Die Bahnformel ist ein mathematischer Satz aus der Gruppentheorie. Sie wird oft kurz einprägsam zusammengefasst als: „Die Länge der Bahn ist der Index des Stabilisators.“
Der Bahnensatz
Formulierung
Sei eine Gruppe und eine Operation von auf einer Menge . Dann ist für jedes die Abbildung
eine wohldefinierte Bijektion. Dabei bezeichnet die Bahn von , den Stabilisator von und die Menge der Linksnebenklassen der Untergruppe in .
Beweis
Siehe: 16px Beweis des Bahnensatzes im Beweisarchiv
Aus dem Bahnensatz folgert man die Bahnformel.
Bahnformel
Im Fall ist . Dabei bezeichnet den Index von in . Für endliche Gruppen gilt daher die Bahnformel .
Beispiele Konjugation Jede Gruppe operiert auf sich selber vermöge der Konjugationsoperation . Die Bahn eines Elements bezeichnet man als Konjugationsklasse von . Der Stabilisator heißt Zentralisator von und wird mit bezeichnet. Die Bahnformel liefert somit für endliche Gruppen .
Transitive Operation Ist die Operation einer endlichen Gruppe auf transitiv, so ist . In diesem Fall muss also die Mächtigkeit von ein Teiler der Gruppenordnung sein.
Siehe auch Gruppenoperation Satz von Lagrange Eine elegante Anwendung der Bahnformel zeigt der Beweis von Ernst Witt (1931) des (kleinen) Satzes von Wedderburn (1905): „Jeder endliche Schiefkörper ist kommutativ.“
Literatur Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1. 2. Auflage. Carl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 67 Rainer Schulze-Pillot: Elementare Algebra und Zahlentheorie. ISBN 978-3-540-45379-6, S. 121–124
Weblinks (englisch)
Kategorie:Gruppentheorie