Eine Drehstreckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung, die sich als Kombination der beiden geometrischen Operationen Drehung und Streckung darstellen lässt.
Im 2D-Raum (Ebene) ist sie durch zwei Transformationsparameter charakterisiert, bei zusätzlicher Parallelverschiebung durch vier Parameter. Im hier nicht behandelten 3D-Fall sind es vier bzw. sieben Parameter, siehe 7-Parameter-Transformation.
Euklidische Ebene Zentrum im Ursprung
Jede Drehstreckung (mit Ausnahme der Identität) hat genau einen Fixpunkt, auch Zentrum genannt. Liegt dieser Fixpunkt im Koordinatenursprung, so lässt sich die Drehstreckung als Matrixmultiplikation schreiben:
Dabei ist der Skalierungsfaktor und der Drehwinkel.
In der komplexen Ebene lässt sich die gleiche Abbildung als komplexe Multiplikation schreiben:
Zentrum beliebig
Liegt der Fixpunkt der Drehstreckung außerhalb des Ursprungs, so muss man entweder noch eine Translation der Koordinaten vornehmen, oder mit homogenen Koordinaten rechnen:
Die Koordinaten beschreiben dabei eine abschließende Verschiebung. Der Fixpunkt der Abbildung lässt sich daraus durch Lösen eines linearen Gleichungssystems ermitteln.
Auch die allgemeine Form einer Drehstreckung mit beliebigem Zentrum kann man in der komplexen Ebene ausdrücken:
In dieser Form findet sich die Position des Zentrums als Lösung der Fixpunktgleichung besonders einfach:
Für und beschreiben die Formeln eine Parallelverschiebung, die nicht zu den Drehstreckungen gezählt wird, da sie sich nicht aus einer Drehung und einer Streckung zusammensetzen lässt. Ist allerdings zugleich (bzw. ), stellen die Formeln die identische Abbildung dar, die als Spezialfall zu den Drehstreckungen zählt, zusammensetzbar aus einer Drehung um 0° und einer Streckung mit dem Faktor 1.
Ein wichtiger Satz Zwei gleichsinnig ähnliche Figuren (das sind ähnliche Figuren mit gleicher Orientierung) in der euklidischen Ebene entstehen entweder durch eine Verschiebung oder eine Drehstreckung.
Eine Eigenschaft: Zwei Kreise
Sei eine Drehstreckung, die den Kreis auf abbildet, mit und Fixpunkt .
Dann sind für jeden Punkt die Punkte , und kollinear.
Beweis:
, da Drehung und zentrische Streckung winkeltreu sind.
, denn wenn der Radius die Sehne schneidet, dann schneidet die Sehne nicht ‒ und umgekehrt. Daher ist einer dieser Winkel ß und der andere 180°-ß.
Somit sind und kollinear.
Siehe auch Drehung Zentrische Streckung Ähnlichkeitstransformation
Weblinks Interaktive Demonstration einer Drehstreckung
Einzelnachweise
Kategorie:Geometrische Abbildung