mini|Gerade quadratische Pyramide mini|Schiefe quadratische Pyramide mini|hochkant=1.6|Unregelmäßige schiefe Pyramiden mit konvexem bzw. nichtkonvexen Polygon als Grundfläche
In der Geometrie ist eine Pyramide ein Polyeder, also ein geometrischer Körper, dessen Kanten die Kanten eines Polygons und außerdem die Verbindungsstrecken der Ecken des Polygons mit der Spitze sind. Das Polygon ist die Grundfläche der Pyramide. Die Spitze der Pyramide liegt nicht in der Ebene der Grundfläche.
Im bekanntesten Fall ist das Polygon ein Quadrat und die Spitze ist ein Punkt senkrecht über dem Mittelpunkt des Quadrats. In diesem Fall entsteht eine gerade quadratische Pyramide. Liegt die Spitze nicht über dem Mittelpunkt des Quadrats, entsteht eine schiefe quadratische Pyramide.
Die Oberfläche der Pyramide, also die Gesamtheit der Seitenflächen einer Pyramide, besteht aus der Grundfläche und aus Dreiecken mit dem gemeinsamen Punkt . Die Dreiecke bilden zusammen die Mantelfläche der Pyramide. Die Kanten des Polygons heißen Grundkanten und die Kanten durch Seitenkanten.
Ist das Polygon regelmäßig, d. h. sind die Kanten gleich lang und liegen die Ecken auf einem Kreis mit Mittelpunkt , so heißt die Pyramide regelmäßig. Ist zusätzlich der Lotfußpunkt von auf die Kreisebene, so heißt die Pyramide gerade. Die Dreiecke sind dann alle kongruent und gleichschenklig. Alle anderen Pyramiden heißen schief.Kleine Enzyklopädie Mathematik. 2. völlig überarbeitete Auflage, Harri Deutsch, Thun (CH) / Frankfurt 1977, ISBN 3-87144-323-9, S. 208.
Eigenschaften Allgemeine Pyramide Hat das Polygon Ecken und den Flächeninhalt und ist die Höhe der Pyramide , so gilt:Hans-Joachim Bartsch: Mathematische Formeln. 5., unveränderter Nachdruck der 11. Auflage, Buch- und Zeit-Verlagsgesellschaft, Köln 1977, S. 152. Anzahl der EckenAnzahl der KantenAnzahl der FlächenVolumenHöhe des SchwerpunktsAbbildung für rahmenlos|150x150px
Der Schwerpunkt der Pyramide teilt die Strecke zwischen dem Mittelpunkt der Grundfläche und der Spitze im Verhältnis .
Im Fall nennt man die Pyramide Tetraeder.
Jede Pyramide ist selbstdual bezüglich der Anordnung der Ecken, Kanten und Flächen.
Gerade quadratische Pyramide mini|Gerade quadratische Pyramide: Bezeichnungen
Es sei die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche und die Höhe der Pyramide. Dann hat die gerade quadratische Pyramide folgende geometrische Eigenschaften: Anzahl der Ecken5Anzahl der Kanten8Anzahl der Flächen5SteilkantenlängeHöhe der gleichschenkligen DreieckeFlächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks VolumenOberflächeninhalt
Weitere Eigenschaften enthält der Abschnitt Formeln für gerade regelmäßige Pyramiden.
Definition als Johnson-Körper mini|hochkant=1.5|Links: Johnson-Körper Rechts: Gerade quadratische Pyramide mit maximalem Volumen bei gegebenem Oberflächeninhalt
Eine quadratische Pyramide, deren vier dreieckige Seitenflächen gleichseitig sind, ist der einfachste Johnson-Körper, abgekürzt mit . In diesem Fall gilt und die Pyramide ist ein halbes reguläres Oktaeder.
Maximales Volumen Sind für alle geraden quadratischen Pyramiden mit gegebenem Oberflächeninhalt diejenigen mit dem größten Volumen gesucht, dann kann die Seitenlänge und die Höhe in Abhängigkeit von bestimmt werden.
Eine Herleitung für diese Größen geht so:
Man löst die Gleichung nach auf, setzt die einzige Lösung für in die differenzierbare Funktion ein und bestimmt das lokale Maximum von . Dabei ist der Oberflächeninhalt eine gegebene Konstante und die Seitenlänge ist die Variable der Funktion . Beachte, dass , , , positive reelle Zahlen sind.
Wendet man die Kettenregel der Differentialrechnung auf die Funktion an, dann gilt:
Wegen hat die Volumenfunktion genau an den Stellen ein lokales Extremum, wo die Funktion ein lokales Extremum hat. Daraus ergibt sich schließlich folgende einzige Lösung:
Daraus folgt
Bei gegebenem Oberflächeninhalt sind alle Größen der quadratischen Pyramide mit maximalem Volumen eindeutig bestimmt. Für dieses Volumen gilt
Formeln für gerade regelmäßige Pyramiden Tabelle Die folgende Tabelle enthält Formeln für geometrische Eigenschaften (Größen) einer allgemeinen geraden regelmäßigen Pyramide, einer geraden quadratischen Pyramide und einer geraden regelmäßigen Dreieckspyramide.
mini|hochkant=2.5|center|Gerade regelmäßige Pyramiden: Bezeichnungen für die Formeltabelle
Größen einer geraden regelmäßigen Pyramide (regelmäßiges n-Eck mit Seitenlänge a als Grundfläche und Höhe h)Allgemeiner FallGerade quadratische Pyramide (Spezialfall n = 4)Gerade regelmäßige Dreieckspyramide (Spezialfall n = 3)VolumenOberflächeninhaltSteilkantenlängeUmkugelradiusInkugelradiusInnenwinkel der regelmäßigen GrundflächeBasiswinkel der gleichschenkligen DreieckeInnenwinkel an der Spitze der gleichschenkligen DreieckeDiederwinkelzwischen Grundfläche und gleichschenkligen DreieckenDiederwinkel zwischen den gleichschenkligen DreieckenWinkel zwischen Seitenkante und der regelmäßigen GrundflächeWinkel zwischen Höhe und SeitenkanteRaumwinkel in den Ecken der GrundflächeRaumwinkel in der Spitze Bemerkungen: Für die Herleitung der meisten Formeln werden der Satz des Pythagoras, Sätze für trigonometrischen Funktionen und Sätze für den Arkustangens verwendet.
Der Raumwinkel in den Ecken der Grundfläche, wo drei Seitenflächen (ein regelmäßiges -Eck und zwei gleichschenklige Dreiecke) mit den Innenwinkeln , , zusammentreffen, wird mit dem Satz von L’Huilier berechnet (siehe Raumwinkel - Kanten-Formel).Wolfram MathWorld: Spherical Excess
Der Raumwinkel in der Spitze, wo Seitenflächen zusammentreffen, kann auch mit dem Satz von L’Huilier berechnet werden, indem die regelmäßige Pyramide in nicht regelmäßige Tetraeder mit den Kantenlängen , , , , , zerlegt wird, wobei der Umkreisradius der regelmäßigen Grundfläche ist. Dabei wird der Raumwinkel in der Spitze wegen Rotationssymmetrie in gleich große und kongruente Teilwinkel zerlegt. Also haben diese nicht regelmäßigen Tetraeder dort eine gemeinsame Ecke. In dieser Ecke treffen jeweils drei Seitenflächen mit den Innenwinkeln , , zusammen.
Eine andere Möglichkeit, den Raumwinkel in der Spitze zu berechnen, ist, die Formel von H. C. Rajpoot für den rotationssymmetrischen Ecken-Raumwinkel anzuwenden. Dabei müssen die Innenwinkel aller Seitenflächen, die in einer Ecke zusammentreffen, gleich groß sein, was für alle regelmäßigen Pyramiden der Fall ist.
Spezialfälle mini|hochkant|Pyramide als Teil eines Ikosaeders
Für bestimmte Werte von und ergeben sich Zusammenhänge mit platonischen Körpern:
Für und ergibt sich das regelmäßige Tetraeder. Für und ergibt sich eine quadratische Pyramide, die ein halbes reguläres Oktaeder ist. Für und ergibt sich eine regelmäßige fünfseitige Pyramide, die ein Teil des Ikosaeders ist.
Maximales Volumen im allgemeinen Fall mini|hochkant=1.2|Pyramiden mit maximalem Volumen bei vorgegebener gegebenem Oberflächeninhalt für , , , .Der Kegel mit derselben Eigenschaft und demselben Oberflächeninhalt ist jeweils rot dargestellt.
Mit einer analogen Herleitung wie für eine gerade quadratische Pyramide (siehe oben) kann man beweisen:
Unter allen geraden regelmäßigen Pyramiden mit einem regelmäßigen -Eck als Grundfläche mit gegebenem Oberflächeninhalt hat diejenige das größte Volumen, für die gilt:
Daraus folgt
Für den Beweis kann man die Gleichung nach auflösen, die einzige Lösung für in die differenzierbare Funktion einsetzen und bestimmt das lokale Maximum von .
Bemerkungen: Ist stattdessen unter allen geraden regelmäßigen Pyramiden mit gegebenem Volumen diejenige mit dem kleinsten Oberflächeninhalt gesucht, dann ergibt sich als Lösung im Wesentlichen dieselbe Pyramide. Von allen geraden regelmäßigen Pyramiden hat diese die größte Sphärizität.
Der Umkreisradius der regelmäßigen Grundfläche ist
Das maximale Volumen ist .
Für gegen unendlich konvergiert monoton fallend gegen und konvergiert monoton steigend gegen .
Dies ist die Höhe eines Kegels mit maximalem Volumen bei gegebener Oberflächeninhalt . Bei der Herleitung wird der Grenzwert verwendet.Der Radius des Basiskreises des Kegels ist , seine Höhe und sein Volumen .
Für den Quotienten der Volumen gilt
Dieser Quotient konvergiert gegen 1.
Zusammenhang mit dem Kreiskegel mini|Pyramide zur Approximation eines Kegels
Regelmäßige Pyramiden, die ein regelmäßiges Vieleck als Grundfläche haben, können verwendet werden, um einen Kreiskegel zu approximieren, der nach Definition einen Kreis als Grundfläche hat.
Wenn die Grundfläche ein regelmäßiges -Eck ist, kann formal der Grenzwert für unendlich großes gebildet werden. Der Kreiskegel kann sozusagen als regelmäßige Pyramide aufgefasst werden, wobei die Grundfläche unendlich viele Ecken und die Seitenlänge des -Ecks den Grenzwert 0 hat.
Im Folgenden soll auf diese Weise das Volumen des Kreiskegels hergeleitet werden.
Mithilfe der Formel für den Flächeninhalt eines regelmäßigen -Ecks (siehe Regelmäßiges Polygon – Umfang und Flächeninhalt) ergibt sich für das Volumen der regelmäßigen Pyramide, wenn der Umkreisradius des -Ecks bekannt ist:
Um das Volumen des Kreiskegels zu bestimmen, kann der Grenzwert für gegen unendlich gebildet werden. Dieser Grenzwert ergibt sich mit Hilfe der Formel :
Formeln für das Volumen Für die Berechnung des Volumens einer allgemeinen Pyramide gibt es mehrere Möglichkeiten.
Berechnung mit Hilfe des Spatprodukts Für eine von den Vektoren aufgespannte dreiseitige Pyramide (allgemeines Tetraeder) kann das Volumen mit Hilfe des Spatprodukts berechnet werden:
Jedes beliebige Vieleck kann in Dreiecke zerlegt werden, deren Ecken mit den Ecken des Vielecks übereinstimmen. Daher kann jede allgemeine Pyramide in allgemeine Tetraeder zerlegt werden. Wenn die Koordinaten aller Ecken bekannt sind, sind auch alle entsprechenden Vektoren bekannt und das Volumen der allgemeinen Pyramide kann als Summe der Volumen dieser allgemeinen Tetraeder berechnet werden.
Elementargeometrischer Beweis Die Volumenformel
lässt sich elementargeometrisch in zwei Schritten beweisen:
Ein Würfel kann in drei kongruente Pyramiden mit quadratischer Grundfläche zerlegt werden, deren Spitzen mit derselben Ecke des Würfels übereinstimmen. Die Grundfläche dieser drei gleichen Pyramiden sind die drei Seitenflächen des Würfels, die diese Ecke nicht enthalten. Zwei Pyramiden mit gleicher Höhe, deren Grundflächen denselben Flächeninhalt haben, haben dasselbe Volumen. Zum Beweis dieser Aussage kann man das Prinzip von Cavalieri und die Gesetze der zentrischen Streckung heranziehen.
Beweis mit Hilfe der Integralrechnung Das Volumen einer allgemeinen Pyramide mit der Grundfläche und der Höhe kann berechnet werden, wenn man sich vorstellt, dass die Pyramide aus beliebig dünnen Schichten besteht, die parallel zur Grundfläche sind.
Die -Achse sei so definiert, dass sie durch die Spitze der Pyramide verläuft und orthogonal zur Grundfläche ist. Dann ist die Höhe der Pyramide Teil der -Achse. Bezeichnet man den Flächeninhalt der Schicht im Abstand von der Spitze mit , dann ist eine reelle Funktion mit der Variablen . Aus den Eigenschaften der zentrischen Streckung kann man eine Formel für herleiten:
Daraus ergibt sich das Volumen der Pyramide als Integral der Funktion auf dem Intervall nach dem Prinzip von Cavalieri:
Vermessung eines Pyramidenbauwerks mini|Betrachtung aus der Entfernung und Sehwinkelbestimmung in vereinfachter Form
Bei einer großen Pyramide lassen sich die Kantenlängen der Basis direkt gut vermessen, jedoch nicht die Höhe, die nicht direkt zugänglich ist. Im Folgenden sollen die grundsätzlichen Schwierigkeiten dargelegt werden, die nicht so sehr mit der Methodik des Messverfahrens selbst zusammenhängen. Ein einfaches geometrisches Verfahren zur Höhenbestimmung größerer Objekte ist die Betrachtung aus der Entfernung und die Bestimmung des Sehwinkels (in vereinfachter Form durch die nebenstehende Grafik aufgezeigt).