mini|Die Fano-Ebene mit 7 Punkten und 7 Geraden. Sie kann als ein Hypergraph mit 7 Knoten (den „Punkten“ der Inzidenzstruktur, in der Abbildung sind das gefüllte Kreise) und 7 Kanten (den „Geraden“ der Inzidenzstruktur, in der Abbildung sind das die 6 Strecken und der Kreis) aufgefasst werden. Die Fano-Ebene (nach dem italienischen Mathematiker Gino Fano) ist eine Inzidenzstruktur, die sich sowohl als linearer Raum als auch als projektive Ebene, zweidimensionaler projektiver Raum oder als Blockplan auffassen lässt.
In der synthetischen Geometrie ist sie das Minimalmodell einer projektiven Ebene. Ihr affiner Ausschnitt, der durch Ausschneiden einer projektiven Geraden entsteht, ist das Minimalmodell einer affinen Ebene.
Die Automorphismengruppe der Fano-Ebene ist die Gruppe ihrer Projektivitäten, symbolisch als dargestellt, da sie formal eine Faktorgruppe der allgemeinen linearen Gruppe ist, tatsächlich ist sie zu dieser isomorph. ist eine einfache Gruppe und zählt in der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen zu den kleinsten nichtkommutativen einfachen Gruppen. Sie zählt dort zu den Gruppen vom Lie-Typ.
Daneben werden im Sprachgebrauch der synthetischen Geometrie diejenigen projektiven oder (seltener) affinen Ebenen als Fano-Ebenen bezeichnet, in denen das Fano-Axiom gilt. Die Fano-Ebene, wie sie dieser Artikel beschreibt, ist in diesem axiomatischen Sinn keine Fano-Ebene, denn sie erfüllt das projektive Fano-Axiom nicht.
Definitionen mini|Die Fano-Ebene mit binären Punktnummern (rot), die abkürzend für homogene Koordinaten stehen Visualisierung, Definition als Hypergraph Die Fano-Ebene lässt sich durch die Zeichnung eines gleichseitigen Dreiecks mit Höhen und Inkreis visualisieren (erste Abbildung oben) und definieren. Die 7 Elemente von , die Punkte, sind die drei Eckpunkte, die drei Höhenfußpunkte und der Mittelpunkt des Inkreises. Die 7 Elemente von , die Geraden, sind dann die Dreieckseiten, die Höhen und der Inkreis. Aus dem Satz von Sylvester-Gallai folgt, dass es keine Darstellung gibt, bei der alle Geraden tatsächlich Geraden der euklidischen Ebene sind. Dieses Bild kann – im Sinne der Graphentheorie – als ein Hypergraph mit Knoten (den Punkten) und Kanten (den Strecken und dem Inkreis) und damit als Modell der Fano-Ebene angesehen werden.
Konkrete, aufzählende Definition als Inzidenzstruktur Die folgende (symmetrische) Inzidenzstruktur wird als Fano-Ebene bezeichnet: Punktmenge: oder Geradenmenge: oder
Inzidenzrelation : Für gilt und
In dieser konkreten Definition durch Aufzählung können die 7 „binären“ Punktsymbole (vergleiche die Abbildung rechts: usw.) einfach als eigenwillige Symbole für 7 verschiedene Punkte genommen werden. Tatsächlich stehen sie abkürzend für Koordinatentripel, wie weiter unten erläutert wird. Die zweite, kompaktere Darstellung der Punkte- und Geradenmenge entsteht jeweils durch die Interpretation dieser Punktsymbole als Zahlen im Dualsystem und deren Umrechnung ins Dezimalsystem.
Definition als projektiver Raum Gleichwertig lässt sich die Fano-Ebene mit der Sprache der linearen Algebra definieren als der zweidimensionale projektive Raum über dem endlichen Körper mit zwei Elementen. Dieser Körper wiederum kann durch den Restklassenkörper modelliert werden.
Äquivalenz der Definitionen Die Fano-Ebene ist im Sinne der synthetischen Geometrie eine endliche projektive Ebene der Ordnung 2 mit 7 Geraden und 7 Punkten, ihre symbolische Abkürzung lautet . Bei der axiomatischen Beschreibung projektiver Ebenen ergibt sich dies, indem man direkt anhand der konkret definierten Inzidenzstruktur die Gültigkeit der Axiome überprüft.
