350px|mini|Sprungantwort des idealen PID-Reglers mit den Zeitkonstanten T und Verstärkungsfaktor K Der in einem Regelkreis eingebundene Regler wirkt so auf eine Regelstrecke ein, dass sich eine zu regelnde Größe, die Regelgröße, mit Hilfe einer negativen Rückführung unabhängig von Störeinflüssen auf das Niveau der gewählten Führungsgröße einstellt.
In unserer Umwelt vorkommende zeitabhängige Prozesse können näherungsweise mit dem mathematischen Modell eines dynamischen Systems abgebildet werden. Diesbezügliche Modelle haben mindestens einen Signaleingang und einen Signalausgang und werden mathematisch über Laplace-transformierte Differentialgleichungen als Übertragungsfunktionen G(s) definiert. Dies gilt sowohl für die Regler als auch für die Regelstrecken und die Regelkreise.
Bekannte Effekte des Regler-Verhaltens sind verstärkende (P-), integrierende (I-) und differenzierende (D-) Eigenschaften. Diese Regler in Kombination der dargestellten Varianten des Zeitverhaltens werden als P-, I-, PI-, PD-, PID-Regler bezeichnet. Es existieren aber noch viele andere spezielle Reglerausführungen.
Beispiel eines idealen PID-Reglers in der Summendarstellung der Parameter:
(Anmerkung: Signalflussplan im Abschnitt PID-Regler entspricht der Paralleldarstellung).
Bei unstetigen Reglern ist die Ausgangsgröße gestuft. Darunter fallen die Zweipunktregler, Mehrpunktregler und Fuzzy-Regler. Optimal angepasste unstetige Regler können ein besseres dynamisches Verhalten der Regelgröße erzielen als die Standardregler.
Siehe auch Hauptartikel Regelungstechnik, Artikel Regelkreis, Artikel Regelstrecke.
Geschichte der Regler
Die Geschichte der Regelungstechnik bzw. die Beschäftigung des Menschen mit der Regelungstechnik begann zwischen dem 3. Jahrhundert v. Chr. und dem 1. Jahrhundert n. Chr. im antiken Griechenland. Das einer Regelung zugrunde liegende Rückkopplungsprinzip ist keine Erfindung des Menschen, sondern ein seit je stattfindendes Naturphänomen. Die moderne Regelungstechnik begann zur Zeit der industriellen Revolution unter Verwendung mechanischer Bauteile. Ihr größter Fortschritt wurde durch die Entwicklung der Elektronik und schließlich durch die elektronische Rechentechnik ermöglicht.
In Bezug zur technischen Gestaltung und der zugehörigen mathematischen Werkzeuge der Regler sind folgende Ereignisse zu nennen:
1788 James Watt: Fliehkraftregler (Zentrifugalregulator) zur Drehzahlregelung von Dampfmaschinen. 1868 James Clerk Maxwell: Theoretische Analyse des Fliehkraftreglers. 1911 Elmer Ambrose Sperry: Reale PID-Regler. 1922 Nicolas Minorsky: Herleitung der korrekten mathematischen Formulierung des PID-Reglers. 1935 Elektrischer Verstärker. 1942 Ziegler / Nichols: Einstellregeln für P-, PI-; PD-, PID-Regler. 1945 Bode: Frequenzganganalyse 1960 Rudolf Kalman: Kalman-Filter, Zustandsraum, Zustandsregler und Zustandsbeobachter. 1965 Lotfi Zadeh: Fuzzy-Set-Theorie als Grundlage für spätere Fuzzy-Regler. 1974 Günther Schmidt: Universalregler auf Mikroprozessor-Basis (Digitalregler), mit H. Birk.
Grundlagen der Regler Einteilung der Regler Allgemein werden die Regler nach stetigem und unstetigem Verhalten unterschieden. Zu den bekanntesten stetigen Reglern gehören die „Standardregler“ mit P-, PI-, PD- und PID-Verhalten. Ferner gibt es unter den stetigen Reglern verschiedene Sonderformen mit angepasstem Verhalten, um schwierige Regelstrecken regeln zu können. Dazu gehören beispielsweise Regelstrecken mit Totzeiten, mit nichtlinearem Verhalten, mit Drift der Streckenparameter und bekannten und unbekannten Störgrößen.
Bei unstetigen Reglern ist die Ausgangsgröße gestuft. Darunter fallen die Zweipunktregler, Mehrpunktregler und Fuzzy-Regler. Optimal angepasste unstetige Regler können ein besseres dynamisches Verhalten der Regelgröße erzielen als die Standardregler.
Für komplexere Regeleinrichtungen mit nichtlinearen Regelstrecken oder mehrere miteinander verknüpfte Regelgrößen und Stellgrößen sind besonders angepasste Regler – meist digitale Regler – erforderlich. Hierbei kommen vermaschte Regelungen, Mehrgrößenregelungen, Regelungen im Zustandsraum, modellbasierte Regelungen usw. zum Einsatz.
Stetige Regler mit analogem oder digitalem Verhalten können für lineare Regelstrecken verwendet werden. Digitale Regler haben den Vorteil einer universellen Anpassung an die unterschiedlichsten Regelaufgaben, jedoch verlangsamen sie den Regelprozess durch die Abtastzeit der Regelgröße und Rechenzeit im Einsatz bei schnellen Regelstrecken.
Viele nicht stabile Regelstrecken, die zum Beispiel durch positive Rückkopplungseffekte (Mitkopplung) entstehen können, sind ebenfalls mit klassischen linearen Reglern beherrschbar.
Der Entwurf der Regler ist in dem Artikel „Regelkreis“ dargestellt. Siehe auch Artikel „Regelstrecke“ und „Regelungstechnik“.
Beschreibungsfunktionen der Standardregler Die Übertragungsfunktion ist die häufigste mathematische Beschreibung des Verhaltens linearer Regelkreisglieder und damit die Beschreibung der Regler. Sie entsteht durch die Laplace-Transformation der systembeschreibenden linearen gewöhnlichen Differentialgleichung und ist eine mathematische Beschreibung des Eingangs- und Ausgangsverhaltens eines linearen, zeitinvarianten Übertragungssystems im Frequenzbereich (s-Bereich) mit der komplexen Variable .
Die unabhängige Variable ist ein Symbol für eine vollzogene Laplace-Transformation eines Differentialquotienten. Die Variable – mit einem Exponenten für den Grad der Ableitungen – in verschiedenen Darstellungsarten der Übertragungsfunktion kann beliebig algebraisch behandelt werden, enthält aber keinen Zahlenwert.
Durch die Nullstellenbestimmung lässt sich die Übertragungsfunktion der Polynomdarstellung im Zähler und Nenner in elementare Produkte aufspalten, die als Linearfaktoren bezeichnet werden. Je nach Größe der Zahlenwerte einer Übertragungsfunktion in Polynomdarstellung können die Nullstellen der Polynomzerlegung als Null, als eine reelle Zahl oder als eine konjugiert komplexe Zahl auftreten.
Der Frequenzgang [früher auch ] beschreibt das Verhalten eines linearen zeitinvarianten Übertragungssystems für sinusförmige Ein- und Ausgangssignale.
Die Übertragungsfunktion ist im Gegensatz zum Frequenzgang keine messbare Größe. Die Entstehungsweisen beider Beschreibungsfunktionen und auch deren Anwendung sind unterschiedlich, jedoch kann jederzeit die Übertragungsfunktion bei gleichen Koeffizienten in den Frequenzgang und umgekehrt der Frequenzgang in die Übertragungsfunktion überführt werden, indem der Realteil der komplexen Variablen Null gesetzt wird.
Die Anwendung der Übertragungsfunktion als gebrochen-rationale Funktion ist algebraisch und damit eine große Vereinfachung des mathematischen Aufwandes, lineare Übertragungssysteme zu beurteilen und zu berechnen. So können bei Kenntnis der Übertragungsfunktionen der Regelstrecke durch den Regler Anteile der Strecke mit gleichen Zeitkonstanten kompensiert werden. Dies bedeutet, Linearfaktoren mit Nullstellen des Reglers kompensieren Linearfaktoren mit Polstellen der Strecke um die Ordnung des offenen Regelkreises zu reduzieren. Dies ist sowohl algebraisch als auch durch Betrachtung im Bodediagramm verständlich. Die Auslegung des Regelkreises vereinfacht sich auf diese Weise.
Üblich sind folgende zwei Darstellungsformen der Übertragungsfunktion in der Produktdarstellung:
Übertragungsfunktion (Linearfaktor) in der Pol-Nullstellen-Darstellung:
Vorteil: Pole und Nullstellen können für die Frequenzgang-Darstellung direkt abgelesen werden. Übertragungsfunktion (Linearfaktor) in der Zeitkonstanten-Darstellung:
Die Zeitkonstanten errechnen sich aus den Polen und Nullstellen. Die beiden Schreibweisen sind mathematisch identisch. Vorteil: Das Zeitverhalten des Systems kann direkt abgelesen werden. Der Verstärkungsfaktor der Übertragungsfunktion bleibt konstant bei Änderung der Zeitkonstante. Die Produktdarstellung mit den Zeitkonstanten hat den höheren Bekanntheitsgrad.
In der linearen Regelungstechnik und Systemtheorie ist es eine willkommene Tatsache, dass praktisch alle vorkommenden regulären (stabilen) Übertragungsfunktionen bzw. Frequenzgänge von Regelkreisgliedern auf drei Grundformen geschrieben bzw. zurückgeführt werden können. Die Linearfaktoren haben eine völlig unterschiedliche Bedeutung, je nachdem ob sie im Zähler oder im Nenner einer Übertragungsfunktion stehen.
Stehen die Linearfaktoren im Zähler, haben sie eine differenzierende Wirkung, stehen sie im Nenner, haben sie eine verzögernde (speichernde) Wirkung:
{| class="wikitable" |- class="hintergrundfarbe5" ! Typ Linearfaktor || Bedeutung im Zähler || Bedeutung im Nenner |- | Nullstelle „Absolutglied fehlt“|| Differenzierer, D-Glied || Integrator, I-Glied |- | Nullstelle „reelle Zahl“|| PD1-Glied || Verzögerung, PT1-Glied |- | || PD2-Glied: für 0 < D < 1mit konjugiert komplexen Nullstellen || Schwingungsglied PT2-Glied: für 0 < D < 1 mit konjugiert komplexen Polen |} Dabei ist T die Zeitkonstante, s die komplexe Frequenz, D der Dämpfungsgrad.
Übertragungssysteme können definiert werden als: Reihenschaltung: . Es gilt das Superpositionsprinzip. Die Systeme in Produktdarstellung können in der Reihenfolge beliebig verschoben werden, Systemausgänge werden nicht durch nachfolgende Eingänge belastet. Parallelschaltung: , Gegen- und Mitkopplung:
Die linearen Standard-Regler wie: P-Regler (P-Glied) mit proportionalem Verhalten, I-Regler (I-Glied) mit integralem Verhalten, PI-Regler (1 P-Glied, 1 I-Glied) mit proportionalem und integralem Verhalten, PD-Regler (PD-Glied) mit proportionalem und differentialem Verhalten, PID-Regler (1 I-Glied, 2 PD-Glieder) mit proportionalem, integralem und differentialem Verhalten
lassen sich bereits mit den ersten beiden Grundformen und der Übertragungsfunktionen laut Tabelle in faktorieller Darstellung beschreiben.
Stetige lineare Regler Grundlagen des Regelkreises: Ein Regelkreis ist stabil, wenn nach einer endlichen Einstellung der Führungsgröße oder bei Vorliegen von Störsignalen seine Regelgröße endlich bleibt. Ändert sich die Führungsgröße gegen Null, dann klingt die Regelgröße gegen Null ab. Asymptotische Stabilität: Ein Übertragungssystem (Regelkreis) ist intern stabil, wenn alle (Teil-)Übertragungsfunktionen nur Pole (Nullstelle des Nennerpolynoms) in der linken s-Halbebene haben. Verhalten eines Reglers: Das Verhalten eines unbekannten stetigen Reglers kann durch eine Sprungantwort oder Impulsantwort grafisch ermittelt und daraus eine mathematische Beschreibung gebildet werden. Das Verhalten eines Reglers im Regelkreis kann nur bei Kenntnis der Übertragungsfunktionen G(s) der Regelstrecke bestimmt werden. Vorzugsweise bedient man sich mit dem Verfahren der Pol-Nullstellen-Kompensation (PD-Glieder des Reglers kompensieren PT1-Glieder der Regelstrecke, I-Glieder kompensieren D-Glieder). Komponenten einer Regelstrecke: Sind die mathematischen Komponenten einer Regelstrecke in Form einer Übertragungsfunktion G(s) bekannt, können die Eigenschaften eines optimalen Reglers bestimmt werden. Typische mathematische Modelle der Regelstreckenkomponenten mit stetigem Verhalten: PT1-Glieder, Instabile T1-Glieder, I-Glieder, Totzeitglieder, Allpassglieder als Ersatztotzeit, PT2_kk-Glieder. Differenzierende Übertragungsglieder sind selten in einer Regelstrecke zu finden. Häufig findet man in Regelstrecken nichtlineare statische Übertragungsglieder wie Hysterese, Begrenzungseffekte, Nichtlineare Kennlinie und andere. Regelkreisverhalten: Anforderungen für das Verhalten des Regelkreises sind z. B. Folgeverhalten, Gütekriterien für das Einschwingen der Regelgröße, gutes Störverhalten, Großsignalverhalten und andere laut Lastenheft. Parametrierung des Reglers: