Die nach Carl Gustav Jacob Jacobi benannte jacobische Differentialgleichung ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form
Ein wichtiger Spezialfall ist die Euler-homogene Differentialgleichung (nach Leonhard Euler), auch Ähnlichkeitsdifferentialgleichung genannt Heidrun Günzel: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Oldenbourg-Verlag, 2008, ISBN 978-3486-58555-1, S. 55,
Transformation auf Euler-homogene Differentialgleichung
Hier muss eine Fallunterscheidung danach gemacht werden, ob verschwindet oder nicht.
Nichtverschwindende Determinante
Wegen gibt es (eindeutige) mit
Dann folgt
Nun gilt: Für jede Lösung der Euler-homogenen Differentialgleichung
ist Lösung der ursprünglichen jacobischen Differentialgleichung, denn man erhält
Somit wird das Lösen einer jacobischen Differentialgleichung auf das Lösen einer Euler-homogenen Differentialgleichung zurückgeführt.
Verschwindende Determinante
Sei nun . Es sind drei Fälle zu unterscheiden.
Der Fall
Dieser Fall ist trivial, da die rechte Seite Differentialgleichung nicht mehr von abhängt.
Der Fall
Für alle Lösungen der separierten Differentialgleichung
ist Lösung der jacobischen Differentialgleichung, denn es gilt
Also ist hier das Verfahren der Trennung der Veränderlichen anwendbar.
Der Fall
Dies geht analog zum vorigen Fall: Für alle Lösungen der separierten Differentialgleichung
ist Lösung der jacobischen Differentialgleichung.
Transformation der Euler-homogenen Gleichung auf Trennung der Veränderlichen
Gegeben sei eine Euler-homogene Differentialgleichung . Für jede Lösung der separierten Differentialgleichung
ist Lösung der Euler-homogenen Differentialgleichung wegen
Die Differentialgleichung für kann man mit dem Verfahren der Trennung der Veränderlichen weiter behandeln.
Literatur Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 3. Auflage. B.G. Teubner Stuttgart, 1995, ISBN 3-519-22227-2
Einzelnachweise
Kategorie:Gewöhnliche Differentialgleichung Kategorie:Carl Gustav Jacob Jacobi als Namensgeber