Bei der Definition als zweidimensionaler projektiver Raum über dem Körper betrachtet man den Vektorraum , dessen eindimensionalen Unterräume sind dann die Punkte der projektiven Ebene, seine zweidimensionalen Unterräume die Geraden und die Inzidenzrelation ist die mengentheoretische Teilmengenrelation „“. Somit erhält man (formal)
als Punktmenge: und als Geradenmenge: . Dabei stehen die Symbole für die von dem Vektor bzw. den Vektoren erzeugten linearen Unterräume des . Die Bedingung in der Definition der Geradenmenge ist für diesen Vektorraum gleichwertig zur linearen Unabhängigkeit der zwei Vektoren, solange der Nullvektor ausgeschlossen wird.
Punktkoordinaten Nun kann man im visualisierten Modell (gleichseitiges Dreieck mit Höhen und Inkreis) ein vollständiges Viereck, also eine geordnete, vierelementige Punktmenge , bei der keine drei Punkte auf einer Geraden liegen, als projektive Punktbasis auswählen und diesen Punkten in der gegebenen Reihenfolge die (Erzeugnisse der) Standardbasis des nebst Einheitspunkt zuweisen: usw. – formal genauer: , denn der projektive Punkt entspricht einem eindimensionalen Unterraum, also dem Erzeugnis von . Nun wird die Schreibweise noch etwas informeller gemacht und weiter verkürzt: Wir vereinbaren als Abkürzung für die oben beschriebene Zuordnung.
In der zweiten Abbildung oben wurde dies durchgeführt. Dabei wurden die Ecken in der Reihenfolge „rechts 100, oben 010, links 001“ zu den ersten drei Basispunkten und der Höhenschnittpunkt zum Einheitspunkt , die Koordinaten der übrigen Punkte ergeben sich so: Der dritte Punkt auf einer Geraden muss sich durch binäre Addition ohne Überträge (auch Exclusiv-Oder-Verknüpfung XOR genannt) der anderen beiden Punkte auf der Geraden ergeben. Zum Beispiel: , in Worten: Der Mittelpunkt der unteren Seite des gleichseitigen Dreiecks (101) liegt auf der unteren Seite (erste „Summe“), der Höhe zu dieser Seite (zweite „Summe“) und auf dem Inkreis (dritte „Summe“). Dass diese Gleichungen für die „Summen“ aufgehen, bedeutet nun gerade, dass der Vektor im jeweiligen Erzeugnis der summierten, verschiedenen Koordinatenvektoren liegt. Da die drei Seitenmitten, also gerade die Punkte, die nicht zum vollständigen Viereck gehören, mit dieser Regel konsistent koordinatisiert werden können, ist die „Visualisierung als gleichseitiges Dreieck“, formal genauer: der entsprechende Hypergraph zu isomorph. Die Definition durch Aufzählung gibt nun aber einfach die Punktmenge und Geradenmenge des Hypergraphen wieder und ist daher zu den beiden anderen Modellen isomorph.
Eigenschaften Die Fano-Ebene ist ein zweidimensionaler projektiver Raum über einem endlichen Körper im Sinne der linearen Algebra. Damit ist sie auch ein linearer Raum. Sie ist eine pappussche zweidimensionale projektive Geometrie und also eine projektive Ebene im Sinne der synthetischen Geometrie. Jede projektive Ebene der Ordnung 2 ist zur Fano-Ebene isomorph und es existiert keine projektive Ebene kleinerer Ordnung.Dembowski (1968), Kapitel 1 Sie ist ein symmetrischer (7,3,1)-Blockplan, damit ist sie der kleinste Hadamard-Blockplan.
