Die Lorentz-Transformation verknüpft wie die Galilei-Transformation die Koordinaten eines Ereignisses in einem bestimmten Inertialsystem mit den Koordinaten des gleichen Ereignisses in einem anderen Inertialsystem, welches in positiver x-Richtung mit der Geschwindigkeit v relativ zum ersten System bewegt ist. Jedoch im Gegensatz zur Galilei-Transformation beinhaltet sie neben dem Relativitätsprinzip die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen und bildet somit die mathematische Grundlage für die spezielle Relativitätstheorie.
Erste Formulierungen dieser Transformation wurden von Woldemar Voigt (1887) und Hendrik Lorentz (1892, 1895) veröffentlicht, wobei bei diesen Autoren das ungestrichene System als im Äther ruhend betrachtet wurde, und das „bewegte“ gestrichene System wurde mit der Erde identifiziert. Diese Transformation wurde von Joseph Larmor (1897, 1900) und Lorentz (1899, 1904) vervollständigt und durch Henri Poincaré (1905), welcher der Transformation ihren Namen gab, in ihre moderne Gestalt gebracht. Albert Einstein (1905) schließlich konnte die Gleichungen aus wenigen Grundannahmen ableiten und zeigte den Zusammenhang der Transformation mit fundamentalen Änderungen der Begriffe von Raum und Zeit auf.
In diesem Artikel werden die historischen Ausdrücke durch moderne ersetzt, mit der Lorentz-Transformation , und dem Lorentzfaktor: , v ist die Relativgeschwindigkeit zwischen den Körpern, und c ist die Lichtgeschwindigkeit.
Kugelgeometrie im 19. Jahrhundert
Eine der definierenden Eigenschaften der Lorentz-Transformation ist ihre Gruppenstruktur, wodurch die Invarianz von in allen Inertialsystemen erfüllt ist. Das bedeutet beispielsweise, dass eine Kugelwelle in einem Inertialsystem ebenso eine Kugelwelle in allen anderen Inertialsystemen ist, was gewöhnlich auch zur Herleitung der Lorentz-Transformation benutzt wird.Walter (2012) Jedoch schon lange bevor Experimente und physikalische Theorien die Einführung der Lorentz-Transformation notwendig machten, wurden besonders in der reinen Mathematik Transformationsgruppen wie die konforme Transformation durch reziproke Radien in der Möbius-Geometrie, oder die Transformation durch reziproke Richtungen der Laguerre-Geometrie diskutiert, welche Kugeln in andere Kugeln transformieren.Kastrup (2008), Abschnitt 2.3 Diese können als Spezialfälle der Lie’schen Kugelgeometrie gesehen werden.Klein & Blaschke (1926) Der Zusammenhang dieser Transformationen mit der Lorentz-Transformation der Physik wurde jedoch erst nach 1905 entdeckt.
In mehreren Arbeiten zwischen 1847 und 1850 bewies Joseph Liouville, dass die Form invariant ist unter der konformen Gruppe bzw. der Transformation durch reziproke Radien die Kugeln in Kugeln abbildet. Dieser Beweis wurde von Sophus Lie (1871) im Rahmen der Lie’schen Kugelgeometrie auf alle Dimensionen erweitert mit . Harry Bateman und Ebenezer Cunningham zeigten im Jahre 1909, dass nicht nur obige quadratische Beziehung, sondern die Maxwellsche Elektrodynamik ebenfalls kovariant ist unter der konformen Gruppe der Kugelwellentransformationen bei beliebigem . Diese Kovarianz ist allerdings nur auf Teilgebiete wie die Elektrodynamik beschränkt, hingegen die Gesamtheit der Naturgesetze in Inertialsystemen ist nur kovariant unter der Lorentz-Gruppe.
Eine damit verwandte Transformation wurde von Albert Ribaucour (1870) und besonders Edmond Laguerre (1880–1885) gegeben – die Transformation durch reziproke Richtungen (auch „Laguerre-Inversion“ oder „Laguerre-Transformation“ genannt), welche Kugeln in Kugeln und Ebenen in Ebenen abbildet. Laguerre schrieb die entsprechenden Formeln explizit im Jahre 1882, und Gaston Darboux (1887) reformulierte sie für die Koordinaten (mit R als Radius):
die folgende Beziehung erzeugt:
.
