mini|hochkant=1.0|Magisches Quadrat der Ordnung 3
Ein magisches Quadrat ist ein schachbrettartiges Quadrat, auf dessen Feldern Zeichen, Zahlen oder Symbole auf eine spezielle Art angeordnet sind.Clifford A. Pickover: The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars: An Exhibition of Surprising Structures across Dimensions. Princeton University Press, Princeton (NJ) 2002, ISBN 0-691-07041-5, S. 1.
In der Mathematik versteht man unter einem magischen Quadrat der Ordnung ein Quadrat der Seitenlänge , auf dessen Feldern verschiedene natürliche Zahlen so platziert werden, dass jede Zeile und jede Spalte sowie die beiden Diagonalen die gleiche Summe ergeben.
Definitionen Magische Quadrate sind in der Mathematik nicht immer ganz einheitlich definiert, aber für alle Varianten gilt, dass die Summe jeder Zeile, jeder Spalte und der beiden Diagonalen denselben Wert liefern muss.
Im engsten Sinne ist ein magisches Quadrat definiert als eine quadratische Anordnung der natürlichen Zahlen , so dass die Summen der Zahlen aller Zeilen, Spalten und der beiden Diagonalen gleich sind.magisches Quadrat. In: Matthias Delbrück, Harald Scheid, Dieter Kindinger: Schülerduden – Mathematik I. Das Fachlexikon von A - Z für die 5. bis 10. Klasse 1. Das Fachlexikon von A - Z für die 5. bis 10. Klasse. 8., völlig neu bearbeitete Auflage, Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus/Dudenverlag, Mannheim u. a. 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, S. 283–287.Hans-Wolfgang Henn, Andreas Filler: Didaktik der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra. Springer Spektrum, Berlin 2015, ISBN 978-3-662-43434-5, S. 129–134. Statt der Verwendung der Zahlen 1 bis wird jedoch oft nur gefordert, dass es sich um paarweise verschiedene natürliche Zahlen handeln muss. In diesem Fall werden die magischen Quadrate, die lediglich die Zahlen 1 bis verwenden, als normal oder rein bezeichnet.Gan Yee Siang, Fong Wan Heng, Nor Haniza Sarmin3: Properties and Solutions of Magic Squares. In: Menemui Matematik (Discovering Mathematics). Band 34, Nr. 1, 2012, S. 63–76. Maurice Kraitchik: Mathematical Recreations. 2-te überarbeitete Ausgabe, Dover Publications, New York 1953, S. 142–144.
Einige Autoren verlangen lediglich, dass die Summen jeder Zeile, jeder Spalte und der beiden Diagonalen denselben Wert liefern.William Symes Andrews: Magic Squares and Cubes. 2-te erweiterte Ausgabe, The Open court Publishing Company, 1917, S. 1. Dies vereinfacht die Untersuchung und Darstellung magischer Quadrate mit Hilfe der linearen Algebra, insbesondere lässt sich ein magisches Quadrat dann als Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems und damit auch als Vektorraum beschreiben.
Die Kantenlänge wird als Ordnung des magischen Quadrats bezeichnet. Die (konstante) Summe einer Zeile, Spalte oder Diagonale wird als magische Summe, magische Konstante oder magische Zahl bezeichnet.Jacques Sesiano: Magic Squares. Their History and Construction from Ancient Times to AD 1600 (= Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences.). Springer, Cham (CH) 2019, ISBN 978-3-030-17992-2, S. 1.
Es ist auch erkennbar, dass jede arithmetische Folge für ein magisches Quadrat geeignet ist. Es gibt noch zahlreiche Varianten von magischen Quadraten, bei denen nicht alle diese Bedingungen erfüllt sind oder zusätzliche Einschränkungen gefordert sind (siehe unten).
Semimagisches Quadrat Zahlenquadrate, bei denen zwar Zeilen- und Spaltensummen gleich sind, aber nicht mit den beiden Diagonalensummen übereinstimmen, werden als semimagische Quadrate, misslungene magische Quadrate oder dissonante magische Quadrate bezeichnet.Clara Löh, Niki Kilbertus, Stefan Krauss: Quod erat knobelandum. Springer, Berlin/Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-48956-7, S. 191.
Semimagisches Quadrat 3. Ordnung mit der 7 im mittleren Feld und den Zahlen 1 bis 9. 924 5 7 3 1 6 8
Berechnung der magischen Zahl Die Zeilensumme wird als magische Zahl bezeichnet. Ihr Wert leitet sich aus der Definition des normalen magischen Quadrates ab. Es gilt, dass die magische Zahl mal der Summe der Zahlen von 1 bis sein muss:
Wir haben nämlich Zeilen, die alle die gleiche Zeilensumme haben sollen; und die Summe über alle Zeilen, also , ist gleich der Summe aller Einträge des Quadrats, also identisch mit (Gaußsche Summenformel).
