererseits liefern diese Wellenfunktionen nach der Kopenhagener Deutung für die Erklärung von Messergebnissen nur statistische Größen, aus denen z. B. die Mittelwerte und Streuungen von Messergebnissen in gleichartigen Versuchsanordnungen zu berechnen sind. Nach der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik liegt dies nicht an einem Mangel der Messanordnung oder an einer Unvollständigkeit der Zustandsbeschreibung durch die Wellenfunktion, vielmehr gibt die Wellenfunktion eine vollständige Beschreibung und die Streuungen sind durch die Natur selbst bedingt. Die mit dem Messvorgang verbundene zufällige Auswahl nur eines der möglichen Messwerte heißt Zustandsreduktion und kann nicht durch die Schrödingergleichung beschrieben werden.