Einige Autoren bemerkten die weitgehende Analogie zur Lorentz-Transformation (siehe Laguerre-Inversion und Lorentz-Transformation) – wird gesetzt , , und , so folgt
was eingesetzt in obige Transformation eine sehr große Analogie zu einer Lorentz-Transformation mit als Bewegungsrichtung ergibt, außer dass das Vorzeichen von umgekehrt ist von nach :
Tatsächlich wurde der Gruppenisomorphismus der beiden Gruppen durch Élie Cartan, Henri Poincaré (1912) und anderen nachgewiesen (siehe Laguerre-Gruppe isomorph zur Lorentz-Gruppe).Klein & Blaschke (1926), S. 259
Voigt (1887) Im Rahmen einer theoretischen Untersuchung des Doppler-Effekts transversaler Wellen in einem inkompressiblen elastischen Übertragungsmedium, das als Modell für den Lichtäther diente, entwickelte Voigt (1887) folgende Transformation, welche die Wellengleichung unverändert ließ und in moderner Notation die Form hatte:
Wenn die rechten Seiten dieser Gleichungen mit einem Skalenfaktor multipliziert werden, ergeben sich die Formeln der Lorentz-Transformation. Der Grund dafür liegt darin, dass, wie oben erklärt, die elektromagnetischen Gleichungen nicht nur lorentzinvariant, sondern auch skaleninvariant und sogar konformalinvariant sind. Die Lorentz-Transformation kann beispielsweise mit obigem Skalenfaktor versehen werden:
.
Mit erhält man die Voigt-Transformation, und mit die Lorentz-Transformation. Wie später insbesondere Poincaré und Einstein zeigten, sind die Transformationen jedoch nur bei symmetrisch und bilden eine Gruppe, was die Voraussetzung für die Verträglichkeit mit dem Relativitätsprinzip ist. Die Voigt-Transformation ist also nicht symmetrisch und verletzt das Relativitätsprinzip. Die Lorentz-Transformation hingegen ist auch außerhalb der Elektrodynamik für alle Naturgesetze gültig.Pais (1982), Kap. 6bEin von Voigt möglicherweise benutztes Herleitungsverfahren ist enthalten im Abschnitt 1.4 The Relativity of Light der Abhandlung Reflections on Relativity auf der Web-Seite MathPages (wo der Skalenfaktor statt verwendet wurde): "In order to make the transformation formula for agree with the Galilean transformation, Voigt chose , so he did not actually arrive at the Lorentz transformation, but nevertheless he had shown roughly how the wave equation could actually be relativistic – just like the dynamic behavior of inertial particles – provided we are willing to consider a transformation of the space and time coordinates that differs from the Galilean transformation. " Bei einigen Problemlösungen, wie bei der Berechnung von Strahlungsphänomenen im leeren Raum, führen beide Transformationen jedoch zu demselben Endergebnis.Miller (1981), 114–115
Bezüglich des Doppler-Effekts wurde Voigts Arbeit von 1887 durch Emil Kohl im Jahr 1903 referenziert. Bezüglich der Lorentz-Transformation erklärte Lorentz 1909Lorentz (1916), schreibt in der Fußnote auf S. 198: "1) In a paper „Über das Doppler’sche Princip“, published in 1887 (Gött. Nachrichten, p. 41) and which to my regret has escaped my notice all these years, Voigt has applied to equations of the form (6) (§ 3 of this book) [nämlich ] a transformation equivalent to the formulae (287) and (288) [nämlich obige Transformation mit dem Skalenfaktor ]. The idea of the transformations used above (and in § 44) might therefore have been borrowed from Voigt and the proof that it does not alter the form of the equations for the free ether is contained in his paper." und 1912,Ich füge noch die Bemerkung hinzu, daß Voigt bereits im Jahre 1887 […] in einer Arbeit „Über das Dopplersche Prinzip“ auf Gleichungen von der Form eine Transformation angewandt hat, welche der in den Gleichungen (4) und (5) [nämlich obige Transformation mit dem Skalenfaktor ] meiner Arbeit enthaltenen äquivalent ist. dass Voigts Transformation „äquivalent“ zur Transformation mit obigem Skalenfaktor in seiner eigenen Arbeit von 1904 sei, und dass er, wenn er diese Gleichungen gekannt hätte, sie in seiner Elektronentheorie hätte verwenden können. Hermann MinkowskiWalter (1999a), p. 59 würdigte Voigts Leistung 1908 in Raum und Zeit und in einer Diskussion:
Heaviside, Thomson, Searle (1888, 1889, 1896)
1888 studierte Oliver Heaviside die Eigenschaften von bewegten Ladungen gemäß der maxwellschen Elektrodynamik. Er errechnet, neben anderen Dingen, dass Anisotropien in elektrischen Feld bewegter Ladungen auftreten müssten gemäß folgender Formel:Brown (2003)
.
Darauf aufbauend entdeckte Joseph John Thomson (1889) eine Methode um Berechnungen für bewegte Ladungen substantiell zu vereinfachen, indem er folgende mathematische Transformation benutzte:
.
Dadurch können inhomogene elektromagnetische Wellengleichungen in eine Poisson-Gleichung transformiert werden.Miller (1981), 98–99 Schließlich bemerkte George Frederick Charles Searle (1896), dass Heavisides Ausdruck für bewegte Ladungen zu einer Deformation des elektrischen Feldes führt, die er als „Heaviside-Ellipsoid“ mit einem Achsenverhältnis von bezeichnete.
Lorentz (1892, 1895) Lorentz entwickelte 1892 die Grundzüge eines Modells, später als lorentzsche Äthertheorie bezeichnet, in dem der Äther vollständig in Ruhe ist, wodurch im Äther die Lichtgeschwindigkeit in alle Richtungen denselben Wert hat. Um nun die Optik bewegter Körper berechnen zu können, führte Lorentz folgende Hilfsvariablen zur Transformation vom Äthersystem in ein relativ dazu bewegtes System ein:Miller (1982), Kap. 1.4 & 1.5
wo die Galilei-Transformation ist. Während nun die „wahre“ Zeit für im Äther ruhende Systeme, ist die Zeit eine mathematische Hilfsvariable, welche für Berechnungen von im Äther bewegten Systemen benutzt wird. Eine ähnliche „Ortszeit“ wurde bereits von Voigt benutzt, jedoch gab Lorentz später an, zu diesem Zeitpunkt keine Kenntnis von dessen Arbeit besessen zu haben. Ebenso ist unbekannt, ob ihm die Arbeiten von Thomson geläufig waren.
1895 entwickelte er die Lorentzsche Elektrodynamik sehr viel systematischer weiter, wobei ein fundamentales Konzept das „Theorem der korrespondierenden Zustände“ für Größen zu war. Aus ihm folgt, dass ein im Äther bewegter Beobachter annähernd dieselben Beobachtungen in seinem „fiktiven“ (elektromagnetischen) Feld macht wie ein im Äther ruhender Beobachter in seinem „realen“ Feld. Das heißt, solange die Geschwindigkeiten relativ zum Äther vergleichsweise gering sind, haben die maxwellschen Gleichungen für alle Beobachter dieselbe Form. Für die Elektrostatik bewegter Körper benutzte er die Transformationen, welche die Dimensionen der Körper folgendermaßen änderte:Janssen (1995), Kap. 3.1
Als eine zusätzliche und unabhängige Hypothese behauptete Lorentz (1892b, 1895) (ohne Beweis wie er zugab), dass auch die intermolekularen Kräfte und somit auch materielle Körper auf eine ähnliche Weise deformiert werden, und führte zur Erklärung des Michelson-Morley-Experiments die Längenkontraktion ein. Dieselbe Hypothese war 1889 bereits von George FitzGerald aufgestellt worden, dessen Überlegungen auf den Arbeiten Heavisides beruhten. Aber während für Lorentz die Längenkontraktion ein realer, physikalischer Effekt war, bedeutete für ihn die Ortszeit vorerst nur eine Vereinbarung oder nützliche Berechnungsmethode. Hingegen für die Optik bewegter Körper benutzte er die Transformationen:
Mit Hilfe der Ortszeit konnte Lorentz die Aberration des Lichts, den Dopplereffekt und die beim Fizeau-Experiment gemessene Abhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit in bewegten Flüssigkeiten erklären. Wichtig dabei ist, dass Lorentz und später auch Larmor die Transformationen immer in zwei Schritten formulierten. Zuerst die Galilei-Transformation, und danach davon getrennt erst die Erweiterung zum „fiktiven“ elektromagnetischen System mit Hilfe der Lorentz-Transformation. Ihre symmetrische Gestalt erhielten die Gleichungen erst durch Poincaré.
Larmor (1897, 1900)