mini|Im dreidimensionalen euklidischen Raum bilden alle Ursprungsebenen und Ursprungsgeraden Untervektorräume. Ein Untervektorraum, Teilvektorraum, linearer Unterraum oder linearer Teilraum ist in der Mathematik eine Teilmenge eines Vektorraums, die selbst wieder einen Vektorraum darstellt. Dabei werden die Vektorraumoperationen Vektoraddition und Skalarmultiplikation von dem Ausgangsraum auf den Untervektorraum vererbt. Jeder Vektorraum enthält sich selbst und den Nullvektorraum als triviale Untervektorräume.
Jeder Untervektorraum ist das Erzeugnis einer linear unabhängigen Teilmenge von Vektoren des Ausgangsraums. Die Summe und der Durchschnitt zweier Untervektorräume ergibt wieder einen Untervektorraum, dessen Dimension über die Dimensionsformel ermittelt werden kann. Jeder Untervektorraum besitzt mindestens einen Komplementärraum, sodass der Ausgangsraum die direkte Summe aus dem Untervektorraum und seinem Komplement ist. Weiter kann jedem Untervektorraum ein Faktorraum zugeordnet werden, der dadurch entsteht, dass alle Elemente des Ausgangsraums entlang des Untervektorraums parallelprojiziert werden.
Untervektorräume werden in der linearen Algebra unter anderem dazu verwendet, Kern und Bild von linearen Abbildungen, Lösungsmengen von linearen Gleichungen und Eigenräume von Eigenwertproblemen zu charakterisieren. In der Funktionalanalysis werden insbesondere Untervektorräume von Hilberträumen, Banachräumen und Dualräumen untersucht. Untervektorräume besitzen vielfältige Anwendungen, beispielsweise bei numerischen Lösungsverfahren für große lineare Gleichungssysteme und für partielle Differentialgleichungen, bei Optimierungsproblemen, in der Kodierungstheorie und in der Signalverarbeitung.
Definition
Ist ein Vektorraum über einem Körper , so bildet eine Teilmenge genau dann einen Untervektorraum von , wenn sie nichtleer und abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation ist. Es muss also
für alle Vektoren und alle Skalare gelten. Dabei sind die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation im Untervektorraum die Einschränkungen der entsprechenden Operationen des Ausgangsraums .
Äquivalent zur ersten Bedingung kann man auch fordern, dass der Nullvektor von in enthalten ist. Enthält nämlich zumindest ein Element, dann ist aufgrund der Abgeschlossenheit von bezüglich der Skalarmultiplikation auch der Nullvektor in enthalten (setze ). Umgekehrt ist die Menge , wenn sie den Nullvektor enthält, nichtleer.
Mit Hilfe dieser drei Kriterien lässt sich überprüfen, ob eine gegebene Teilmenge eines Vektorraums ebenfalls einen Vektorraum bildet, ohne alle Vektorraumaxiome nachweisen zu müssen. Ein Untervektorraum wird häufig kurz als „Unterraum“ bezeichnet, wenn aus dem Kontext klar ist, dass es sich dabei um einen linearen Unterraum und nicht um einen allgemeineren Unterraum handelt.
Beispiele mini|Die Menge der Vektoren , für die gilt, bildet einen Untervektorraum der euklidischen Ebene.
Konkrete Beispiele
Die Menge aller Vektoren der reellen Zahlenebene bildet mit der üblichen komponentenweisen Vektoraddition und Skalarmultiplikation einen Vektorraum. Die Teilmenge der Vektoren, für die gilt, bildet einen Untervektorraum von , denn es gilt für alle :
der Koordinatenursprung liegt in
Als weiteres Beispiel kann man den Vektorraum aller reellen Funktionen mit der üblichen punktweisen Addition und Skalarmultiplikation betrachten. In diesem Vektorraum bildet die Menge der linearen Funktionen einen Untervektorraum, denn es gilt für :
die Nullfunktion liegt in , somit , somit
Allgemeinere Beispiele
Jeder Vektorraum enthält sich selbst und den Nullvektorraum , der nur aus dem Nullvektor besteht, als triviale Untervektorräume. Im -Vektorraum der reellen Zahlen sind die Menge und ganz die einzigen Untervektorräume. Im -Vektorraum der komplexen Zahlen sind die Menge der reellen Zahlen und die Menge der imaginären Zahlen Untervektorräume. In der euklidischen Ebene bilden alle Geraden durch den Nullpunkt Untervektorräume. Im euklidischen Raum bilden alle Ursprungsgeraden und Ursprungsebenen Untervektorräume. Im Vektorraum aller Polynome bildet die Menge der Polynome vom Maximalgrad für jede natürliche Zahl einen Untervektorraum. Im Vektorraum der quadratischen Matrizen bilden die symmetrischen und die schiefsymmetrischen Matrizen jeweils Untervektorräume. Im Vektorraum der reellen Funktionen über einem Intervall bilden die integrierbaren Funktionen, die stetigen Funktionen und die differenzierbaren Funktionen jeweils Untervektorräume. Im Vektorraum aller Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen über demselben Körper bildet die Menge der linearen Abbildungen einen Untervektorraum.
