Frequenzmodulation

Die Frequenzmodulation (FM) ist ein Modulationsverfahren in der Nachrichtentechnik, bei dem die Trägerfrequenz durch das zu übertragende Signal verändert wird. Die Frequenzmodulation ermöglicht gegenüber der Amplitudenmodulation einen höheren Dynamikumfang des Informationssignals. Weiterhin ist sie weniger anfällig gegenüber Störungen. Das Verfahren wurde von John Renshaw Carson schon 1922 mathematisch untersuchtWiederabdruck: und 1935 von Edwin Howard Armstrong zuerst praktisch umgesetzt. Die Frequenzmodulation ist eine Winkelmodulation und verwandt mit der Phasenmodulation. Bei beiden wird der Phasenwinkel beeinflusst.

Nicht zu verwechseln ist sie mit der als digitale Frequenzmodulation oder auch als Miller-Code bezeichneten Kanalkodierung, die beispielsweise bei magnetischen Datenträgern zur Datenaufzeichnung Anwendung findet.

mini|hochkant=1.5|Modulierendes Signal, amplitudenmoduliertes Signal (AM) und frequenzmoduliertes Signal mini|Vorgang der Modulation: a) Modulierendes Signal, b) Träger, c) Frequenzmodulierter Träger Modulation Ein frequenzmoduliertes Signal kann bei hohen Frequenzen mit Hilfe einer Oszillatorschaltung erzeugt werden, deren frequenzbestimmender Schwingkreis eine spannungsabhängige Kapazität, typischerweise eine Kapazitätsdiode, enthält, an welche das Modulationssignal als Signalspannung gelegt wird. Dadurch ändern sich die Kapazität der Diode und damit auch die Resonanzfrequenz des Schwingkreises. FM bei tiefen Frequenzen lässt sich einfacher mit spannungsgesteuerten Oszillatoren erzeugen. Zur digitalen Erzeugung eines frequenzmodulierten Signals lässt sich vorteilhaft eine Direct-Digital-Synthesis-Schaltung (DDS) oder die Quadraturamplitudenmodulation (IQ-Modulation) verwenden.

Demodulation Vor der Demodulation wird die Amplitude des FM-Signals konstant gehalten („begrenzt“), um etwaige Amplitudenänderungen, die durch Störungen auf dem Übertragungsweg entstehen können, zu beseitigen. Dieses ist möglich, da in der Amplitude keine Informationen enthalten sind. Üblicherweise verwendet man dafür eine Kette von Differenzverstärkern.

Das empfangene FM-Signal wird selten unmittelbar demoduliert, sondern zuerst nach dem Superhet-Prinzip in eine Zwischenfrequenz versetzt, dieser Vorgang wird als Mischung bezeichnet. Beispielsweise wird der FM-Rundfunk auf der Trägerfrequenz f = 100 MHz mit einem Frequenzhub ΔfT = ±40 kHz übertragen. Der relative Hub beträgt

und erlaubt keine problemlose Demodulation. Durch Umsetzung auf die bei UKW-Empfängern übliche Zwischenfrequenz von 10,7 MHz wird H etwa verzehnfacht und die Schaltung vereinfacht. Schmalband-FM wie Slow Scan Television ist ohne diese vorgehende Frequenzänderung überhaupt nicht demodulierbar.

Es gibt verschiedene Arten von FM-Demodulatoren. Ein Diskriminator wandelt das FM-Signal zuerst in eine Amplituden- oder Pulsmodulation um. In der Anfangszeit benutzte man dazu einfache Flankengleichrichter, später Ratiodetektoren. Bei dem Koinzidenzdemodulator wird aus dem frequenzmodulierten Signal ein phasenmoduliertes Signal gebildet, das dann demoduliert werden kann. Eine weitere Möglichkeit ist der PLL-Demodulator. Durch Phasenvergleich des modulierten Signals mit dem Signal eines lokalen Oszillators erhält man eine Spannung entsprechend der Abweichung, mit der man den PLL-Oszillator nachregelt. Die Regelspannung ist zugleich das NF-Ausgangssignal. PLL-Demodulation liefert eine hohe Empfangsqualität und -sicherheit, sie war jedoch aufwendig bis zur Verbreitung von speziell dafür entwickelten integrierten Schaltungen.

Aus der Ausgangsspannung des FM-Demodulators gewinnt man häufig gleichzeitig eine Regelspannung, mit der man den Oszillator des Empfängers nachführt (Automatic frequency control, kurz AFC), um das Signal in der Mitte des Durchlassbereiches der ZF-Filter und so die Verzerrung gering zu halten.