Entartungen Durch ihre Kleinheit weist die Fano-Ebene einige Besonderheiten auf: Sie erfüllt den Satz von Pappos sozusagen „leer“: Da es keine nichtentarteten Sechsecke der Art, wie sie die Pappos-Konfiguration erfordert, gibt, fallen (mindestens) zwei der sechs Ecken zusammen. Dann fallen aber auch mindestens zwei „Schnittpunkte von Gegenseiten“ zusammen und die Aussage des Satzes, dass diese drei Schnittpunkte auf einer Geraden liegen, wird trivial. Da eine nicht entartete Desargues-Konfiguration zehn verschiedene Punkte erfordert, wird auch der Satz von Desargues letztendlich trivial erfüllt. Sie ist die einzige projektive Ebene über einem Schiefkörper, in der jede projektive Perspektivität mit einem Zentrum außerhalb einer Achse zwingend die Identität ist. Durch die Vorgaben sind die „freien“ Punktmengen auf den Geraden durch das Zentrum einpunktig (mindestens ein Punkt jeder dieser Geraden liegt auf , ein weiterer ist das Zentrum). Also wird auch die Transitivitätsforderung an Ebenen der Lenz-Barlotti-Klasse VII.2 leer erfüllt. Dieser Klasse VII.2 gehört die Fano-Ebene also wie jede andere desarguessche Ebene an. Das Doppelverhältnis ist entartet, da es auf keiner Geraden vier verschiedene Punkte gibt. Die Fano-Ebene ist die einzige projektive Ebene, in der der Einheitspunkt zur Definition einer projektiven Punktbasis eigentlich überflüssig ist: Im Vektorraummodell enthält jeder eindimensionale Raum neben dem Nullvektor nur einen weiteren Punkt, das heißt, die indirekte Zuordnung „Basisvektor → eindimensionaler Unterraum ↔ projektiver Punkt“ ist hier auch zum Basisvektor hin umkehrbar, ohne dass ein Einheitspunkt zu Hilfe genommen werden muss; dies gilt ganz genau so für die projektiven Räume beliebiger Dimension , wenn, aber auch nur dann, wenn der Körper genau zwei Elemente hat. Bei der Wahl der Punktbasis in der Ebene zeigt sich diese Besonderheit so: Hat man für die Punktbasis drei nicht kollineare Punkte gewählt – für diese Wahl gibt es bei Berücksichtigung der Reihenfolge immerhin Möglichkeiten – dann gibt es stets genau noch einen Punkt in der Ebene, der nicht zu zwei der gewählten Punkte kollinear ist! In der Automorphismengruppe von drückt sich die zuletzt genannte Besonderheit dadurch aus, dass aus der für beliebige Körper gültigen Isomorphieaussage die Aussage folgt, denn die multiplikative Gruppe ist für den zweielementigen Körper die Einsgruppe.
Dualisierung mini|Eine projektive, hyperbolische Polarität in der Fano-Ebene: Jedem Punkt wird eine Gerade zugeordnet, jeder Geraden ein Punkt, so dass dabei die Inzidenzrelation umgekehrt wird. Eine abstrakte Dualisierung der Fano-Ebene erhält man, indem man in einer der Definitionen Punktmenge und Geradenmenge vertauscht und die Inzidenzrelation umkehrt, also die Inzidenzstruktur Die Inzidenzrelation ist nach Definition wie in jeder projektiven Ebene symmetrisch, daher ist und betrachtet. Die so aus abgeleitete Inzidenzstruktur ist stets wieder eine Inzidenzstruktur und für eine projektive Ebene (im Sinne der synthetischen Geometrie) auch wieder eine projektive Ebene derselben Ordnung. Für desarguessche projektive Ebenen und also auch für die Fano-Ebene ist die duale Struktur zur Ausgangsstruktur isomorph. Dies zeigt man mit Hilfe eines konkreten Isomorphismus (einer Korrelation), der vom gewählten Koordinatensystem abhängt. Eine solche Korrelation (hier genauer: eine projektive, hyperbolische Polarität) wird im nachfolgenden Abschnitt beschrieben:
Geradenkoordinaten und Dualität Im Vektorraummodell lässt sich jede Gerade, also jeder zweidimensionale Unterraum des durch eine homogene Geradengleichung beschreiben. Der Koordinatenvektor der Geraden (Geradenkoordinaten) ist also . Einem Punkt mit den projektiven Punktkoordinaten wird die Gerade mit den homogenen Geradenkoordinaten zugeordnet und umgekehrt. Die Abbildung rechts zeigt die Zuordnungen für die in diesem Artikel getroffene Wahl der Punktbasis: Die Punkte unten im Bild werden durch diese Korrelation den Geraden, die direkt über ihnen stehen, zugeordnet, die Geraden dem direkt unter ihnen stehenden Punkt. Zum Beispiel wird der 3. Basispunkt 001, der rechte untere Eckpunkt des Dreiecks, der Geraden mit der Gleichung (der linken Dreieckseite) zugeordnet , die Höhe durch die obere Spitze mit der Gleichung ihrem Höhenfußpunkt 101.
Im Bild rechts stellen die Strecken in der Mitte zwischen den rot hervorgehobenen Geraden und Punkten die Inzidenzrelation dar, die durch die Dualisierung umgekehrt wird: , bzw. mengentheoretisch , im Vektorraummodell , wobei das Kleinerzeichen für „ist linearer Teilraum von“ steht.
Kollineationsgruppe Die Automorphismengruppe der Fano-Ebene ist die Gruppe ihrer Kollineationen; sie stimmt mit der Gruppe ihrer Projektivitäten überein, da der zweielementige Primkörper keine nichtidentischen Körperautomorphismen zulässt. Sie operiert scharf transitiv auf den geordneten nichtkollinearen Punktetripeln und hat daher die Ordnung , die gleiche Ordnung ergibt sich aus der Formel für die Ordnung der allgemeinen linearen Gruppe. Sie ist nichtabelsch und einfach (d. h. sie hat nur die trivialen Normalteiler).