Eigenschaften
Vektorraumaxiome
Die drei Unterraumkriterien sind tatsächlich hinreichend und notwendig für die Gültigkeit aller Vektorraumaxiome. Aufgrund der Abgeschlossenheit der Menge gilt nämlich für alle Vektoren durch Setzen von
und damit weiter durch Setzen von
.
Damit enthält die Menge insbesondere den Nullvektor und zu jedem Element auch das additiv inverse Element . Also ist eine Untergruppe von und damit insbesondere eine abelsche Gruppe. Das Assoziativgesetz, das Kommutativgesetz, die Distributivgesetze und die Neutralität der Eins übertragen sich direkt von dem Ausgangsraum auf . Damit erfüllt alle Vektorraum-Axiome und ist ebenfalls ein Vektorraum. Umgekehrt muss jeder Untervektorraum die drei angegebenen Kriterien erfüllen, da die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation die Einschränkungen der entsprechenden Operationen von sind.
Darstellung mini|Die lineare Hülle eines Vektors in der euklidischen Ebene
Jede Teilmenge von Vektoren eines Vektorraums spannt durch Bildung aller möglichen Linearkombinationen
,
einen Untervektorraum von auf, den man die lineare Hülle von nennt. Die lineare Hülle ist der kleinste Untervektorraum, der die Menge umfasst und gleich dem Durchschnitt aller Untervektorräume von , die umfassen. Umgekehrt ist jeder Untervektorraum das Erzeugnis einer Teilmenge von , das heißt, es gilt
,
wobei man die Menge ein Erzeugendensystem von nennt. Ein minimales Erzeugendensystem besteht aus linear unabhängigen Vektoren und heißt Basis eines Vektorraums. Die Anzahl der Elemente einer Basis gibt die Dimension eines Vektorraums an.
Operationen
Durchschnitt und Vereinigung
Der Durchschnitt zweier Untervektorräume eines Vektorraums
ist stets selbst ein Untervektorraum.
Die Vereinigung zweier Untervektorräume
ist jedoch nur dann ein Untervektorraum, wenn oder gilt. Anderenfalls ist die Vereinigung zwar abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation, aber nicht bezüglich der Vektoraddition.
Summe
Die Summe zweier Untervektorräume eines Vektorraums
ist wieder ein Untervektorraum, und zwar der kleinste Untervektorraum, der enthält. Für die Summe zweier endlichdimensionaler Untervektorräume gilt die Dimensionsformel
,
woraus sich umgekehrt auch die Dimension des Durchschnitts zweier Untervektorräume ablesen lässt. Schnitt- und Summenbasen von Untervektorräumen endlicher Dimension lassen sich mit dem Zassenhaus-Algorithmus berechnen.
Direkte Summe
Besteht der Schnitt zweier Untervektorräume lediglich aus dem Nullvektor, ist also , so bezeichnet man die Summe als innere direkte Summe
,
denn sie ist isomorph zur äußeren direkten Summe der beiden Vektorräume. In diesem Fall gibt es zu jedem eindeutig bestimmte Vektoren , mit . Aus dem Dimensionssatz folgt dann, da der Nullvektorraum nulldimensional ist, für die Dimension der direkten Summe
,
was auch im unendlichdimensionalen Fall wahr ist.
