Die Zeitkonstante (mit dem Formelzeichen (griech. tau) oder ) ist eine charakteristische Größe eines linearen dynamischen Systems, das durch eine gewöhnliche Differentialgleichung oder durch eine zugehörige Übertragungsfunktion beschrieben wird. Sie hat die Dimension einer Zeit; ihre Maßeinheit ist meist die Sekunde. mini|Funktionsbild eines PT1-Gliedes nach einem Eingangssprung.
Ein dynamisches System ist eine Funktionseinheit zur Verarbeitung und Übertragung von Signalen; die Systemeingangsgröße ist als Ursache und die Systemausgangsgröße als zeitliche Auswirkung definiert. Typische Eingangssignale zur Prüfung des Systemverhaltens sind die Impulsfunktion, Sprungfunktion und Anstiegsfunktion.
In der Elektrotechnik ist das Zeitverhalten eines Verzögerungsgliedes 1. Ordnung (z. B. eines RC-Glied-Tiefpasses) mit einer Sprungantwort mit exponentiellem asymptotischem Verlauf allgemein bekannt. Dabei bestimmt die Zeitkonstante den zeitlichen Verlauf. Nach Ablauf einer Zeit von ca. 3 Zeitkonstanten hat das Ausgangssignal ca. 95 % der Größe des Eingangssignals erreicht, wenn die Systemverstärkung ist.
Grundsätzlich hängt der zeitliche Verlauf des Ausgangssignals eines Übertragungssystems beliebiger Ordnung von der Art des Übertragungssystems und des Eingangssignals ab und bezieht sich nicht nur auf Zeitverzögerungsglieder (-Glieder).
Der Begriff Zeitkonstante ergibt sich bei der Beschreibung eines linearen dynamischen Systems durch eine gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Zur leichteren Berechnung des zeitabhängigen Systemverhaltens wird die systembeschreibende Differentialgleichung der Laplace-Transformation unterzogen und daraus das Signalverhältnis als Übertragungsfunktion gebildet.
Die Übertragungsfunktion in der Zeitkonstantendarstellung entsteht wie folgt: Laplace-Transformation der gewöhnlichen Differentialgleichung höherer Ordnung, Bildung der Übertragungsfunktion . Die Polstellen und Nullstellen der Übertragungsfunktion sind die wichtigsten Kenngrößen des Systemverhaltens. Faktorisierung der Polynome in die Pol-Nullstellendarstellung: Umrechnung der Pol-Nullstellendarstellung durch Zahlenwerte der Pole und Nullstellen in die Zeitkonstantendarstellung, Die Werte der Pole und Nullstellen eines Linearfaktors können drei Formen annehmen: null, negativ reell, negativ konjugiert komplex. Damit können im Zähler und Nenner der Übertragungsfunktion insgesamt unterschiedliche Grundformen von Linearfaktoren und Faktoren 2. Ordnung mit unterschiedlichem Systemverhalten entstehen. .
Die Zeitkonstante entspricht dem Koeffizienten vor der komplexen Laplace-Variable . Sie errechnen sich allgemein aus dem Reziprokwert einer negativen reellen Polstelle oder einer Nullstelle des Nennerpolynoms oder Zählerpolynoms der Übertragungsfunktion als:Autor: Jan Lunze / Regelungstechnik 1; Springer Vieweg, Berlin, 8. Auflage 2014, ISBN 978-3-642-53943-5; Hauptkapitel: Übertragungsfunktion, Unterkapitel: Zeitkonstanten der Übertragungsfunktion. bzw. .
Bestimmung der Zeitkonstanten aus den Polynomen eines linearen dynamischen Übertragungssystems höherer Ordnung Systembeschreibungen durch Übertragungsfunktionen können entstehen durch: Laplace-Transformation der systembeschreibenden gewöhnlichen Differenzialgleichung zu einer Übertragungsfunktion, Komplexe Spannungsteiler aus einem rückwirkungsfreien Impedanzverhältnis, (Beispiel: RC-beschaltete Operationsverstärker), Systemidentifikation mittels Sprung- oder Impulsantwort.
Zur einfacheren Berechnung und zum leichteren Verständnis wird die systembeschreibende gewöhnliche Differenzialgleichung einer Laplace-Transformation unterzogen und ist damit algebraisch berechenbar. Dabei wird nach dem Laplace-Differentiationssatz eine Ableitung 1. Ordnung der Differenzialgleichung durch die Laplace-Variable als komplexe Frequenz ersetzt. Höhere Ableitungen n-ter Ordnung werden entsprechend der Ordnungszahl durch ersetzt.
