Eine gewöhnliche Differentialgleichung (oft abgekürzt mit GDGL oder ODE, englisch ordinary differential equation) ist eine Differentialgleichung, bei der zu einer gesuchten Funktion nur Ableitungen nach genau einer Variablen auftreten.
Viele physikalische, chemische und biologische Vorgänge lassen sich mit solchen Gleichungen mathematisch beschreiben, z. B. der radioaktive Zerfall, Bewegungsvorgänge von Körpern, viele Arten von Schwingungsvorgängen oder das Wachstumsverhalten von Tier-Populationen. In naturwissenschaftlichen Modellen werden gewöhnliche Differentialgleichungen daher häufig eingesetzt, um solche Vorgänge zu analysieren, zu simulieren oder um Vorhersagen abgeben zu können.
In vielen Fällen kann die Differentialgleichung nicht analytisch gelöst werden. Trotzdem lassen sich qualitative Aussagen wie Stabilität, Periodizität oder Bifurkation auch dann treffen, wenn die Differentialgleichung nicht explizit gelöst werden kann. Für praktische Anwendungen werden die Lösungen meist näherungsweise mithilfe numerischer Verfahren berechnet. Siehe Hauptartikel: Liste numerischer Verfahren#Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen.
Historische Entwicklung Die ersten Differentialgleichungen wurden verwendet, um die Bewegung von Objekten zu modellieren. Besonders hervorzuheben sind dabei die Gleichungen für die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit bzw. konstanter Beschleunigung. Im Jahr 1590 erkannte Galileo Galilei den Zusammenhang zwischen der Fallzeit eines Körpers und seiner Fallgeschwindigkeit sowie dem Fallweg und formulierte (noch) mit geometrischen Mitteln das Gesetz des freien Falles.
Als Isaac Newton auch Bewegungen mit Reibungen betrachtete, die zum Betrag oder zum Quadrat der Geschwindigkeit proportional sind, war er genötigt, die Differentialrechnung und den heute geläufigen Formalismus der Differentialgleichungen einzuführen.
Durch die exakte Formulierung des Grenzwertbegriffes, der Ableitung und des Integrals stellte schließlich Augustin-Louis Cauchy im 19. Jahrhundert die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen auf ein festes Fundament und machte sie somit vielen Wissenschaften zugänglich.
Begriffsdefinitionen der Differenzialgleichungen (DGL) Funktion Kontra-FunktionGewöhnliche Differenzialgleichung (GDGL):Fachbuch: Jürgen Koch / Martin Stämpfle: „Mathematik für das Ingenieurstudium“, Kapitel: „Gewöhnliche Differenzialgleichungen“, „Lineare Differenzialgleichungen“.Gewöhnlich bedeutet, die gesuchte Funktion hängt nur von einer Variablen ab. Die GDGL enthält mindestens eine Ableitung von der gesuchten Funktion.Partielle Differenzialgleichung: (PDGL)Die gesuchte Funktion hängt von mehreren Variablen ab undenthält auch Ableitungen dieser Variablen.Lineare Differenzialgleichung: y(x) und Ableitungen davon dürfen nur in der 1. Potenz vorkommen und keine Winkelfunktionen enthalten. Die Koeffizienten der DGL sind Funktionen.Notation: Nichtlineare Differenzialgleichung:Die gesuchte Funktion und deren Ableitungen enthalten Potenzen höherer Ordnung oder Winkelfunktionen. Die Koeffizienten der DGL sind Funktionen.Notation: Lineare GDGL mit konstanten Koeffizienten: (Spezialfall)Die Koeffizienten vor und den Ableitungen sind nur Konstanten.Notation: Nichtlineare GDGL mit konstanten Koeffizienten:Die Koeffizienten vor und den Ableitungen sind nur Konstanten.Notation: Explizite (ausdrücklich, eindeutig) Darstellung der gewöhnlichen DGL:Die höchste Ableitung links vor dem Gleichheitszeichen ist freigestellt.Notation: Implizite (indirekt formuliert) Darstellung der gewöhnlichen DGL:Wenn die DGL nicht nach der höchsten Ableitung aufgestellt ist.Notation: .Homogene Darstellung der linearen DGL:Die rechte Seite der DGL nach dem Gleichheitszeichen ist Null.Die homogene DGL ist für nichtlineare DGL-en nicht definiert, weil nicht sinnvoll.Notation: Inhomogene Darstellung der linearen DGL:Die rechte Seite nach dem Gleichheitszeichens ist ungleich Null (Störfunktion).Die inhomogene DGL ist für nichtlineare DGL-en nicht definiert, weil nicht sinnvoll.Notation: .Lösung der homogenen linearen DGL:Die (Trivial)-Lösung ist Null, wenn der Anfangswert gewählt wird.Die „allgemeine Lösung“ einer linearen DGL 1. O. lässt sich durch das Verfahren der „Separation“ bestimmen.Lösung der inhomogenen linearen DGL:Die Lösung ist abhängig von der Störfunktion und dem Anfangswert .Die „partikuläre Lösung“ einer linearen DGL 1. O. lässt sich durch das Verfahren der „Variation der Konstanten“ bestimmen.