Mehrere Operanden
Die vorangegangenen Operationen lassen sich auch auf mehr als zwei Operanden verallgemeinern. Ist eine Familie von Untervektorräumen von , wobei eine beliebige Indexmenge ist, dann bildet der Durchschnitt dieser Untervektorräume
wiederum einen Untervektorraum von . Weiter ergibt auch die Summe mehrerer Untervektorräume
wieder einen Untervektorraum von , wobei im Fall einer Indexmenge mit unendlich vielen Elementen nur endlich viele Summanden ungleich dem Nullvektor sein dürfen. Eine solche Summe heißt direkt und wird dann mit
bezeichnet, wenn der Schnitt jedes Untervektorraums mit der Summe der übrigen Untervektorräume den Nullvektorraum ergibt. Das ist äquivalent dazu, dass jeder Vektor eine eindeutige Darstellung als Summe von Elementen der Untervektorräume besitzt.
Abgeleitete Räume
Komplementärraum
Zu jedem Untervektorraum von existiert mindestens ein Komplementärraum , sodass
gilt. Jedem solchen Komplementärraum entspricht genau eine Projektion auf den Untervektorraum , also eine idempotente lineare Abbildung , mit der
gilt, wobei die identische Abbildung ist. Im Allgemeinen existieren mehrere Komplementärräume zu einem Untervektorraum, von denen durch die Vektorraumstruktur keiner ausgezeichnet ist. In Skalarprodukträumen ist es allerdings möglich, von zueinander orthogonalen Untervektorräumen zu sprechen. Ist endlichdimensional, dann existiert zu jedem Untervektorraum ein eindeutig bestimmter orthogonaler Komplementärraum, der gerade das orthogonale Komplement von ist, und es gilt dann
.
Faktorraum
Jedem Untervektorraum eines Vektorraums kann ein Faktorraum zugeordnet werden, der dadurch entsteht, dass alle Elemente des Untervektorraums miteinander identifiziert werden und so die Elemente des Vektorraums entlang des Untervektorraums parallelprojiziert werden. Formal ist der Faktorraum definiert als Menge der Äquivalenzklassen
von Vektoren in , wobei die Äquivalenzklasse eines Vektors
die Menge der Vektoren in ist, die sich von nur um ein Element des Untervektorraums unterscheiden. Der Faktorraum bildet einen Vektorraum, wenn die Vektorraumoperationen vertreterweise definiert werden, er ist aber selbst kein Untervektorraum von . Für die Dimension des Faktorraums gilt
.
Die Untervektorräume von sind genau die Faktorräume , wobei Untervektorraum von mit ist.
Annihilatorraum
Der Dualraum eines Vektorraums über einem Körper ist der Raum der linearen Abbildungen von nach und damit selbst ein Vektorraum. Für eine Teilmenge von bildet die Menge aller Funktionale, die auf verschwinden, einen Untervektorraum des Dualraums, den sogenannten Annihilatorraum
.
Ist endlichdimensional, so gilt für die Dimension des Annihilatorraums eines Untervektorraums von
.
Der Dualraum eines Untervektorraums ist damit isomorph zum Faktorraum .
Untervektorräume in der linearen Algebra
Lineare Abbildungen
Ist eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen und über dem gleichen Körper, dann bildet der Kern der Abbildung
einen Untervektorraum von und das Bild der Abbildung
einen Untervektorraum von . Weiterhin ist der Graph einer linearen Abbildung ein Untervektorraum des Produktraums . Ist der Vektorraum endlichdimensional, so gilt für die Dimensionen der involvierten Räume der Rangsatz
.
Die Dimension des Bilds nennt man auch Rang und die Dimension des Kerns auch Defekt der linearen Abbildung. Nach dem Homomorphiesatz ist dabei das Bild isomorph zum Faktorraum .
Lineare Gleichungen
Ist wiederum eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen über dem gleichen Körper, dann ist die Lösungsmenge der homogenen linearen Gleichung
ein Untervektorraum von , und zwar gerade der Kern von . Die Lösungsmenge einer inhomogenen linearen Gleichung
mit ist hingegen, sofern sie nichtleer ist, ein affin-linearer Unterraum von , was eine Folge der Superpositionseigenschaft ist. Die Dimension des Lösungsraums ist dann ebenfalls gleich der Dimension des Kerns von .
Eigenwertprobleme
Ist nun eine lineare Abbildung eines Vektorraums in sich, also ein Endomorphismus, mit zugehörigem Eigenwertproblem
,
dann ist jeder zu einem Eigenwert zugehörige Eigenraum