mini|400px|Bei der eindimensionalen Irrfahrt geht man in jedem Schritt (x-Achse) mit Wahrscheinlichkeit 1/2 nach oben oder unten (y-Achse), fünf mögliche Pfade sind dargestellt. Ist die Position auf der y-Achse zum Zeitpunkt n, so erhält man ein Martingal .
Als Martingal bezeichnet man in der Wahrscheinlichkeitstheorie einen stochastischen Prozess, der über den bedingten Erwartungswert definiert wird und sich dadurch auszeichnet, dass er im Mittel fair ist. Martingale entstehen auf natürliche Weise aus der Modellierung fairer Glücksspiele. Vereinfacht kann man sagen, dass ein Martingal ein Nullsummenspiel beschreibt. Martingale wurden von Paul Lévy in die Mathematik eingeführt.
Eng verwandt mit den Martingalen sind die Supermartingale, dies sind stochastische Prozesse, bei denen im Mittel ein Verlust auftritt, und Submartingale, dies sind stochastische Prozesse, bei denen im Mittel ein Gewinn auftritt.
Definition Diskreter Fall Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum sowie eine Filtrierung . Gegeben sei ein stochastischer Prozess auf , für den gilt: Der Prozess ist ein integrierbarer Prozess, das heißt, es ist für alle . Der Prozess ist adaptiert an , das heißt, ist -messbar für alle .
Dann heißt ein Martingal (bezüglich ), wenn
gilt.
Dabei bezeichnet den bedingten Erwartungswert der Zufallsvariablen , gegeben die σ-Algebra .
Zeitstetiger Fall Sind ein Wahrscheinlichkeitsraum sowie eine beliebige, geordnete Indexmenge (meist ) und eine Filtrierung gegeben, so heißt ein integrierbarer, an -adaptierter Prozess ein Martingal (bezüglich ), wenn für alle gilt .
Die Definition im diskreten Fall ist ein Spezialfall der Definition des zeitstetigen Falls. Denn ist ein diskretes Martingal, so gilt, gemäß der Turmregel,
Induktiv folgt für alle .
Supermartingale und Submartingale Ein integrierbarer und adaptierter diskreter stochastischer Prozess heißt Submartingal, wenn ,
und Supermartingal, wenn
gilt. Im stetigen Falle definiert man analog ein Submartingal über .
und ein Supermartingal über .
Submartingale sind also im Gegensatz zu Martingalen tendenziell steigend, Supermartingale tendenziell fallend.
Bemerkung Die Eigenschaft, ein (Sub-/Super-)Martingal zu sein, kommt nicht stochastischen Prozessen allein zu, sondern immer einem stochastischen Prozess in Kombination mit einer Filtrierung. Daher sollte die Filtrierung immer mit angegeben werden. Manche Autoren geben keine Filtrierung mit an, wenn sie die von dem Prozess selbst erzeugte Filtrierung verwenden, die durch gegeben ist. Wenn ein Martingal bezüglich einer Filtrierung ist, dann ist es auch ein Martingal bezüglich .
Allgemeiner Fall Sei eine halbgeordnete Menge, ein Banachraum, ein Wahrscheinlichkeitsraum mit einer Filtration und ein -wertiger Prozess darauf. Dann nennt man ein --Martingal, falls -adaptiert ist, ist , das heißt , -fast sicher für alle mit ist. Falls zusätzlich gilt, dass ist , das heißt , dann ist ein -Martingal oder kurz -Martingal.
Mehrdimensionaler Fall Analog ist ein -dimensionaler Prozess ein Martingal in einem Raum , falls jede Komponente ein ein-dimensionales Martingal in ist.
Motivierendes Beispiel Der Begriff des Martingals lässt sich als Formalisierung und Verallgemeinerung eines fairen Glücksspiels auffassen. Sei dazu das Startkapital des Spielers. Dieses wird in vielen Fällen eine Konstante sein, aber auch ein zufälliges Startkapital ist denkbar. Der zufällige Gewinn im ersten Spiel werde mit bezeichnet. Er kann positiv, null oder negativ (also ein Verlust) sein. Das Kapital des Spielers nach dem ersten Spiel beträgt und allgemein nach dem -ten Spiel
wenn den Gewinn im -ten Spiel bezeichnet. Bei einem fairen Glücksspiel ist der Erwartungswert jedes Gewinns gleich null, d. h., es gilt für alle .
Der Spielverlauf werde nun bis zum Zeitpunkt einschließlich beobachtet, d. h. die Kapitalstände seien bekannt. Falls nun der Gewinn im nächsten, also im -ten, Spiel unabhängig vom bisherigen Spielverlauf ist, dann berechnet sich das erwartete Gesamtkapital nach dem nächsten Spiel unter Berücksichtigung aller zur Verfügung stehenden Informationen mit Hilfe der Rechenregeln für bedingte Erwartungswerte als
Damit ist gezeigt, dass sich das Kapital eines Spielers, der an einem fairen Glücksspiel teilnimmt, als Martingal modellieren lässt.
Bei realen Glücksspielen, wie beispielsweise beim Roulette, ist jedoch wegen des Bankvorteils der erwartete Gewinn bei jedem Spiel im Allgemeinen negativ, also . Dann ergibt sich analog zur obigen Rechnung
Aus Sicht des Spielers handelt es sich in diesem Fall um ein Supermartingal (Merkspruch: „Supermartingale sind super für die Spielbank“).
Beispiele Von einer Filtrierung erzeugtes Martingal Ist ein Wahrscheinlichkeitsraum, eine Filtration und eine -integrierbare Zufallsvariable auf . Dann wird durch
ein Martingal (bezüglich ) definiert.
Um zu zeigen, dass es sich um ein Martingal handelt, rechnet man die Definition nach: .
Somit handelt es sich um ein Martingal. Dabei ist die erste Umformung das Einsetzen der Definition, die zweite eine Anwendung der Turmregel des bedingten Erwartungswertes und die dritte wieder Einsetzen der Definition.
Pólya-Urne In einer Pólya-Urne liegen zu Beginn eine schwarze und eine weiße Kugel. In jedem Schritt wird eine Kugel zufällig aus der Urne gezogen und im Anschluss mit einer weiteren gleichfarbigen Kugel gemeinsam zurückgelegt. Wenn die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne nach Schritten bezeichnet, so ist ein Martingal bzgl. der kanonischen Filtrierung.
Doob-Martingal Ein Spezialfall des obigen Martingals sind Doob-Martingale: Ist eine P-integrierbare Zufallsvariable gegeben und wird die Filtrierung durch eine Folge von Zufallsvariablen erzeugt, also ,
so heißt das Martingal, welches durch
definiert wird, ein Doob-Martingal (benannt nach Joseph L. Doob).
Epidemiemodelle Martingale werden auch in der mathematischen Theorie der Epidemien angewendet. Das Ende einer Epidemie ist eine Stoppzeit. So können Formeln für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der finalen Größe der Epidemie abgeleitet werden.Philippe Picard: Application of Martingale theory to some epidemic models. In: J. of Applied Probability. Band 17, 1980, S. 583–599.Claude Lefèvre, Philippe Picard: On the formulation of discrete-time epidemic models. In: Mathematical Biosciences. Band 95, 1989, S. 27–35.
Beispiele für zeitstetige Martingale mini|Wiener-Prozess als Beispiel für ein Martingal Ein Wiener-Prozess ist ein Martingal, ebenso sind für einen Wiener-Prozess die Prozesse und die geometrische brownsche Bewegung ohne Drift Martingale. Ein Poisson-Prozess mit Rate , der um seinen Drift bereinigt wird, also , ist ein Martingal. Nach der Itō-Formel gilt: Jedes Itō-Integral (mit beschränktem Integranden) ist ein Martingal. Nach dem Itoschen Martingaldarstellungssatz lässt sich umgekehrt jedes Martingal (sogar jedes lokale Martingal) bezüglich einer von einer Brownschen Bewegung erzeugten Filtration als Ito-Integral bezüglich ebendieser Brown’schen Bewegung darstellen. Jedes stetige Martingal ist entweder von unendlicher Variation oder konstant. Jedes gestoppte Martingal ist wieder ein Martingal. mini|Gestoppte Brownsche Bewegung als Beispiel für ein Martingal
Eigenschaften Erwartungswert Sei ein Martingal. Es gilt, für alle ,
Falls total geordnet ist, so ist der Erwartungswert von allen also gleich. Wenn beispielsweise das Kapital eines Glücksspielers zum Zeitpunkt modelliert, so ist das Glücksspiel also in der Tat fair, denn der Erwartungswert des Kapitals ist gleich dem Anfangskapital. Rechenregeln ist genau dann ein Submartingal, wenn ein Supermartingal ist. Sind (Sub-)Supermartingale und ist , dann ist auch ein (Sub-)Supermartingal. Sind Martingale, so ist auch ein Martingal für . Sind Supermartingale, dann ist auch
ein Supermartingal. Sind Submartingale, dann ist auch
ein Submartingal. Ist eine konvexe Funktion und ein Martingal und gilt , so ist ein Submartingal.
Einfluss der Filtrierung Sind zwei Filtrierungen gegeben und ist kleiner als in dem Sinne, dass für jedes gilt , so ist jedes -Martingal auch ein -Martingal.
Orthogonalität Seien zwei quadratintegrierbare Martingale mit und seien ihre terminalen Werte, dann heißen sie schwach orthogonal wenn , stark orthogonal wenn ein gleichmäßig-integrierbares Martingal ist oder äquivalent wenn .
Quadratische Variation und Exponentialmartingal Ist die quadratische Variation eines stetigen beschränkten Martingals (oder eines mit endlichen exponentiellen Momenten) endlich, so ist der stochastische Prozess
ebenfalls ein Martingal.
Ebenso ist das sogenannte Exponentialmartingal von , gegeben durch
ein Martingal. Dies folgt aus dem Kazamaki-Kriterium.
Wichtige Aussagen über Martingale Ungleichungen Die wichtigsten Ungleichungen im Bezug auf Martingale sind die Doobsche Maximalungleichung und die Aufkreuzungsungleichung. Die Doobsche Maximalungleichung liefert eine Abschätzung dafür, welcher Maximalwert eines Martingals bis zu einem gegebenen Zeitpunkt nicht überschritten wird. Die Aufkreuzungsungleichung liefert eine Aussage darüber, wie oft ein Submartingal ein vorgegebenes Intervall von unten nach oben durchquert.
Kombination mit Stoppzeiten Das Optional Stopping Theorem und das Optional Sampling Theorem kombinieren Stoppzeiten mit Martingalen und beschäftigen sich mit den Eigenschaften und Erwartungswerten der gestoppten Prozesse. Mit diesen Ergebnissen kann man zeigen, dass keine Abbruchstrategie für ein faires Spiel existiert, die für den Spieler vorteilhaft ist.
Martingaltransformation
Ein Martingal und ein vorhersagbarer, lokal beschränkter Prozess lassen sich mittels des diskreten stochastischen Integrals zu einem neuen Martingal kombinieren. Man nennt diesen Prozess dann die Martingaltransformierte des ursprünglichen Martingals. Die Martingaltransformierte ist wieder ein Martingal. Dies hat weitreichende Folgen für die Existenz von Spielstrategien in fairen Spielen, die dem Spieler im Mittel Gewinn bringen. Modelliert das Martingal das faire Spiel und der vorhersagbare, lokal beschränkte Prozess die Spielstrategie, so folgert aus der Martingaltransformation, dass es keine Spielstrategie gibt, die dem Spieler im Allgemeinen einen Vorteil bringt.
Doob-Zerlegung Die Doob-Zerlegung erlaubt für jeden adaptierten integrierbaren stochastischen Prozess eine Zerlegung in ein Martingal und einen vorhersagbaren Prozess.
Martingalkonvergenzsatz Der Martingalkonvergenzsatz liefert für Zufallsvariablen, die ein Martingal bilden, Kriterien, unter denen sie fast sicher oder im p-ten Mittel konvergieren.
Abgeleitete Prozessklassen Lokale Martingale Lokale Martingale sind Prozesse, für die eine monoton wachsende Folge von Stoppzeiten existiert, so dass für jede Stoppzeit der gestoppte Prozess ein Martingal ist.
Semimartingale Semimartingale sind eine Klasse von adaptierten Prozessen mit Càdlàg-Pfaden (Die Pfade sind rechtsseitig stetig und die linksseitigen Limites existieren), die sich in ein lokales Martingal, ein Prozess mit lokal endlicher Variation und einen fast sicher endlichen Anteil zerlegen lassen.
Rückwärtsmartingale Rückwärtsmartingale sind Martingale, bei denen die Indexmenge umgekehrt wird. Sie laufen quasi „falschherum“ bzw. von hinten nach vorne.
Herkunft des Wortes