Grundlagen der Differenzialgleichung (DGL) Allgemein enthält eine Differenzialgleichung (DGL) außer der gesuchten Funktion z. B. auch mindestens eine ihrer Ableitungen. Die Notation einer DGL mit dem Differentialquotienten einer bestimmten Ordnung wird zur Vereinfachung nicht immer mit der unabhängigen Variablen oder bei zeitabhängigen Funktionen mit dargestellt, sondern z. B. als oder für eine Ableitung 1. Ordnung. Eine DGL ist linear, wenn die gesuchte Funktion und deren Ableitungen keine Potenzen, Winkelfunktionen, Logarithmen oder Wurzeln enthält.
mini|200px|Sprungantwort: [s]Anfangswert Ein bekanntes Beispiel einer linearen GDGL mit konstanten Koeffizienten einer Verzögerungsfunktion 1. Ordnung (PT1-Glied) lautet in expliziter Darstellung: . Bei dieser linearen inhomogenen DGL mit Störfunktion ( = Eingangssprung) bedeutet die Zeitkonstante, und der Proportionalitätsfaktor. Anmerkung: Bei der expliziten Darstellung der DGL werden sämtliche Koeffizienten der übrigen Ableitungen einschließlich Störfunktion durch den Koeffizienten der höchsten Ableitung dividiert.
Prinzipiell ist die Lösung einer DGL eine Funktion mit einem kontinuierlichen Werteverlauf in Abhängigkeit von der unabhängigen Variable . Eine DGL hat in der Regel unendlich viele Lösungen von Werteverläufen. Deshalb wird eine spezielle Lösung für eine Anfangsbedingung und der unabhängigen Variablen bzw. bei zeitabhängigen Systemen gewählt. Die grafische Darstellung der Lösung einer DGL mit Berücksichtigung des Anfangswertes bezeichnet man als Trajektorie. Die im Beispiel genannte Lösung der linearen DGL stellt eine bekannte asymptotisch verlaufende e-Funktion im Zeitbereich dar.
Klassische Lösungsverfahren: Die klassischen Lösungsverfahren von GDGL wie „Trennung der Veränderlichen“, „Exponentialansatz“, „Laplace-Transformation mit Partialbruchzerlegung“ oder „Laplace-Transformation mit Laplace-Transformationstabellen“ sind zum Teil aufwendig.
Numerische zeitdiskrete Lösungsverfahren: Erheblich einfacher ist die Lösung von linearen und nichtlinearen DGL-en 1. O. und den meisten linearen und nichtlinearen DGL höherer Ordnung durch Anwendung numerischer zeitdiskreter Verfahren. Der Approximationsfehler gegenüber der analytischen Funktion fällt beim Einschrittverfahren linear mit reduzierter Schrittweite . Partielle Differenzialgleichungen können oft nur mit numerischen Methoden approximiert werden.
Siehe auch in diesem Artikel Übersicht Numerik: #Lösung von linearen gewöhnlichen Differenzialgleichungen mittels der numerischen Berechnung.
Anmerkung: Die Begriffe „Nichtlineare DGL“ und „Nichtlineares dynamisches System“ unterscheiden sich, wobei ein dynamisches System auch nichtlineare statische Funktionen wie „Begrenzungseffekte“, Hysterese, „Nichtlineare Kennlinie“ oder „Totzone“ enthalten kann, die nicht mit DGL-en beschrieben werden können. Diese Systeme mit statischen Nichtlinearitäten können durch numerische Methoden in Verbindung mit logischen Befehlen dem tatsächlichen Systemverhalten angenähert werden.
Siehe auch Differentialgleichung
Siehe auch Lineare gewöhnliche Differentialgleichung
Allgemeine Definition Seien und eine stetige Funktion. Dann heißt
ein gewöhnliches Differentialgleichungssystem -ter Ordnung von Gleichungen ( ist hier die unabhängige Variable, usw.). Im Fall nennt man dies eine gewöhnliche Differentialgleichung -ter Ordnung.