Die magischen Zahlen sind damit die Elemente der unendlichen , beginnend mit . Dabei gibt der Index die Zahl der Spalten und Zeilen im jeweiligen magischen Quadrat an. Zu den ersten Elementen der Folge existieren keine magischen Quadrate im herkömmlichen Sinn. Für hätte das magische Quadrat keine Spalten und Zeilen. Für ergibt sich ein ein-spaltiges Quadrat, das lediglich aus der Zahl 1 besteht. Für zwei Spalten, also , gibt es kein magisches Quadrat. Für alle weiteren Elemente der Reihe ab gibt es dagegen magische Quadrate im engeren Sinn. Die zugehörigen magischen Zahlen lauten: 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, 671, 870, 1105,… .
Äquivalenz und Standardform Durch Rotation um 90°, 180° und 270° sowie durch Spiegelung an den Hauptachsen und Diagonalen entsteht aus einem magischen Quadrat wieder ein magisches Quadrat. Diese acht magischen Quadrate sind äquivalent. Es genügt, eines davon zu untersuchen. Es hat sich eingebürgert, hier die Frénicle-Standardform zu verwenden:
Das Element in der linken oberen Ecke [1,1] ist das kleinste der vier Elemente in den Ecken. Das Element rechts daneben [1,2] ist kleiner als das Element darunter [2,1].
Komplement des normalen magischen Quadrates Zu jedem normalen magischen Quadrat kann ein Komplement gebildet werden. Für die Bildung des komplementären Quadrates sind alle Einträge mit −1 zu multiplizieren und anschließend zu jedem Eintrag die Konstante zu addieren. Elemente im Ausgangsquadrat und im Komplement ergänzen sich damit zu . Das komplementäre Quadrat hat dieselbe Struktur wie das Ausgangsquadrat. Die Komplementbildung ist keine Tauschoperation, da sie nicht unabhängig von der Struktur des Ausgangsquadrates ist. Magische Quadrate mit bestimmten Strukturen können selbstkomplementär sein, d. h., das Komplement ist dann äquivalent zum Ausgangsquadrat. Von den 12 Strukturen der Ordnung 4 sind die magischen Quadrate der 3. und 6. Struktur selbstkomplementär.
Spezielle magische Quadrate Allgemeine reelle Zahlenquadrate Allgemeine reelle Zahlenquadrate bestehen aus reellen Zahlen. Ihre einzige Bedingung ist, dass Zeilen, Spalten und Diagonalen dieselbe Summe ergeben. Die Summe ist frei wählbar. Allgemeine reelle Zahlenquadrate sind Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems. Das Gleichungssystem hat lineare Gleichungen.
Beispiel eines Ergebnisses der Lösungsmenge dritter Ordnung und : −0,5 2 0 1 0,5 0 1 −1 1,5
Eine herausragende Eigenschaft allgemeiner reeller Zahlenquadrate dritter Ordnung ist, dass das mittlere Zahlenelement immer das arithmetische Mittel aller Zahlen des Quadrates enthält. Das mittlere Zahlenelement ist daher nicht nur vom räumlichen Begriff her der Mittelwert, sondern auch gleichzeitig vom numerischen Begriff.
Legt man als weitere Bedingung fest, dass das Zahlenquadrat dritter Ordnung nur aus natürlichen Zahlen besteht, so erhält man für jeden Mittelwert eine endliche Lösungsmenge. Die Zielsumme ist der dreifache Mittelwert. Der Mittelwert ist somit frei unter den natürlichen Zahlen wählbar, die Zielsumme nicht. Für Quadrate dritter Ordnung und gibt es 25 Lösungen (15 mit und 10 ohne Wiederholung von Zahlen).
14 7 6 1 9 17 12 11 4
Die Zielsumme ist eine Variable der Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems. Man kann daher für die Zielsumme auch die errechnete magische Zahl einsetzen. Bei der magischen Zahl 15 erhält man so 9 Lösungen. Eines davon ist ohne Wiederholung von Zahlen und wird als Lo-Shu bezeichnet.
Symmetrische magische Quadrate Erfüllt ein magisches Quadrat zusätzlich die Bedingung, dass die Summen zweier Elemente, die punktsymmetrisch zum Mittelpunkt (bei geraden) oder zum zentralen Element (bei ungeraden magischen Quadraten) liegen, gleich sind, so wird es symmetrisches magisches Quadrat genannt. Es ist genauer die Bezeichnung zentralsymmetrisches magisches Quadrat oder assoziatives magisches Quadrat zu verwenden. Wie man leicht zeigen kann, muss die Summe zweier solcher Elemente betragen; bei ungeraden symmetrischen magischen Quadraten hat das Mittelfeld den Wert . Symmetrische magische Quadrate haben die einfachste innere Struktur der magischen Quadrate. Das magische Quadrat 3 mal 3 ist ein symmetrisches magisches Quadrat.
Bei symmetrischen magischen Quadraten kann das Komplement des Ausgangsquadrates durch Rotation um 180° immer auf das Ausgangsquadrat abgebildet werden, d. h., alle symmetrischen magischen Quadrate sind selbstkomplementär (selbstähnlich).
Pandiagonale magische Quadrate mini|hochkant=1.5|Beispiel eines pandiagonalen magischen Quadrats
Bei einem pandiagonalen magischen Quadrat muss nicht nur die Summe der Diagonalen, sondern auch die der gebrochenen Diagonalen gleich sein. Die gebrochenen Diagonalen verlaufen parallel zur Haupt- bzw. Gegendiagonale, wobei Elemente außerhalb des Quadrats um eine Kantenlänge verschoben werden. Im Gegensatz zu symmetrischen magischen Quadraten ist bei Quadraten mit pandiagonaler Eigenschaft diese besondere Eigenschaft nicht immer unmittelbar aus dem Bild der inneren Struktur ablesbar. Die kleinstmögliche Ordnung für Quadrate mit pandiagonaler Eigenschaft ist die 4. Ordnung. Die Strukturgruppe 1 der Quadrate 4. Ordnung besteht aus den 48 pandiagonalen Quadraten. Bei magischen Quadraten höherer Ordnung gibt es mehrere Strukturgruppen die aus Quadraten mit pandiagonaler Eigenschaft bestehen oder solche enthalten. Die magischen Quadrate der symmetrischen Strukturgruppe der 5. Ordnung haben nur teilweise die pandiagonale Eigenschaft. Die symmetrische Strukturgruppe ist eine Hauptstrukturgruppe. Bei Hauptstrukturgruppen steht der Mittelwert im Mittelfeld des Quadrates. Bei 5 mal 5 ist das der Wert 13. Diese Festlegung sichert die unverzerrte Darstellung der inneren Struktur. Jedes ungerade pandiagonale Quadrat kann durch Verschieben im Verschiebungscluster in ein Quadrat dieser Struktur gebracht werden. Es gibt bei der 5. Ordnung noch drei weitere Hauptstrukturgruppen die aus pandiagonalen Quadraten bestehen. Diese unverzerrten Strukturen sind ästhetisch reizvoll und zeigen den mathematischen Zusammenhang zwischen Mittelwertsbildung und Symmetrie. Durch Verschieben im Verschiebungscluster werden zu jeder Hauptstrukturgruppe die Nebenstrukturgruppen gebildet.
Magische Quadrate, die sowohl symmetrisch als auch pandiagonal sind, nennt man ultramagisch.
Magische Primzahlquadrate thumb|upright=1.5|Magisches Quadrat aus Primzahlen und 1
Es gibt zahlreiche Varianten von magischen Quadraten, bei denen die Forderung fallengelassen wird, dass nur die Zahlen von 1 bis vorkommen sollen, dafür aber zusätzliche Bedingungen erfüllt sein müssen. Die bekanntesten davon sind magische Primzahlenquadrate, bei denen sämtliche Elemente Primzahlen (oder 1) sein müssen.
Das magische Primzahlenquadrat 3. Ordnung mit der kleinstmöglichen magischen Summe von 111 wurde im Jahr 1900 von Henry Ernest Dudeney entdeckt, der die 1 als Primzahl ansah. Es galt seinerzeit als das erste magische Primzahlenquadrat in der Lösungsmenge allgemeiner magischer Quadrate 3. Ordnung. 67 14313376131737 Das erste echte magische Primzahlenquadrat 3. Ordnung hat die kleinstmögliche magische Summe von 177. 1789 71113 59 5 47 29101 Im Jahre 1913 wurde bewiesen, dass aus unmittelbar aufeinanderfolgenden ungeraden Primzahlen (also mit Ausnahme der 2) ein magisches Quadrat gebildet werden kann und dass das kleinste solche Quadrat zwölfreihig ist. Auch hier wird die Zahl 1 als Primzahl angesehen. Der Beweis stammt von J. N. Muncey von Jessup, Iowa. Die magische Zahl dieses Primzahlquadrats beträgt 4514.