Der Umbrella-Test nach Mack und WolfeH.B. Mack, D.A. Wolfe: K-sample rank tests for umbrella alternatives. In: J. Amer. Statist. Ass., 76, 1981, S. 175–181, doi:10.1080/01621459.1981.10477625, stellt die Verallgemeinerung des Jonkheere-Terpstra-Testes dar. Im Unterschied zu diesem Test wird jedoch nicht von einem monotonen Trend ausgegangen, sondern von Trends mit einem Gipfel.
Die Nullhypothese H0 lautet für die Erwartungswerte G der Gruppen:
Als Alternativhypothese HA gilt: , wobei mindestens eine strikte Ungleichung gilt.
Berechnung der Prüfgröße Die Teststatistik MW lautet für eine Anzahl von Gruppen mit einem Gipfel bei mit jeweils Messungen:
Dabei ist bzw. für die r-te und das s-te Gruppe mit definiert als
und
mit
oder im Falle von Bindungen (gleichen Messwerten)
Die berechnete Prüfgröße wird größer, wenn ein biphasischer Trend zwischen den Gruppen vorhanden ist.
Unter allgemeinen Bedingungen weist die Prüfgröße eine Normalverteilung auf.
Überprüfung der Signifikanz Für den Erwartungswert und dessen Varianz gelten folgende Formeln, die sich letztendlich aus einer Addition der Statistiken des Jonkheere-Terpstra-TestsT.J. Terpstra: The asymptotic normality and consistency of Kendall’s test against trend, when ties are present in one ranking. In: Indagationes Mathematicae, 14, 1952, S. 327–333A.R. Jonkheere: A distribution-free K-sample test against ordered alternatives. In: Biometrika, 41, 1954, S. 133-145, doi:10.1093/biomet/41.1-2.133, ergeben:
und
mit
Die daraus folgende Variable ist standardnormalverteilt, wenn die Gesamtzahl aller Stichproben größer 12 ist:
Oder anders ausgedrückt: bei einem einseitigen Test auf 5-%-Niveau (Fehler 1. Art) ist der Test signifikant, wenn
Einzelnachweise
Kategorie:Nichtparametrischer Test