Die lineare Stabilitätstheorie (kurz LST) beschreibt physikalisch in einer Strömung das Anwachsen wellenförmiger Störungen mit kleiner Amplitude. Durch Vorgabe eines stationären Strömungsfeldes lassen sich Anfachungsraten und Form der linearen Störungen in Abhängigkeit von Frequenz oder Wellenzahl bestimmen. Damit lässt sich gut erklären, warum sich für manche Strömungen kein stationärer Zustand einstellt. Trotz des lokalen Ansatzes kann mit ihr der anfängliche Bereich des laminar-turbulenten Umschlags bereits gut beschrieben werden. Die eN-Methode, die eine gängige Methode zur Abschätzung der Position des laminar-turbulenten Umschlags ist, basiert auf den Anfachungsraten aus der linearen Stabilitätstheorie.
Geschichte Viele in Natur und Technik auftretende Strömungen sind turbulent. Nur bei kleiner Reynolds-Zahl ergibt sich eine laminare Strömung. Lange Zeit war unklar, warum eine laminare Strömung umschlägt und sich stromab ein turbulenter Zustand einstellt. Eine der ersten Hypothesen war bereits, dass die laminare Strömung instabil sei. Ab den 1880er Jahren veröffentlichte John William Strutt, 3. Baron Rayleigh, verschiedene ErgebnisseL. Rayleigh: On the Stability, or Instability, of certain Fluid Motions. In: Scientific Papers. Vol. 1, 1880, S. 474–487. zur Instabilität reibungsfreier Strömungen und entdeckte, dass ein Strömungsfeld beim Auftreten eines Wendepunkts im Geschwindigkeitsprofil instabil wird. Damit konnte zwar bereits das instationäre Verhalten eines Freistrahls erklärt werden, jedoch blieb die Fragestellung, warum eine Grenzschicht turbulent wird, weiter offen. Geoffrey Ingram Taylor hatte bereits 1915 den Verdacht, dass die Reibung auch destabilisierend wirken könnte. Typischerweise wurde jedoch von einem stabilisierenden Einfluss der viskosen Terme ausgegangen, sodass Fritz Noether 1921 aufgrund der bisherigen Forschungsergebnisse den Ansatz kleiner Störungen als nicht erfolgreich bewertete.F. Noether: Das Turbulenzproblem. Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik, Vol. 1, 1921, S. 125–138. Bemerkenswerterweise stellte im gleichen Jahr Ludwig Prandtl ähnliche Vermutungen wie Taylor anL. Prandtl: Bemerkungen über die Entstehung der Turbulenz. In: Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik. Vol. 1, 1921, S. 431–436. und initiierte die Forschung zur reibungsbehafteten Stabilitätstheorie in Göttingen. Werner Heisenberg beschäftigte sich im Rahmen seiner DissertationW. Heisenberg: Über Stabilitat und Turbulenz von Flüssigkeitsströmen. 1924. mit dem laminar-turbulenten Umschlag, aber erst Walter Tollmien gelang es, die reibungsbehaftete Stabilitätstheorie zu entwickeln.W. Tollmien: Über die Entstehung der Turbulenz. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikasische Klasse. 1929, S. 21–44. Eine der ersten Anwendungen der linearen Stabilitätstheorie erfolgte 1933 durch Hermann Schlichting.H. Schlichting: Zur Entstehung der Turbulenz bei der Plattenströmung. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klasse. 1933, S. 181–208. Vor Beginn des Computerzeitalters führte Pretsch 1942 die ersten systematischen Stabilitätsrechnungen für Grenzschichten der Falkner-Skan Familie durch.J. Pretsch: Anfachung instabiler Störungen in einer laminaren Reibungsschicht. In: Jb. deutsche Luftfahrtforschung. 1942, S. 154–171.
