Die Renormierungsgruppe (RG) beschreibt die Abhängigkeit bestimmter physikalischer Größen von der Längenskala. Ursprünglich ein Konzept der Quantenfeldtheorie, erstreckt sich sein Anwendungsbereich heutzutage auch auf die Festkörperphysik, Kontinuumsmechanik, Kosmologie und Nanotechnologie. Mit der RG im Zusammenhang stehen die Betafunktion und die Callan-Symanzik-Gleichungen.
Definition Als Renormierungsgruppe bezeichnet man mehrere ähnliche aber im Detail verschiedene Rechenverfahren, die von einer Skaleninvarianz des beschriebenen Systems Gebrauch machen. Die untersuchten Systeme sind dabei alle stochastischer Natur. Bei Systemen aus der Quantenfeldtheorie beruht die stochastische Natur auf Quantenfluktuationen, bei Systemen aus der klassischen Physik auf thermischen Fluktuationen, Wahrscheinlichkeiten für Verunreinigungen, oder Übergangswahrscheinlichkeiten für irgendwelche Reaktionen. Ein anschauliches (eher mathematisches) Beispiel ist die Perkolation. In aller Regel ist das Problem als Pfadintegral vorgegeben, und die interessierenden Messgrößen sind Korrelationsfunktionen oder davon abgeleitete Größen.
Die Idee einer Renormierungsgruppen-Rechnung ist, das ursprüngliche (nicht renormierte) System entsprechend einer genau definierten Vorschrift auf sogenannte renormierte Systeme abzubilden. Bei dieser Abbildung ist immer eine andere (i. d. R. variable) Längenskala im Spiel, indem explizit Skalierungen ausgeführt werden oder/und Vertexfunktionen bei gewissen Längenskalen berechnet werden.
Falls das renormierte System einfacher ist, indem es z. B. bei einer Änderung der Längenskala einen Fixpunkt erreicht oder die Kopplungskonstanten klein werden, hat man wegen der eindeutigen Abbildung (zumindest für gewisse Längenskalen) damit auch für das eigentlich interessierende Problem viel gewonnen. Dass der Formalismus auch eine anschauliche Interpretation im Sinne von skalenabhängigen Kopplungskonstanten hat, ist essentiell und instruktiv, für die Anwendung des Formalismus selber spielt das keine Rolle.
Die Bedeutung von Renormierungsgruppen-Rechnungen liegt darin, dass sie oft nach Schema anwendbar sind und Ergebnisse liefern, wo andere Methoden nicht weiterführen. Beispielsweise liefert naive (regularisierte) Störungsrechnung in der Quantenfeldtheorie und bei kritischen Phänomenen eine divergente Störungsreihe, während die Renormierungsgruppe implizit Störungsrechnungsbeiträge aufsummiert und die Skaleninvarianz korrekt zum Ausdruck bringt.
Die Ortsraum-Renormierung von Kadanoff als einfacher Prototyp mini|Kadanoffs Blockspin Das Blockspin-Modell von Leo Kadanoff (1966) liefert einen anschaulichen Zugang zur RG. Gegenstand des Modells ist ein zweidimensionales Gitter von Spin -Freiheitsgraden (anstelle von Spins kann es sich auch um andere Freiheitsgrade handeln) vom Typ des Isingmodells, das heißt, es wechselwirken nur unmittelbar benachbarte Spins miteinander mit einer Kopplungskonstante . Das System werde durch eine Hamiltonfunktion beschrieben und habe die Temperatur .
Nun wird das Spin-Gitter in Blöcke von - Quadraten aufgeteilt und es werden anstelle der ursprünglichen Spins Blockspin-Variable eingeführt, indem über die Spins im Block in geeigneter Weise gemittelt wird. Es ergibt sich ein System mit einer um einen Faktor 4 kleineren Spindichte. Um ein mit dem ursprünglichen Modell vergleichbares Modell zu erhalten, sind außer der Mittelung auch gewisse Reskalierungen erforderlich. Oft hat die neue Hamiltonfunktion dann die gleiche Struktur wie die alte, nur mit neuen Werten für und : .
Dieser Vorgang wird wiederholt, das heißt man fasst wieder der Spin-Blockvariablen durch Mittelung zusammen (das wären dann jeweils 4 Spins oder 16 Spins aus dem Ausgangsmodell) usw. Das System wird also auf einer ständig vergröbernden Skala betrachtet. Ändern sich dabei die Parameter unter RG-Transformationen nicht mehr wesentlich, spricht man von einem Fixpunkt der RG.