Kenngrößen Man bezeichnet die durch die Modulation verursachte Änderung der Trägerfrequenz mit ΔfT (auch Frequenzhub oder kurz Hub) die Änderung des Phasenwinkels des Trägers mit und das Verhältnis des Frequenzhubs zur Modulationsfrequenz als Modulationsindex η:

wobei die höchste zu übertragende Nutzsignalfrequenz darstellt (Bandbreite des Nutzsignals).

Für die Bandbreite des frequenzmodulierten Signals gilt näherungsweise die Carson-Formel:

Innerhalb der Bandbreite B befindet sich nahezu die gesamte Signalleistung. Eine übliche Daumenregel und Annahme ist, dass innerhalb dieser Bandbreite 99 % der Signalleistung liegen. Der tatsächliche Anteil hängt jedoch von der Art des modulierenden Signals ab. Eine verallgemeinerte Form der Carson-Formel lautet:

Der Korrekturfaktor k, typischer Standardwert ist k = 1, erlaubt eine Berücksichtigung spezifischer Modulationssignale oder des Anteils der In-Band-Signalleistung.

Als konkretes Beispiel für die dargestellten Kenngrößen sei der frequenzmodulierte UKW-Hörfunk angegeben: Dabei wird bei Monoprogrammen mit einem Frequenzhub ΔfT = 75 kHz und einer Grenzfrequenz des Audiosignals von fS = 15 kHz gearbeitet. Damit ergibt sich beim UKW-Hörfunk ein Modulationsindex η = 5 und eine benötigte Bandbreite B10 % = 180 kHz im UKW-Band. Bei UKW-Stereo-Hörfunk inklusive des Datensignals des Radio Data Systems (RDS) liegt die Basisbandbreite bei fS = 60 kHz und die benötigte UKW-Bandbreite bei knapp 400 kHz. Benachbarte UKW-Stereo-Sender müssen daher mindestens um 400 kHz versetzt senden, um sich nicht gegenseitig zu stören.

Unter Schmalband-FM wird eine Frequenzmodulation verstanden, deren Modulationsindex η kleiner als 2 ist, darüber wird als Breitband-FM bezeichnet. Der analoge UKW-Hörfunk zählt zu dem Breitband-FM, Schmalband-FM findet unter anderem im Bereich des Amateurfunks wie im 70-cm-Band Anwendung.

Veranschaulichung mini|Moduliertes Signal f(t), Momentanfrequenz f(t) und Momentanphasenwinkel

Das obere Diagramm der Abbildung zeigt ein frequenzmoduliertes Signal sowie gestrichelt das Informationssignal. Der Träger hat im Beispiel die 15-fache Frequenz des Signals, das Signal ist ein einfacher Kosinus. Man erkennt, dass dort, wo der Momentanwert der Spannung des Signals am niedrigsten ist, die Frequenz des modulierten Signals gleichfalls am niedrigsten ist. Während des Nullpunktdurchlaufs des Informationssignals hat der modulierte Träger dieselbe Frequenz wie der unmodulierte Träger. Die Frequenz des Informationssignals ist davon abhängig, wie oft es pro Sekunde zu einer Frequenzänderung des Trägers kommt. Die Amplitude des Signals ist abhängig davon, wie groß die Frequenzänderung (Hub) ist. Je öfter pro Sekunde sich die Frequenz des Trägers ändert, desto größer ist die Frequenz des Informationssignals. Je größer der Hub, desto größer ist die Amplitude des Informationssignals. Je größer die Amplitude oder Frequenz des Informationssignals, desto größer ist die benötigte Bandbreite.

Im mittleren Diagramm der Abbildung ist die Änderung der Frequenz des Trägers in Abhängigkeit von obigem Signal dargestellt, gestrichelt der unmodulierte Träger. Das untere Diagramm der Abbildung zeigt den Phasenwinkel des Trägers in rad. Gestrichelt ist der unmodulierte Träger dargestellt. Der Phasenzeiger des Trägers dreht sich fortlaufend, deswegen steigt der Graph auch bei unmoduliertem Signal. Die durchgezogene Linie stellt den Phasenwinkel des modulierten Signals dar. ist jedoch nicht proportional zum Momentanwert der Signalspannung. und sind um 90° verschoben.

Darstellung im Zeitbereich, Zusammenhang zwischen Frequenzmodulation und Phasenmodulation Frequenzmodulation und Phasenmodulation hängen mathematisch eng zusammen. Eine Phasenmodulation eines sinusförmigen Trägers kann man sehr einfach ausdrücken. Zunächst der unmodulierte Träger:

Der Ausdruck bezeichnet die momentane Phase. ist die Trägerkreisfrequenz, ist eine Konstante, die Phase zum Zeitpunkt . Wir können die momentane Phase als Funktion der Zeit schreiben: .