Ihre Lösungen sind -mal differenzierbare Funktionen , welche die Differentialgleichung auf einem zu bestimmenden Intervall erfüllen. Sucht man eine spezielle Lösung, welche zu gegebenen und zusätzlich
erfüllt, so bezeichnet man dies als Anfangswertproblem.
Kann die Differentialgleichung nach der höchsten vorkommenden Ableitung aufgelöst werden und hat somit die Form , so heißt sie explizit, andernfalls implizit; siehe auch Satz von der impliziten Funktion.
Zur Notation In der Literatur zu gewöhnlichen Differentialgleichungen werden standardmäßig zwei unterschiedliche Notationen verwendet. In der einen Variante wird die unabhängige Variable mit bezeichnet und die Ableitungen der Funktion nach mit usw. Die andere Schule verwendet eine auf Newton zurückgehende Notation. Dabei ist die unabhängige Variable bereits mit einem Sinn versehen; ist die Zeit. Lösungen werden dann oft mit bezeichnet und die Ableitungen nach der Zeit werden als notiert. Da dieser Artikel von Vertretern beider Schulen bearbeitet wurde, finden sich beide Notationen wieder.
Existenz und Eindeutigkeit Ob überhaupt eine Lösung existiert, lässt sich anhand einiger Kriterien erkennen. Die Differentialgleichung selbst reicht im Allgemeinen nicht aus, um die Lösung eindeutig zu bestimmen.
Beispielsweise ist der grundsätzliche Bewegungsablauf aller schwingenden Pendel gleich und kann durch eine einzige Differentialgleichung beschrieben werden. Der konkrete Bewegungsablauf ist jedoch durch die Rand- oder Anfangsbedingung(en) (wann wurde das Pendel angestoßen, und wie groß ist die Anfangsauslenkung) bestimmt.
Die lokale Lösbarkeit von Anfangswertproblemen bei gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung wird durch den Satz von Picard-Lindelöf und den Satz von Peano beschrieben. Aus der Existenz einer lokalen Lösung kann man in einem zweiten Schritt auf die Existenz einer nicht-fortsetzbaren Lösung schließen. Mit Hilfe des Satzes vom maximalen Existenzintervall kann man darauf aufbauend von dieser nicht-fortsetzbaren Lösung dann gelegentlich Globalität nachweisen. Die Eindeutigkeit bekommt man als Anwendung der gronwallschen Ungleichung.
Reduktion von Gleichungen höherer Ordnung auf Systeme erster Ordnung Gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung lassen sich immer auf ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung zurückführen. Hat eine gewöhnliche Differentialgleichung die Ordnung , so führt man dazu die voneinander abhängigen Funktionen ein:
Aus der expliziten Differentialgleichung -ter Ordnung für wird dabei:
Man erhält also ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung: .
Umgekehrt kann man aus manchen Differentialgleichungssystemen eine einzige Differentialgleichung höherer Ordnung erzeugen.
Beispiele Ein einfaches Beispiel aus der Physik ist das Zerfallsgesetz:
Dieses besagt, dass bei einer Menge instabiler Atome die Anzahl der zerfallenden Atome von der gesamten Anzahl der vorhandenen Atome proportional abhängt.
Eine wichtige Klasse weiterer Differentialgleichungen bilden die newtonschen Bewegungsgleichungen:
Durch die Kenntnis der von der Zeit und der Position eines Teilchens abhängenden Kraft treffen diese Gleichungen Aussagen über die Bewegung des Teilchens selbst.
Neben einfachen Zusammenhängen der Änderungen einer einzelnen Größe lassen sich aber auch Vorhersagen über mehrere Größen in einem System treffen. In etwa die Lotka-Volterra-Gleichungen der Ökologie:
Dieses System beschreibt die zeitliche Veränderung der Räuberpopulation und der Beutepopulation bei konstanten natürlichen Geburtenraten und Sterberaten . Einige wichtige Eigenschaften dieses Modells lassen sich in Form der sogenannten Lotka-Volterra-Regeln zusammenfassen. Dieses und ähnliche Systeme finden in der theoretischen Biologie auch zur Beschreibung von Ausbreitungsprozessen und in Epidemiemodellen breite Anwendung.
Spezielle Typen von Differentialgleichungen Den bekanntesten Typ der gewöhnlichen Differentialgleichungen bildet die lineare Differentialgleichung -ter Ordnung mit: für stetige .