Außerhalb Deutschlands fand die lineare Stabilitätstheorie anfangs wenig Beachtung, da die vorausgesagten Instabilitätswellen nicht gemessen werden konnten. Außerdem überwog Skepsis darüber, dass ein linearer Ansatz sinnvolle Aussagen für ein hochgradig nichtlineares Phänomen wie die Turbulenz ermöglichen sollte. Erst durch den experimentellen Nachweis von Instabilitätswellen in einer Plattengrenzschicht durch Schubauer und SkramstadtSchubauer, Skramstadt: Laminar Boundary Layer Oscillations and Transitions on a Flat Plate. In: NACA Report. 909, 1947. Anfang der 1940er wurde der Göttinger Ansatz bestätigt (aufgrund der kriegsbedingten Zensur erfolgte eine Veröffentlichung der Ergebnisse 1947). Smith und GamberoniA. Smith, N. Gamberoni: Transition, Pressure Gradient and Stability Theory. In: Douglas Aircraft Co. Report. No. ES-26388, 1956. sowie Van IngenVan Ingen: A Suggested Semi-Empirical Method for the Calculation of the Boundary-Layer Transition Region. Universität Delft, Report VTH-74, 1956. entwickelten aus der linearen Stabilitätstheorie die eN-Methode, die auch heutzutage noch zur Transitionsvorhersage eingesetzt wird. Mit Beginn des Computerzeitalters in den 1960er Jahren wurden die Stabilitätseigenschaften zahlreicher Grenzschichtkonfigurationen berechnet. In Überschallgrenzschichten konnte Mack 1982 zusätzliche Instabilitätsmoden mittels der linearen Stabilitätstheorie nachweisen,L. Mack: Boundary-layer linear stability theory. In: AGARD Special Course on Stability and Transition of Laminar Flow. AGARD R-709, 1984 die ihm zu Ehren auch als Mack-Moden bezeichnet werden.
Grundlagen der linearen Stabilitätstheorie Die lineare Stabilitätstheorie betrachtet die Stabilität einer Strömung gegenüber kleinen Störungen. Hierbei wird davon ausgegangen, dass das Strömungsfeld in Querrichtung konstant ist. Für die Grenzschicht bedeutet dies, dass an einer ebenen Platte mit der Strömungsrichtung und der wandnormalen Richtung die Grundströmung konstant über der spannweitigen Richtung ist, was einer unendlichen Ausdehnung in -Richtung entspricht. Um das Verhalten kleiner Störungen mathematisch erfassen zu können, werden die Strömungsgrößen in den Navier-Stokes-Gleichungen in eine vorzugebende stationäre Grundströmung und instationäre Störgrößen unterteilt. Für die drei Geschwindigkeitskomponenten in -, - und -Richtung sowie Dichte , Druck und Temperatur ergibt sich somit:
Annahmen Darauf aufbauend werden folgende Annahmen getroffen: Die stationäre Grundströmung erfüllt die Navier-Stokes-Gleichungen. Dadurch verschwinden in den Navier-Stokes-Gleichungen alle Terme, die keine Störgrößen enthalten. Parallele Grundströmung. Dabei wird z. B. das Aufdicken einer Grenzschicht vernachlässigt. Aus der Kontinuitätsgleichung folgt daraus, dass für die Grundströmung die normale Geschwindigkeitskomponente V0 vernachlässigt wird. Dadurch ergibt sich eine lokale Theorie, bei der jede Position x in Stromabrichtung separat betrachtet wird. Daraus folgt: Kleine Störungen. Unter der Annahme kleiner Störungen können die Gleichungen bezüglich der Grundströmung linearisiert werden. Damit verschwinden alle Quadrate der Störgrößen aus den Gleichungen.
Störansatz Für die Störgrößen wird ein Wellenansatz angesetzt, der z. B. für , die Störgeschwindigkeit in -Richtung, folgende Form hat:
Dies entspricht einer Welle mit den Wellenzahlen und in - beziehungsweise -Richtung mit der Frequenz , deren Amplituden- und Phasenverlauf eine Funktion von sind. Die einzelnen Größen sind im Allgemeinen komplex und haben folgende physikalische Bedeutung: = Wellenzahl in Strömungsrichtung (Wellenlänge ) = Wellenzahl in Querrichtung (Wellenlänge ) = Wellenzahl in Ausbreitungsrichtung = Kreisfrequenz (Periodendauer ) = räumliche Anfachungsrate in -Richtung (Anfachung für < 0) = zeitliche Anfachungsrate (Anfachung für > 0) = Amplitudenverlauf von über = Phasenverlauf von über = Phasengeschwindigkeit der Störwelle in -Richtung = Gruppengeschwindigkeit der Störwelle in -Richtung
Die spannweitige Wellenzahl ist aufgrund der unendlichen Ausdehnung der Strömung in -Richtung eine reelle Größe, da ein Imaginärteil einem räumlichen Wachstum in spannweitiger Richtung entspräche.
Zeitliches und räumliches Modell Bei der linearen Stabilitätstheorie wird zwischen zeitlichem und räumlichem Modell unterschieden. Beim zeitlichen Modell werden die reelle Wellenzahlen und vorgegeben, woraus sich die Frequenz und die zeitliche Anfachungsrate ergibt. Beim räumlichen Problem erhält man durch Vorgabe der Querwellenzahl und der reellen Frequenz eine die Wellenzahl in -Richtung und die räumliche Anfachungsrate .