Nun wird die momentane Phase durch Addition eines Modulators verändert, dadurch entsteht der Ausdruck für eine Phasenmodulation:

Dabei bezeichnet die Modulationsstärke und die modulierende Funktion oder kurz den Modulator. Entsprechend: .

Man sieht, dass eine Phasenmodulation mathematisch sehr einfach auszudrücken ist.

Eine Frequenzmodulation setzt aber voraus, dass sich die Frequenz ständig ändert. Dieses lässt sich nicht mehr durch einen Term der Form ausdrücken, sondern wir müssen den Begriff der momentanen Kreisfrequenz einführen: . Die momentane Frequenz ist also ganz allgemein die zeitliche Ableitung der Phasenfunktion (vgl. in diesem Zusammenhang die Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Ort und die Analogie zwischen Phase und Ort bzw. Frequenz und Geschwindigkeit). Dieses ist der Kern des Zusammenhangs zwischen Frequenz- und Phasenmodulation. Betrachten wir unter diesem Gesichtspunkt noch einmal die Phase des unmodulierten Trägers:

Die zeitliche Ableitung ist: .

Der neueingeführte Begriff der momentanen Frequenz beinhaltet also auch sinnvoll den Fall konstanter Frequenz. Eine Frequenzmodulation fordert nun, dass sich die momentane Frequenz nach der folgenden Vorschrift verhält: . Für die Berechnung der Kurvenform zu jedem Zeitpunkt jedoch benötigen wir nicht die momentane Frequenz, sondern die Phasenfunktion. Wenn die Frequenz die Ableitung der Phase ist, so ist umgekehrt die Phase das Integral der Frequenz:

im Beispiel:

Damit erhält man für die Frequenzmodulation folgenden Ausdruck:

Der direkte Vergleich mit dem Ausdruck für die Phasenmodulation zeigt:

Die Interpretation dieses Sachverhaltes wird in folgendem Beispiel klar. Setze , dann erhält man für die Frequenzmodulation

und entsprechend für die Phasenmodulation . Der Phasenhub ist also für die Phasenmodulation immer noch , für die Frequenzmodulation ist er . Die momentane Frequenz ist für die Phasenmodulation und für die Frequenzmodulation . In beiden Fällen findet eine Modulation der Phase statt. Allerdings wirkt bei der Frequenzmodulation nicht der Modulator direkt auf die Phase ein, sondern es ist erst das Integral des Modulators zu rechnen. Das Integral hat eine Tiefpasswirkung. Der Phasenhub wird also bei der Frequenzmodulation mit zunehmender Frequenz des Modulators geringer. Umgekehrt wird der Frequenzhub bei der Phasenmodulation mit niedriger werdender Modulatorfrequenz immer geringer.

Bei typischen analogen Oszillatoren mit RC- oder LC-Gliedern treten Differentialgleichungen auf, in denen z. B. Ströme integriert werden. Folglich kommt es mit einfachsten Mitteln immer zu einer Frequenzmodulation. Eine Veränderung der Stellgröße ändert dabei kontrolliert die Frequenz und erst mittelbar die Phase. Eine Phasenmodulation ist dagegen analog sehr schwierig, da meistens kein direkter Zugriff auf die Phasenfunktion möglich ist. Bei digitalen Oszillatoren ist beides in einfacher Weise möglich, denn es besteht direkter Zugriff auf den Phasenzeiger.

Modulationsgewinn, rauschbegrenzte Empfindlichkeit Gegenüber einer Amplitudendemodulation (AM) hat ein FM-Demodulator einen Modulationsgewinn – er bewertet das Rauschen weniger stark als das Nutzsignal. Bei zu geringem Träger-Rausch-Verhältnis (CNR von engl. Carrier to Noise Ratio) verliert die FM diesen Modulationsgewinn. Es treten durch Phasensprünge Fehler bei der Bestimmung der Momentanfrequenz auf, die sich in kurzen Nadelimpulsen im Signal äußern. Dieser Verlust des Modulationsgewinnes beginnt unterhalb von 12 dB CNR und führt unterhalb 5,5…9 dB CNR (FM-Schwelle) zu einer starken Verschlechterung des Empfanges.

Die „Fischchenbildung“ beim analogen Satellitenfernseh-Empfang ist z. B. auf dieses Problem zurückzuführen.

Darstellung im Frequenzbereich, Spektrum mini|Besselfunktionen , , …