Beispiel einer gewöhnlichen Differentialgleichung höherer Ordnung eines Übertragungssystems mit konstanten Koeffizienten und :
Diese allgemeine Form der Differentialgleichung wird einer Laplace-Transformation unterzogen: .
Durch Anwendung des Laplace-Differentiationssatzes auf die systembeschreibende gewöhnliche Differentialgleichung entsteht die Übertragungsfunktion . Mittels der Pol- und Nullstellenbestimmung des Zähler- und Nennerpolynoms entsteht die faktorielle Darstellung (Linearfaktoren) der Übertragungsfunktion.
Die Übertragungsfunktion G(s) wird aus dem Verhältnis der Ausgangsgröße zur Eingangsgröße gebildet. Dabei dürfen keine Anfangswerte der inneren Energiespeicher (Zustandsraumdarstellung) des Systems bestehen.
Die Laplace-Variable ist eine unabhängige Variable im komplexen Frequenzbereich (Bildbereich, s-Bereich) mit als Realteil und als Imaginärteil. Sie erlaubt beliebige algebraische Operationen im s-Bereich, ist aber nur ein Symbol für eine vollzogene Laplace-Transformation und enthält keinen Zahlenwert. Exponenten von s entsprechen dem Grad der Ableitung der Differentiale.
Zur Bestimmung der elementaren Einzelsysteme einer Übertragungsfunktion G(s) höherer Ordnung werden die Polynome des Zählers und Nenners durch Nullstellenbestimmung faktorisiert.
Wenn Zahlenwerte der Koeffizienten vorliegen, können mit verschiedenen Methoden die Pole und Nullstellen berechnet werden. Dazu eignet sich die sogenannte pq-Formel für Systeme 2. Ordnung. Fertige im Internet verfügbare Programme für Systeme bis 4. Ordnung können mit dem Aufruf: „Nullstellen (Lösungen) von Polynomen bestimmen“ benutzt werden.
Die Pole (Nullstellen des Nenners) und Nullstellen (Nullstellen des Zählers) der Übertragungsfunktion sind die wichtigsten Kenngrößen des Systemverhaltens. Sie sind entweder Null (fehlendes Endglied der Differentialgleichung), reell []; und [] oder konjugiert komplex [] und [].
Zur Bestimmung der Zeitkonstanten werden die Polynome der Übertragungsfunktion durch Nullstellenbestimmung in Linearfaktoren und Faktoren 2. Ordnung zerlegt. Wenn Zahlenwerte für die Koeffizienten der Polynome gegeben sind, können die Polynome durch die Nullstellenbestimmung faktorisiert werden.
Die Zerlegung der Zähler- und Nennerpolynome höherer Ordnung durch die Pole und Nullstellen ergibt mehrfache Linearfaktoren und mehrfache Faktoren 2. Ordnung. Als Voraussetzung dazu dürfen die Polynome in der Reihenfolge der Summenelemente entsprechend der Ordnungszahl keine Lücken aufweisen.
Werden diese Faktoren als unabhängige Einzel-Übertragungsfunktionen definiert, so entstehen je nach Art der Pole und der Nullstellen folgende Elementar-Übertragungsfunktionen: Die Abschlußterme der Differentialgleichung sind Null: Der entstehende Linearfaktor ist eine Variable: sowohl im Zähler als auch im Nenner. Die Pole bzw. die Nullstellen sind negativ reell. Aus [] oder [] entsteht der Linearfaktor in Zeitkonstantendarstellung [] sowohl im Zähler als auch im Nenner. Die Pole bzw. die Nullstellen sind negativ konjugiert komplex. Aus [] oder [] entsteht der Faktor in Zeitkonstantendarstellung [] 2. Ordnung sowohl im Zähler als auch im Nenner.
Beispiel einer Übertragungsfunktion mit der Polynomdarstellung, der Pol-Nullstellendarstellung und der Zeitkonstantendarstellung: .
Zeitkonstanten der elementaren Einzelsysteme im Zähler und Nenner der Übertragungsfunktion Die Zerlegung des Nennerpolynoms ergibt zeitverzögernd wirkende Einzelsysteme (Linearfaktoren) und verzögernd wirkende Faktoren 2. Ordnung. Die Zerlegung des Zählerpolynoms ergibt differenzierend wirkende Einzelsysteme (Linearfaktoren) und differenzierend wirkende Faktoren 2. Ordnung. Letztere haben in Kombination mit den zeitverzögernden Systemen des Nenners keinen Einfluss auf das Zeitverhalten, sondern nur auf die Signalamplituden .
Zeitkonstanten der Linearfaktoren als Variablen mit Polen und Nullstellen gleich Null:
Diese Linearfaktoren entstehen bei einer Laplace-Transformation einer systembeschreibenden gewöhnlichen Differentialgleichung, deren Endglieder oder fehlen.
Aus dem Produktterm wird im Zähler und Nenner je . Die in der nachstehenden Tabelle des nächsten Abschnitts dargestellten Zeitkonstanten für das I-Glied und für das D-Glied sind aus der Definition der Regler entnommen. In Wirklichkeit entsprechen sie Proportionalitätsfaktoren oder mit der Bewertung 1, wenn keine anderen Zahlenwerte angegeben worden sind.
Zeitkonstante der Linearfaktoren mit Polen und Nullstellen gleich : Die Definition der Zeitkonstante eines -Gliedes oder eines -Gliedes errechnet sich wie folgt aus den Polen und Nullstellen für Zahlenwerte mit negativen Realteilen von .
Beispiel für die Definition einer Zeitkonstante aus dem Linearfaktor des Zählers: .
Die Zeitkonstante errechnet sich allgemein aus dem Reziprokwert (Kehrwert) einer negativen reellen Nullstelle oder des Nennerpolynoms oder Zählerpolynoms der Übertragungsfunktion als: bzw. .
Zeitkonstanten des Faktors 2. Ordnung mit konjugiert komplexen Polen und Nullstellen: Aus der Pol-Nullstellendarstellung mit negativen konjugiert komplexen Polen und Nullstellen entstehen Faktoren 2. Ordnung. Wird aus der Nullstellendarstellung für die konjugiert komplexe Nullstelle [] oder [] eingesetzt, entsteht durch quadrieren zur Vermeidung der imaginären Größen, die Zeitkonstantendarstellung: Faktor 2. Ordnung in Pol-Nullstellendarstellung nach dem quadrieren:
Mit ergibt sich die Normalform der Zeitkonstantendarstellung des Faktors 2. Ordnung:
Fazit: Dieser Faktor 2. Ordnung gilt sowohl für das Zähler- und Nennerpolynom und lässt sich nicht in kleinere mathematische Ausdrücke zerlegen. Der Zeitverlauf einer normierten Sprungantwort eines Übertragungssystems 2. Ordnung mit konjugiert komplexen Polen (-Glied) ist von der Zeitkonstante und von der Dämpfung abhängig.
Aufstellung und Verhalten der elementaren Einzelsysteme Durch Zuordnung dieser Faktoren im Zähler und Nenner der Übertragungsfunktionen können folgende 6 verschiedene stabile Elementarsysteme einzeln oder mehrfach entstehen:
BenennungI-GliedD-Glied -Glied-Glied-Glied (Schwingungsglied)-Glied Pol-Nullstellen Übertragungsfunktion
In der Zeitkonstanten-Darstellung entspricht die Zeitkonstante dem Koeffizienten vor der komplexen Laplace-Variable .
Die Berechnung des zeitlichen Verhaltens eines Gesamtübertragungssystems erfordert immer, dass die Anzahl der Faktoren des Nenners immer gleich oder größer sein muss, als die Anzahl der Faktoren im Zähler .
Differenzierende -Glieder können das Zeitverhalten von verzögernden -Gliedern bei gleichen Zeitkonstanten vollständig kompensieren. Das Gleiche gilt natürlich auch für -Glieder und -Glieder.
mini|200px|Sprungantwort verschiedener elementarer Übertragungssysteme.
Testsignale zur Prüfung des Systemverhaltens:
Übliche Testsignale für Übertragungssysteme sind: Sprungfunktion, Rücksprung, Impulsfunktion, Anstiegsfunktion und Sinusfunktion. Diese Signale werden ebenfalls vom Zeitbereich in den Bildbereich Laplace-transformiert. Siehe Definition der Testsignale im nächsten Abschnitt.
Zeitverhalten differenzierender Übertragungsglieder:
Das Zeitverhalten der Sprungantwort oder der Impulsantwort eines differenzierenden Systems des Zählerpolynoms kann allein grafisch nicht dargestellt werden, weil die Änderung des Ausgangssignals im Zeitbereich stattfindet. Das Zeitverhalten eines differenzierenden Systems lässt sich nur mit einem Eingangssignal als Anstiegsfunktion grafisch darstellen. Differenzierende Systeme ohne sogenannte zeitverzögernde parasitäre -Glieder lassen sich als Hardware technisch nicht herstellen. Die dazu notwendige hinzugefügte parasitäre Zeitkonstante des zeitverzögernden -Gliedes muss wesentlich kleiner sein, als die Zeitkonstante des -Gliedes oder -Gliedes.
Zeitverhalten von Übertragungsgliedern mit konjugiert komplexen Polen (-Glieder):