Im konkreten Fall des Isingmodells, ursprünglich als Modell für magnetische Systeme eingeführt (mit einer Wechselwirkung, die bei parallelen Spins einen negativen Beitrag, , zur Energie liefert, bei anti-parallelen Spins einen positiven Beitrag ), wirkt die durch die Temperatur gekennzeichnete Wärmebewegung den Ordnungsbestrebungen der Wechselwirkung (durch charakterisiert) entgegen. Hier (und häufig auch in ähnlichen Modellen) gibt es drei Arten von Fixpunkten der RG:
(a) und . Auf großen Skalen überwiegt die Ordnung, ferromagnetische Phase.
(b) und . Unordnung auf großen Skalen.
(c) Ein Punkt dazwischen mit und , bei dem eine Skalenänderung die Physik des Systems nicht verändert (Skaleninvarianz wie in fraktalen Strukturen), der Punkt ist ein Fixpunkt der RG. An diesem sogenannten kritischen Punkt findet ein Phasenübergang zwischen den beiden Phasen (a), (b) statt. Im Fall des Ferromagnetismus wird er Curie-Punkt genannt.
Prinzipien und Terminologie der RG-Theorie Eine RG-Transformation im Ortsraum nach dem Schema von Kadanoff ist nur in wenigen Fällen praktikabel und liefert genaue Ergebnisse nur dann, wenn man viele verschiedene Kopplungskonstanten berücksichtigt. Bei den anderen RG-Methoden ist der Ausgangspunkt ein Pfadintegral. D. h., die Freiheitsgrade sind kontinuierliche Felder , und zu berechnen ist eine Zustandssumme oder ein erzeugendes Funktional der Art
woraus man alle interessierenden Größen erhalten kann. Hierbei ist das Wirkungsintegral des Systems, sind die Kopplungskonstanten oder andere Systemparameter. Im Kontext der RG berechnet man , indem man schrittweise Freiheitsgrade mit kurzen Wellenlängen eliminiert.
Bei der RG-Methode von K.G. Wilson erfolgt dies explizit und analog zur Idee von Kadanoff, indem man die Fourierkomponenten der Felder in der Form schreibt und die aus herausintegriert. Hierbei sind die Komponenten mit großen Wellenvektoren , das Komplement. Nach der Elimination von sind wie beim Kadanoff-Schema noch Reskalierungen auszuführen. Bei anderen RG-Methoden erfolgt die Elimination von Freiheitsgraden eher implizit (insbesondere in der Quantenfeldtheorie). Die tatsächlichen Rechnungen basieren auf der Störungsrechnung.
In jedem Fall ergibt sich nach dem Renormierungschritt ein neuer Ausdruck für mit einem renormierten Wirkungsintegral mit i. A. anderen Kopplungskonstanten , und die Felder sind Freiheitsgrade auf einer vergröberten Längenskala.
Noch anzumerken ist, dass die Bezeichnung „Renormierungsgruppe“ irreführend ist. Bei den RG-Transformationen geht Information verloren, und die Transformationen sind daher nicht invertierbar. Im mathematischen Sinn bilden die RG-Transformationen also nur eine Halbgruppe.
Beta-Funktionen, Fluss der Kopplungskonstanten, Fixpunkte rechts|mini|Der RG-Fluss der zwei Kopplungskonstanten des Lifshitz-trikritischen Punktes (ein spezieller multikritischer Punkt). Der Fixpunkt rechts oben ist stabil, der Fixpunkt in der unteren Hälfte ist hyperbolisch. Der Temperaturparameter ist senkrecht zur Bildebene zu denken, beide Fixpunkte sind in Temperaturrichtung instabil.
Die Änderung der Systemparameter bei einem Renormierungsschritt hängt davon ab, wie viele Freitsgrade eliminiert werden. Ausgedrückt durch das Verhältnis von alter und neuer Längensskala quantifiziert man die Größe des Renormierungsschritts durch eine dimensionslose Variable . Die Änderung der Parameter wird damit zu einem Kontinuum von Abbildungen des Parameterraums auf sich selber, dessen Fluss man durch sogenannte Betafunktionen beschreibt,
Die Abbildung rechts zeigt ein Beispiel mit einem zweidimensionalen Parameterraum. In der Teilchenphysik interessiert dabei der Parameterfluss bei kleiner werdender Längenskala, in den anderen Fällen der Fluss bei wachsender Längenskala.
Die physikalischen Werte der Parameter definieren einen Startpunkt im Parameterraum, die Betafunktionen bestimmen die vom Punkt bei der Renormierung durchlaufene Bahn. Wichtig sind die durch definierten Fixpunkte des Parameter-Flusses. Solche Fixpunkte können stabil, instabil oder gemischt stabil-instabil (hyperbolisch) sein, siehe Abbildung rechts. Es kann sein, dass man einen (oder mehrere) Koordinaten des Startpunktes (physikalische Parameter, z. B. die Temperatur) adjustieren muss, um einen Fixpunkt zu erreichen. Der Fixpunkt kann dann mit dem kritischen Punkt eines kontinuierlichen Phasenübergangs identifiziert werden. Die RG erklärt auf diese Weise, was ein kritischer Punkt ist, und weshalb z. B. beim Ising-Magneten Temperatur und Magnetfeld einen bestimmten Wert haben müssen, um den kritischen Punkt zu erreichen.
Relevante, irrelevante und marginale Operatoren Der Parameterfluss in der Nähe eines Fixpunktes resultiert aus der RG-Entwicklung von zur Wirkung hinzugefügten Termen der Art , wo als „Operator“ bezeichnet wird (aber nur ein Funktional der Felder ist). Um die Stabilität eines Fixpunkts zu untersuchen, kann man zunächst den Parameterfluss in einer Umgebung des Fixpunkts linearisieren. Die Lösung der linearisierten Flussgleichung hat (eventuell nach einer linearen Transformation) die Form
Die Exponenten lassen sich mit kritischen Exponenten identifizieren.
Wenn positiv ist, dann entfernt sich bei der Renormierung vom Fixpunkt , und man nennt den Operator relevant. Bei negativem strebt hingegen gegen den Fixpunkt , und heißt irrelevant.
Falls den Wert Null hat, ändert sich der Parameter in linearer Näherung nicht, und der entsprechende Operator heißt marginal. Das Verhalten eines marginalen Operators bei der Renormierung ist erst in nichtlinearer Ordnung ersichtlich. Es kann sein, dass sich der entsprechende Parameter langsam (typischerweise logarithmisch in ) dem Fixpunkt annähert oder davon entfernt. In aller Regel sind die Standard-Nichtlinearitäten (renormierbarer) Feldtheorien marginal. Die entsprechende Abhängigkeit einer Kopplungskonstante vom Parameter beschreibt man auch mit dem Terminus „laufende Kopplungskonstante“.
Universalität und Universalitätsklassen Bei vielen Fixpunkten ist der Parameterfluss für alle denkbaren Typen von Operatoren (Wechselwirkungen, Richtungen im Parameterraum) konvergent, mit Ausnahme einiger weniger „relevanter“ Operatoren. In diesem Fall beschreibt der Fixpunkt das ganze Kontinuum der durch den Einzugsbereich des Fixpunkts repräsentierten Systeme. Dies erklärt z. B., weshalb alle Gase an ihrem kritischen Punkt dieselben kritischen Exponenten haben, und dass dieselben Exponenten auch im Ising-Magneten auftreten. Dieses Phänomen heißt Universalität. Entsprechend definiert man eine Ising-Modell-Universalitätsklasse und ordnet Systeme mit einem Fixpunkt der Art des Ising-Magneten dieser Universalitätsklasse zu. Ein anderes Beispiel ist die isotrope Perkolation. Hier ergeben z. B. Gitter- und Kanten-Perkolation auf Rechteck- und Dreiecksgitter exakt dieselben kritischen Exponenten, und man spricht von der Universalitätsklasse der isotropen Perkolation. Diese Unterteilung von kontinuierlichen Phasenübergängen in Universalitätsklassen ist eines der wichtigsten Ergebnisse der RG-Theorie.
Die Feldtheorien des Standard-Modells der Teilchenphysik sind ebenfalls Universalitätsklassen im RG-Sinn, mit mehreren marginalen oder irrelevanten Zusatztermen und vielen nicht universellen Konstanten.
Kritische Dimension Der Terminus „kritische Dimension“ () bezeichnet die Raumdimension (bzw. Raumzeit-Dimension), bei welcher das im Pfadintegral enthaltene Wirkungsintegral (ohne relevante und irrelevante Terme) skaleninvariant ist bei geeigneter Skalierung von Feldern, Koordinaten und ggf. der Zeit (die Bestimmung der kritischen Dimension einer Feldtheorie ist eine rein algorithmische Angelegenheit, siehe Weblinks). Wenn die Raumdimension nahe bei der kritischen Dimension liegt, dann sind die Fixpunktwerte der Kopplungskonstanten von der Größenordnung , und eine RG-Rechnung basierend auf einer Störungsrechnung nach ,