Ob das zeitliche oder das räumliche Problem anzuwenden ist hängt von der jeweiligen Problemstellung ab: handelt es sich um eine konvektive Instabilität, ist das räumliche Problem zu wählen, bei einer absoluten Instabilität das zeitliche. In vielen Fällen ist die räumliche Betrachtungsweise realistischer, da z. B. in einer Grenzschicht die Störungen während des Anwachsens stromab konvektiert werden, was einem Anwachsen im Raum entspricht.
Gaster-Transformation Die Gaster-TransformationM. Gaster: A note on the relation between temporally-increasing and spatially-increasing disturbances in hydrodynamic stability. In: Journal of Fluid Mechanics. Vol. 14, 1962, S. 222–224., ermöglicht die Transformation zwischen zeitlichem und räumlichem Modell für nahezu neutrale Wellen, das heißt unter der Annahme kleiner Anfachungsraten:
wobei angenommen wird, dass sich Frequenz und -Wellenzahl im räumlichen und zeitlichen Modell nicht wesentlich unterscheiden:
Inkompressible Stabilitätsgleichungen Aufgrund der elliptischen Form der Kontinuitätsgleichung für inkompressible Strömungen, ergeben sich bei Vernachlässigung von Kompressibilitätseffekten die Orr-Sommerfeld- und Squire-Gleichung zur Beschreibung der linearen Stabilität. Diese bilden zusammen ein Gleichungssystem sechster Ordnung.
Orr-Sommerfeld-Gleichung Für inkompressible Strömungen wird das lineare Stabilitätsproblem durch die Orr-Sommerfeld-Gleichung beschrieben (nach William McFadden Orr 1907, Arnold Sommerfeld 1908):
Bei der Orr-Sommerfeldgleichung handelt es sich um eine gewöhnliche Differentialgleichung vierter Ordnung mit der komplexen Amplitudenfunktion als einzige Variable. Man kann die Gleichung auch als Eigenwertproblem mit dem Eigenwert und dem Eigenvektor verstehen. Da bis zu vierte Ableitungen der zu lösenden Größe auftreten, sind vier Randbedingungen erforderlich. Handelt es sich bei dem Rand um eine Wand, so ergeben sich aus der Haftbedingung und der Kontinuitätsgleichung:
Im Fall eines Freistromrandes muss die komplexe Amplitudenfunktion zum Fernfeld hin abklingen. Man kann zeigen, dass die Abklingrate in -Richtung der Wellenzahl in Stromabrichtung entspricht.
Squire-Gleichung Die Lösung der Orr-Sommerfeld-Gleichung liefert für die Störung der normalen Geschwindigkeitskomponente Amplituden- und Phasenverlauf. Für einen rein zweidimensionalen Fall (, ) lassen sich die Verläufe der anderen Geschwindigkeitskomponente aus der Kontinuitätsgleichung berechnen. Im allgemeinen dreidimensionalen Fall ist jedoch die Squire-Gleichung zur Berechnung der Querströmungskomponenten erforderlich:
mit der (wand)normalen Wirbelstärke
als zu lösender Größe aus der sich die Störgrößen der Geschwindigkeitskomponenten und berechnen lassen. Hierbei ist der sich aus der Orr-Sommerfeld-Gleichung ergebende Verlauf von auf der Rechthandseite zu verwenden. Die homogenen Lösungen der Squire-Gleichung (mit ) sind ebenfalls gültige und physikalisch sinnvolle Lösungen und werden Squire-Moden genannt. SquireH. B. Squire: On the Stability for Three-Dimensional Disturbances of Viscous Fluid Flow between Parallel Walls. Proc. Roy. Soc. A, Vol. 142. 1933. wies nach, dass diese Moden stets gedämpft sind.
Kompressible Stabilitätsgleichungen Berücksichtigt man die Kompressibilität, so lässt sich mit der Kontinuitätsgleichung nicht eine Größe aus den Gleichungen eliminieren, wie dies bei der inkompressiblen Betrachtungsweise der Fall war. Mit den oben genannten Annahmen sowie dem Störansatz ergibt sich ein Gleichungssystem achter Ordnung, welches aus fünf Gleichungen besteht. Entsprechend der Ordnung des Gleichungssystems sind insgesamt acht Randbedingungen zu erfüllen: